实对称矩阵的对角化课件.ppt

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1、关于实对称矩阵的对关于实对称矩阵的对角化角化现在学习的是第1页，共16页定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.证明证明一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质现在学习的是第2页，共16页于是有于是有两式相减，得两式相减，得现在学习的是第3页，共16页定理定理1 1的意义的意义现在学习的是第4页，共16页证明证明于是于是现在学习的是第5页，共16页证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为现在学习的是第6页，共16页由定理由定理2

2、知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则现在学习的是第7页，共16页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.现在学习的是第8页，共16页解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值现在学习的是第9页，共16页解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系现在学习的是第10页，共16页解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化现在学习的是第11页，共16页现在学习的是第12页，共16页现在学习的是第13页，共16页现在学习的是第14页，共16页于是得正交阵于是得正交阵现在学习的是第15页，共16页感谢大家观看现在学习的是第16页，共16页