多元函数的极值及其求法讲稿.ppt

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1、关于多元函数的极值关于多元函数的极值及其求法及其求法第一页，讲稿共二十三页哦一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义第二页，讲稿共二十三页哦例例1 1例例例例(3)(2)(1)第三页，讲稿共二十三页哦2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证第四页，讲稿共二十三页哦第五页，讲稿共二十三页哦仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注

2、意：注意：第六页，讲稿共二十三页哦第七页，讲稿共二十三页哦第八页，讲稿共二十三页哦例例4 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点第九页，讲稿共二十三页哦因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点第十页，讲稿共二十三页哦与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。第十一页，讲稿共二十三页哦求最值的一般求最值的一般方法方法：将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的

3、边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值第十二页，讲稿共二十三页哦解解令令第十三页，讲稿共二十三页哦无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.第十四页，讲稿共二十三页哦实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物

4、品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 U(x,y)=lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法第十五页，讲稿共二十三页哦条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值第十六页，讲稿共二十三页哦求解方程组求解方程组解出解

5、出 x,y,z,t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.第十七页，讲稿共二十三页哦解解则则例例6 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x,y，z.体积为体积为 V.则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.令令下，下，第十八页，讲稿共二十三页哦则则令令即即由由(2),(1)及及(3),(2)得得第十九页，讲稿共二十三页哦由由(2),(1)及及(3),(2)得得于是，于是，代入条件，得代入条件，得解得解得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以，最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，第二十页，讲稿共二十三页哦解解则则由由(1)，(2)得得由由(1)，(3)得得第二十一页，讲稿共二十三页哦将将(5)，(6)代入代入(4)：于是，得于是，得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值第二十二页，讲稿共二十三页哦2023/4/2感感谢谢大大家家观观看看第二十三页，讲稿共二十三页哦