因式分解常用方法讲稿.ppt

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1、关于因式分解常用方法第一页，讲稿共四十页哦复习回顾口答：口答：第二页，讲稿共四十页哦问题：问题：630可以被哪些整数整除？可以被哪些整数整除？解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630进行进行分解质因数分解质因数630=23257类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题新课引

2、入第三页，讲稿共四十页哦试试看试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积)回忆前面整式的乘法回忆前面整式的乘法第四页，讲稿共四十页哦上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整式整式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式式 ，也叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式 。分解因式分解因式因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形第五页，讲稿共四十页哦 依依照定义，判断下列变形是不是因照定义，判断下列变形是不是因式分解式分解（把（把多项式多项式化成几个

3、化成几个整式整式的的积积）第六页，讲稿共四十页哦创设情景创设情景 学校打算把操场重新规划一下，分为学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。图，计算操场总面积。abcm第七页，讲稿共四十页哦abcm方法一：方法一：S=m(a+b+c)方法二：方法二：S=ma+mb+mcmm第八页，讲稿共四十页哦方法一：方法一：S=m(a+b+c)方法二：方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？在式在式子子ma+mb+mc中，中，m是这个多项式是这个

4、多项式中每一个项都含有的因式，叫中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)第九页，讲稿共四十页哦ma+mb+mc=m(a+b+c)在下在下面这个式子的因式分解过程中，先面这个式子的因式分解过程中，先找到找到这个多项式的这个多项式的公因式公因式，再将，再将原式除以公因原式除以公因式式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。式相乘即可。这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤：1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将

5、原式除以公因式，得到一个新多项式，3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。第十页，讲稿共四十页哦8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数公因式公因式4ab2一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数观察观察方向方向第十一页，讲稿共四十页哦例例1 把把8a3b2+12ab3c 分解因式分解因式.解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc).第十二页，讲稿共四十页哦例例2 把把 2a(b+c)-3(b+c)分解因式分解因式.分析分析:(b+c)是这个式子的公因式是这个式子的公因

6、式,可以直接提出可以直接提出.解:2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a-3).第十三页，讲稿共四十页哦 按照提公因式按照提公因式法因式分解。法因式分解。第十四页，讲稿共四十页哦第十五页，讲稿共四十页哦公式回顾平方差公式：完全平方公式：立方和公式：立方差公式：考试不会涉及选学，不做统一要求，维度A第十六页，讲稿共四十页哦复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：计计算算：第十七页，讲稿共四十页哦=(999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运用了什么公式?新课引入试计算：试计算：9992 112

7、=1000998=998000平方差公式平方差公式逆用逆用因式分解因式分解:（1）x2 ;（2）y2 4 2522 52=(x+2)(x2)=(y+5)(y5)这些计算过程中都这些计算过程中都这些计算过程中都这些计算过程中都逆用逆用了平方差公式了平方差公式了平方差公式了平方差公式即：即：即：即：第十八页，讲稿共四十页哦此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字用文字用文字用文字表述为：表述为：表述为：表述为：两个数的平方差等于这两个数两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。的和与这两个数的差的积。尝

8、试练习(对下列各式因式分解)：a2 9=_ 49 n2=_ 5s2 20t2=_ 100 x2 9y2=_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)第十九页，讲稿共四十页哦=y2 4x2=(y+2x)(y2x)=(x2)2 12=(x2+1)(x21)（1）4x2+y2解：原式解：原式（2）x4 1解：原式解：原式(x21)=(4x2 y2)=(2x+y)(2xy)(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底!例如：1第二十页，讲稿共四十页哦（3）6x3 54xy2解：原式解：原式=6x(x29y2)=6x(x+3y)(x3

9、y)（4）(x+p)2 (xq)2 解：原式解：原式=(x+p)+(xq)(x+p)(xq)=(2x+pq)(p+q)YXYXYX例如：2第二十一页，讲稿共四十页哦 利用平方差利用平方差公式因式分解。公式因式分解。第二十二页，讲稿共四十页哦第二十三页，讲稿共四十页哦复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？计计算算：第二十四页，讲稿共四十页哦新课引入试计算：试计算：9992+1998 +129991=(999+1)2=106此处运用了什么公式此处运用了什么公式?完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式

10、一样，就像平方差公式一样，完全平方公完全平方公式式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便计算与因，从而进行一些简便计算与因式分解。式分解。即：即：第二十五页，讲稿共四十页哦这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个数倍，等于这两个数的和（或差）的平方。的和（或差）的平方。牛刀小试(对下列各式因式分解)：a2+6a+9=_ n210n+25=_ 4t28t+4=_ 4x212xy+9y2=_(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y

11、)2第二十六页，讲稿共四十页哦完全平方式的特点：完全平方式的特点：1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的）2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍）简记口诀：简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。第二十七页，讲稿共四十页哦 16x2+24x+9 4x2+4xy y2 4x2 8xy+4y2=(4x+3)2=(4x24xy+y2)=(2xy)2=4(x22xy+y2)=4(xy)2例如第二十八页，讲稿共四十页哦 用完全平方公式用完全平方公式进行因式分解。进

12、行因式分解。第二十九页，讲稿共四十页哦 用恰当的方法用恰当的方法进行因式分解。进行因式分解。备选方法：备选方法：提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式第三十页，讲稿共四十页哦第三十一页，讲稿共四十页哦一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然，然后用后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所得的，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：1）15(mn)+13(nm)2）4(x+y)+4(x3y)复习回顾第三十二页，讲稿共四十页哦二、公式法

13、只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可完将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法成因式分解，有时需和别的方法结结合合或多种公式或多种公式结合结合。接下来是一些常用的乘法公式，接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。可以逆用进行因式分解。复习回顾第三十三页，讲稿共四十页哦常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公

14、式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导复习回顾第三十四页，讲稿共四十页哦这是公式这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程的推导过程不要与不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆混淆复习回顾第三十五页，讲稿共四十页哦公式法公式法随堂练习：随堂练习：1）(a210a+25)(a225)2）x3+3x2+3x+1二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再将，再将符合其形式的公式套进去即可完成符合其形式的公式套进去即可完成

15、因式分解，有时需和别的方法因式分解，有时需和别的方法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。复习回顾第三十六页，讲稿共四十页哦三、十字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到这里就要用到这里就要用到十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成(axax+b b)()(cxcx+d d)的形式。的形式。的形式。的形式。(axax+b b)()(cxcx+d d)=)=acx x2 2+(ad+bc)x x+bd 所所所所以，需要将以，需要将以，需要将以，需要

16、将二次项系数二次项系数与与与与常数项常数项分别拆成两个分别拆成两个分别拆成两个分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。第三十七页，讲稿共四十页哦=173 x2+11 x+106 x2+7 x+223124+3=76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)第三十八页，讲稿共四十页哦=65 x2 6 xy 8 y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法十字相乘法。15244 105x26xy8y2=(x2y)(5x+4y)简记口诀：简记口诀：首尾分解，交首尾分解，交叉相乘，求和叉相乘，求和凑中。凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1）4a29a+22）7a219a63）2(x2+y2)+5xy第三十九页，讲稿共四十页哦感感谢谢大大家家观观看看第四十页，讲稿共四十页哦