静电场的边值问题课件.ppt

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1、静电场的边值问题1第1页，此课件共64页哦3.1 3.1 电位微分方程电位微分方程已知电位已知电位 与电场强度与电场强度 E E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E E 的散的散度为度为 那么，电位满足的微分方程式为那么，电位满足的微分方程式为 泊松方程泊松方程 2第2页，此课件共64页哦拉普拉斯方程拉普拉斯方程对于无源区，对于无源区，上式变为，上式变为 已已知知分分布布在在V 中中的的电电荷荷 在在无无限限大大的的自自由由空间产生的电位为空间产生的电位为上式为泊松方程在自由空间的特解。上式为泊

2、松方程在自由空间的特解。利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。3第3页，此课件共64页哦静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。拉斯方程的解仅决定于边界条件。定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于

3、前一章此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。描述静电场的边界上场量变化的边界条件。4第4页，此课件共64页哦边界条件有三种类型：边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为值问题又称为诺依曼问题诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边混合边界条件界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这

4、种边值问题又第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为称为狄里赫利问题狄里赫利问题。5第5页，此课件共64页哦解的解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证明。证明。惟一性惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。稳稳定定性性 是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否变化很大。否变化很大。存在存在 是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静

5、电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。可以证明电位微分方程解具有惟一性。可以证明电位微分方程解具有惟一性。6第6页，此课件共64页哦 若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。类边界。已知已知对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。可见，

6、表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。7第7页，此课件共64页哦静电场的边值问题静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解静电场根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。的电位分布。对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程足泊松方程方程 在无源区，电位满足拉普拉斯方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用格林函数，可以求解泊松方程。利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。利用

7、分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。8第8页，此课件共64页哦3.2 3.2 镜像法镜像法 实质实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。间，从而使计算过程大为简化。这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。电荷，而这种方法称为镜像法。9第9页，此课件共64页哦 依据：

8、惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。10第10页，此课件共64页哦（1 1）点电荷与无限大的导体平面）点电荷与无限大的导体平面介质介质 导体导体 q r r P 介质介质 q r r P hh介质介质 以一个镜像点电荷以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整个空间变成均代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为匀的

9、介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共共同产生，即同产生，即 无限大导体平面的电位为零无限大导体平面的电位为零11第11页，此课件共64页哦 电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。同。电场线电场线等位线等位线 z 12第12页，此课件共64页哦*根根据据电电荷荷守守恒恒定定律律，镜镜像像点点电电荷荷的的电电荷荷量量应应该该等等于于导导体体表表面上感应电荷的总电荷量。面上感应电荷的总电荷量。*上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为

10、在在上上半空间中，源及边界条件未变。半空间中，源及边界条件未变。介质介质 导体导体 q r r P 介质介质 q r r P hh介质介质 13第13页，此课件共64页哦q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电荷。电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q14第14页，此课件共64页哦 位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据

11、叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。得知，同样可以应用镜像法求解。仅当这种导体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。求出其镜像电荷。为什么？为什么？lll15第15页，此课件共64页哦（2 2）点电荷与导体球）点电荷与导体球若导体球接地，导体球的电位为若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷零。令镜像点电荷q 位于球心与位于球心与点电荷点电荷 q 的连线上，那么球面的连线上，那么球面上任一点电位为上任一点电位为 为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 qfOPadrqr16第

12、16页，此课件共64页哦 为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值 对于球面上任一点均具有同一数值。对于球面上任一点均具有同一数值。若若 OPq OqP，则，则镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 求得镜像电荷为求得镜像电荷为qfOPadrqr17第17页，此课件共64页哦 若导体球不接地，则其电位不为若导体球不接地，则其电位不为零。零。q 的位置和量值应该如何的位置和量值应该如何?由由q 及及 q 在球面边界上形成的在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷电荷q 以产生一定的电位以产生

13、一定的电位。q18第18页，此课件共64页哦以保证导体球表面上总电荷量为以保证导体球表面上总电荷量为零值零值。为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必必须位于球心。须位于球心。为了满足电荷守恒定律，第二为了满足电荷守恒定律，第二个镜像电荷个镜像电荷q 必须为必须为导体球的电位导体球的电位?qqq19第19页，此课件共64页哦l（3 3）线电荷与带电的导体圆柱）线电荷与带电的导体圆柱在圆柱轴线与线电荷之在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离间，离轴线的距离d 处，处，平行放置一根镜像线电平行放置一根镜像线电荷荷 。因此，离线电荷因此，离线电荷 r 处，以

14、处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 PafdrlO已知无限长线电荷产生的电场已知无限长线电荷产生的电场 ，20第20页，此课件共64页哦 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的产生的电位也取相同的 作作为为参参考考点点，则则 及及 在在圆圆柱柱面面上上P点点共共同同产产生生的电位为的电位为已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值与前同理，可令与前同理，可令21第21页，此课件共64页哦 （4 4）点电荷与无限大的介质平面）点电荷与无限大的介质平面 E E 11qr0EEE EtE Enq2 2qE E 1 2qe ete en=+对于上半空

15、间，可用镜像电荷对于上半空间，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的对于下半空间，可用位于原点电荷处的 q 等效原来的点等效原来的点电荷电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为数为2 的均匀空间。的均匀空间。22第22页，此课件共64页哦 必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即和电通密度的法向分量应该保

16、持连续，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：23第23页，此课件共64页哦 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电压为，电压为U，外导体接，外导体接地，其内半径为地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。强度。解解 对对于于该该边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用，只好求解电位方程。只好求解电位方程。求得求得UbaO 选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此

17、此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉拉斯斯方方程变为程变为24第24页，此课件共64页哦利用边界条件：利用边界条件：最后求得最后求得求得求得25第25页，此课件共64页哦为了利用给定的边界条件，选择适当的为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系坐标系是非常重要的。是非常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离

18、变量法。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法对于分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。26第26页，此课件共64页哦3.3.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为 令令式式中中的的左左边边各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量 x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对 x 的的导导数数为为零，说明了第一项等于零，说明了第一项等于常数常数。代入上式代入上式,两边再除以两边再除以

19、27第27页，此课件共64页哦同理，再分别对变量同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知第二项及第三项也求导，得知第二项及第三项也分别等于分别等于常数常数。令各项的常数分别为令各项的常数分别为 式中，式中，kx，ky，kz 称为称为分离常数分离常数，它们可以是实数或虚数。，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程28第28页，此课件共64页哦由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且

20、且三三个个常常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。或者或者式中，式中，A,B,C,D为待定常数。为待定常数。例如，含变量例如，含变量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为29第29页，此课件共64页哦当当kx为虚数时，令为虚数时，令 ，则上述通解变为，则上述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解完全相同。的常微分方程的解完全相同。解中待定常数也取决于给定的边界条件。解中待定常数也取决于给定的边界条件。解的形式的选择决取于给定的边界条件。解的形式的选择决取于给定的边界条件。这些解的线性组合仍然是方

21、程的解。通常为了满足给定的这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。30第30页，此课件共64页哦例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与半无限大的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0电位满足的拉普拉斯方程变为电位满足的拉普拉斯方程变为解解 选取直角坐标系

22、。选取直角坐标系。槽中电位分布与槽中电位分布与 z 无关，无关，这是一个二维场的问题。这是一个二维场的问题。31第31页，此课件共64页哦应用应用分离变量法分离变量法，令，令为了满足为了满足 及及 ，Y(y)的解应为的解应为 槽中电位满足的边界条件为槽中电位满足的边界条件为因为因为y=0时时，电位电位=0，因此上式中常数因此上式中常数B=0。为了满足为了满足，分离常数分离常数ky应为应为 32第32页，此课件共64页哦求得求得已知已知 ，求得求得可见，分离常数可见，分离常数kx 为为虚数虚数，故故X(x)的解应为的解应为式中的常数式中的常数 C 应为零应为零？那么那么式中的常数式中的常数 C=

23、AD。求得求得33第33页，此课件共64页哦因因 x=0 时，电位时，电位 =0，得，得 上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足足给给定定的的边边界界条条件件。因因此此，必必须须取取上上式式的的线线性性组组合合作为电位方程的解。作为电位方程的解。为了满足为了满足 x=0，=0，由上式得，由上式得 即即34第34页，此课件共64页哦Odxy=0=0=0利用傅里叶级数的利用傅里叶级数的正交性正交性，求出系数，求出系数 Cn 为为求得槽中电位分布函数为求得槽中电位分布函数为 电场线电场线等位面等位面35第35页，此课件

24、共64页哦3.4 3.4 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为 令令求得求得上式中只有第二项为变量上式中只有第二项为变量 的函数，因此将上式对的函数，因此将上式对 求导，得求导，得知第二项对知第二项对 的导数为的导数为零零，可见第二项应为，可见第二项应为常数常数。令令36第36页，此课件共64页哦即即式中的式中的 k 为分离常数，它可以是为分离常数，它可以是实数实数或或虚数虚数。令令 ，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为考虑到考虑到 ，以及上式，则前述方程可表示为，以及上式，则前述方程可表示为变量变量

25、 的变化范围为的变化范围为 ，因此，上式的解一，因此，上式的解一定是三角函数，且常数定是三角函数，且常数 k 一定为整数。一定为整数。37第37页，此课件共64页哦上式第一项仅为变量上式第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的函数，的函数，因此，它们应为常数。因此，它们应为常数。式中的分离常数式中的分离常数 kz 可为可为实数实数或或虚数虚数，其解可为三角函数、，其解可为三角函数、双曲函数或指数函数。双曲函数或指数函数。式中的式中的C,D 为待定常数。为待定常数。当当kz为实数时，可令为实数时，可令令令38第38页，此课件共64页哦将变量将变量 z 的方程代入前

26、式，得的方程代入前式，得 若令若令 ，则上式变为，则上式变为 上式为标准的上式为标准的贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为，其解为贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 式中，式中，为为 m 阶第阶第一一类贝塞尔函数；类贝塞尔函数；为为m阶第阶第二二类贝塞尔函数。当类贝塞尔函数。当r=。因此，当场。因此，当场区包括区包括 r=0 时，只能取第时，只能取第一一类贝塞尔函数。类贝塞尔函数。39第39页，此课件共64页哦J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第第一一类贝塞尔函数类贝塞尔函数x40第40页，此课件共64页哦N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第第二二类贝塞尔函数类贝塞尔函数x41第41页，此课件共

27、64页哦 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。若若静静电电场场与与变变量量 z 无无关关，则则 。那那么么电电位位微微分分方程变为方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若又与变量若又与变量 无关，则无关，则 m=0。那么，电位微分方。那么，电位微分方程的解为程的解为 42第42页，此课件共64页哦 考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式列一般形式 例例 设一根无限长的导体圆柱设一根

28、无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度位于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试求导方向垂直于导体圆柱。试求导体圆柱体圆柱外外的电场强度。的电场强度。x yaE E0O43第43页，此课件共64页哦 解解 选取圆柱坐标系。令选取圆柱坐标系。令 z 轴为圆柱轴为圆柱轴线，电场强度的方向与轴线，电场强度的方向与 x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与函数应与z 无关。无关。x y

29、aE0O解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。44第44页，此课件共64页哦 圆柱表面电场强度的切向分量为零。圆柱表面电场强度的切向分量为零。求得求得 无限远处的电场未受到扰动。无限远处的电场未受到扰动。此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数。的函数。即即因此因此45第45页，此课件共64页哦为了满足为了满足，系数，系数 ，且，且 m=1。因此电位函数应为因此电位函数应为那么，根据边界条件即可求得系数那么，根据边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为46第46页，此课件共64页哦代入前式，求得圆柱外

30、电位分布函数为代入前式，求得圆柱外电位分布函数为 则圆柱外电场强度为则圆柱外电场强度为 47第47页，此课件共64页哦x yaE E0O圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布电场线电场线等位面等位面48第48页，此课件共64页哦令令代入上式，得代入上式，得5.5.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 在球坐标系中，电位微分方程的展开式为在球坐标系中，电位微分方程的展开式为49第49页，此课件共64页哦其其解应为解应为令令若静电场与变量若静电场与变量 无关，则无关，则 m=0 。将将 代入上式，得代入上式，得50第50页，此课件共64页哦可见

31、，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。无关。因此，第一项应为常数。因此，第一项应为常数。这是欧拉方程，其通解为这是欧拉方程，其通解为 为了便于进一步求解，令为了便于进一步求解，令即即 ,n 为整数为整数51第51页，此课件共64页哦令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类第一类连带勒让德连带勒让德函数函数与与第二类第二类连带勒让德函数连带勒让德函数之和，这里之和，这里 m n 。当当n 是整数时，是整数时，及及 为有限项多项式。为有限项多项式。将上述结果代入前式，得将上述结果代入前式，得

32、52第52页，此课件共64页哦当场区包括当场区包括 或或 时，此时只能取第时，此时只能取第一一类连类连带勒让德函数作为方程的解。带勒让德函数作为方程的解。53第53页，此课件共64页哦那么，电位微分方程的通解取下列线性组合那么，电位微分方程的通解取下列线性组合若若静静电电场场与与变变量量无无关关，则则m=0，称称为为第一类勒让德函数。此时，第一类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为通常令通常令54第54页，此课件共64页哦例例 设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场真空中，受到其内均匀电场 E E0 的

33、作用，如图所示。试求介的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。质球内的电场强度。E0zy 0a解解 取取球球坐坐标标系系，令令。显显然，此时场分布与然，此时场分布与 无关。无关。球内、外的电位分布函数可取为球内、外的电位分布函数可取为55第55页，此课件共64页哦则球内、外电位分别为则球内、外电位分别为球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：因此，系数因此，系数 Dn 应为零，即应为零，即 球心电位球心电位 应为有限值应为有限值。56第56页，此课件共64页哦 无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 可见，除了可见，除了A1 以外

34、的系数以外的系数 An 应皆为应皆为零，且零，且 。即。即 57第57页，此课件共64页哦求得求得 球内外电位在球面上应该连续，即球内外电位在球面上应该连续，即58第58页，此课件共64页哦求得求得式中式中 球面上内外电位的法向导数应满足球面上内外电位的法向导数应满足 因为因为59第59页，此课件共64页哦由于上述两式对于所有的由于上述两式对于所有的 值均应满足，因此等式值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。两边对应的各项系数应该相等。因此获知各系数分别为因此获知各系数分别为 60第60页，此课件共64页哦那么，那么，球内、外球内、外电位分别为电位分别为已知已知 ，求得球内的电场为，

35、求得球内的电场为可见，球内仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。可见，球内仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。61第61页，此课件共64页哦E0zy 0a若若在在无无限限大大的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为62第62页，此课件共64页哦1.1.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 分离变量法是通过变量分离将三维偏微分方程分离变量法是通过变量分离将三维偏微分方程简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解。简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解。分离变量法对于分离变量法对于11种正交曲面坐标系都是行之有种正交曲面坐标系都是行之有效的。效的。令令 ，获得三个常微分方程为，获得三个常微分方程为63第63页，此课件共64页哦2.2.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令令 ，获得三个常微分方程为，获得三个常微分方程为3.3.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 令令 ，获得三个常微分方程为，获得三个常微分方程为64第64页，此课件共64页哦