复变函数的概念讲稿.ppt

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1、复变函数的概念第一页，讲稿共十页哦 1.复变函数的定义复变函数的定义 设设D为给定的平面点集，若对于为给定的平面点集，若对于D中每一个复数中每一个复数z=x+yi，按照某一确定的法则按照某一确定的法则 f，总有确定的一个或几个复数，总有确定的一个或几个复数w=u+vi与之对应，则称与之对应，则称f 是定义在是定义在D上的复变函数（复变数上的复变函数（复变数w是复是复变数变数 z的函数），简称复变函数，记作的函数），简称复变函数，记作 w=f(z)。一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念 其中其中 z 称为自变量，称为自变量，w 称为因变量，点集称为因变量，点集

2、D 称为函数的定称为函数的定义域。义域。第二页，讲稿共十页哦 设设z=x+iy,w=u+vi与之，则与之，则 w=f(z)可写作可写作一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念 这样，一个复变函数这样，一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值函数就相当于一对二元实值函数u=u(x,y),v=v(x,y)。w=u+vi=f(x+yi)=u(x,y)+i v(x,y)其中其中 u(x,y)与与 v(x,y)为实值函数。比较上式的实部和为实值函数。比较上式的实部和虚部可得到：虚部可得到：u=u(x,y),v=v(x,y)。从而从而 w=f(z)的性质就取决于的性质

3、就取决于u=u(x,y),v=v(x,y)的性的性质质。2.复变函数与实值函数的关系复变函数与实值函数的关系 第三页，讲稿共十页哦一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念 如果复数如果复数 z和和 w分别用分别用Z 平面和平面和 W 平面上的点表示，则函数平面上的点表示，则函数 w=f(z)的几何意义是：的几何意义是：2.复变函数的几何意义复变函数的几何意义 将将Z平面上的定义域平面上的定义域 D 变到变到 W 平面上的函数值域平面上的函数值域G 的一个变换或的一个变换或映射，它将映射，它将D 内的一点内的一点z 变为变为 G内的一点。内的一点。第四页，讲稿共十

4、页哦一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念一、复变函数的概念 例例1 将定义在全平面上的复变函数将定义在全平面上的复变函数 w=z2+1化为一对二元实变化为一对二元实变函数。函数。例例2 将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。化为一个复变函数。化为一个复变函数。第五页，讲稿共十页哦1.复变函数的极限的定义复变函数的极限的定义二、复变函数的极限二、复变函数的极限二、复变函数的极限二、复变函数的极限或或记作记作 的某去心的某去心邻邻域内有定域内有定义义，若，若对对任任 设设在点在点意给定的正数意给定的正数（无论它多么小）总存在正数（无论

5、它多么小）总存在正数，都有都有则称复常数则称复常数 A 为函数为函数在当在当时的极限。时的极限。当复数当复数满足满足时，对应的函数值时，对应的函数值第六页，讲稿共十页哦二、复变函数的极限二、复变函数的极限二、复变函数的极限二、复变函数的极限2.复变函数的极限与实值函数的极限的关系复变函数的极限与实值函数的极限的关系设设，则则且且第七页，讲稿共十页哦三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性1.复变函数连续的定义复变函数连续的定义 的某的某邻邻域内有定域内有定义义 设设在点在点，若，若则称则称处连续处连续。在在若若在区域在区域D 内每一个点都连续，则称函数内

6、每一个点都连续，则称函数在区域在区域D内连续。内连续。第八页，讲稿共十页哦三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性2.连续的复变函数的性质连续的复变函数的性质 在在z0处连续处连续的两个函数的和、差、的两个函数的和、差、积积、商（分商（分母不母不为为0）仍在）仍在处处z0连续连续。性性质质2函数函数在在性性质质3当函数当函数在有界闭区域在有界闭区域上连续时，上连续时，处连续处连续在在处连续。处连续。性质性质1也在也在上连续，且上连续，且可以取得最大值和最小值。可以取得最大值和最小值。第九页，讲稿共十页哦三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性例例3 求求例例4 讨论讨论在闭圆域在闭圆域在在内的最大值和最小值。内的最大值和最小值。上的连续性，并求上的连续性，并求第十页，讲稿共十页哦