微分方程模型.ppt

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1、微分方程模型现在学习的是第1页，共31页 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程动动态态模模型型微分方程建模微分方程建模现在学习的是第2页，共31页3.1微分方程的简单应用问题例例1 1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度（物

2、体达到的最大高度）在地面上以初速度v0v0铅直向铅直向上发射一质量为上发射一质量为m m的物体，设地球引力与物体到地心距的物体，设地球引力与物体到地心距离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度.若物体若物体脱离太阳系，则脱离太阳系，则v0v0应为多少？应为多少？模型建立模型建立记地球半径为记地球半径为R R，假设空气阻力不计，假设空气阻力不计.设在时刻设在时刻t t物体上升的高度为物体上升的高度为s=s(t)s=s(t)，则根据，则根据NewtonNewton（牛顿）的万有引（牛顿）的万有引力定律知，物体受地球的引力为：力定律知，物体受地球的引力为：现在

3、学习的是第3页，共31页 又当物体在地面上时，又当物体在地面上时，s=0,F=-mgs=0,F=-mg又物体在上升过程中满足又物体在上升过程中满足Newton(Newton(牛顿牛顿)第二定律第二定律这是一个二这是一个二阶微分方程阶微分方程现在学习的是第4页，共31页 模型模型求解求解现在学习的是第5页，共31页 由于物体到达最大高度时，由于物体到达最大高度时，v=0v=0，所以由，所以由此即第二宇此即第二宇宙速度宙速度现在学习的是第6页，共31页 例例2 2 液体的浓度稀释问题液体的浓度稀释问题在甲、乙两个大桶内各装有在甲、乙两个大桶内各装有100L100L的盐水（两桶均为装满），的盐水（两

4、桶均为装满），其浓度均为其浓度均为5g/L.5g/L.现用一根细管将净水以现用一根细管将净水以2L/min2L/min的速度的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶液仍以输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶液仍以2L/min2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中均不会溢出）；然后用细管以程中均不会溢出）；然后用细管以1L/min1L/min的速度从乙桶的速度从乙桶将混合溶液输出将混合溶液输出.问时刻问时刻t t时乙桶盐水的浓度是多少？时乙桶盐水的浓度是多少？模型建立模型建立与求解与求解设设y y1 1(t)(t)和和y y2

5、2(t)(t)分别表示时刻分别表示时刻t t时甲、时甲、乙两桶内含盐的数量乙两桶内含盐的数量先分析先分析甲桶甲桶现在学习的是第7页，共31页 两边同除以两边同除以t,t,并令并令t0,t0,得甲桶内含盐的数学模型得甲桶内含盐的数学模型：分析分析乙桶乙桶同理在任意时间段同理在任意时间段t,t+tt,t+t内乙桶内含盐量的内乙桶内含盐量的变化为变化为：两边同除以两边同除以t,t,并令并令t0,t0,得乙桶内含盐的数学模型得乙桶内含盐的数学模型：现在学习的是第8页，共31页 这是一阶线性微分方程，这是一阶线性微分方程，现在学习的是第9页，共31页 例例3 3 凶手作案时间的推断问题凶手作案时间的推断

6、问题某天在一住宅发生一起凶杀案，下午某天在一住宅发生一起凶杀案，下午1616：0000刑侦人员和法医刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为赶到现场，立即测得尸体温度为30C30C，室内环境温度为，室内环境温度为20C.20C.已知在环境温度已知在环境温度20C20C状况下尸体最初状况下尸体最初2 2小时其温度小时其温度下降下降2C.2C.若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀作案时间作案时间.现在学习的是第10页，共31页 问问题题分分析析该问题属于物理上的冷却现象，需要运用该问题属于物理上的冷却现象，需要运用NewtonNewton（牛顿）冷却定

7、律：（牛顿）冷却定律：“物质在介质中的冷却速度物质在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比同该物体温度与介质温度之差成正比.”而而“冷却速冷却速度就是温度对时间的导数度就是温度对时间的导数.”模模型型建建立立记记T Tt t为时刻为时刻t t物体的温度，物体的温度，T T0 0为初始时刻为初始时刻t t0 0物体物体的温度（即被害者被害时的体温），的温度（即被害者被害时的体温），T Te e为介质为介质（环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：（环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：（其中（其中00为比例系数）为比例系数）现在学习的是第11页，共31页 模模型型求求解解现在的问题是现在的问

8、题是如何求？如何求？方法一方法一 利用已知介质（环境）温度利用已知介质（环境）温度T Te e下物体在下物体在最初时间段最初时间段t t1 1-t-t0 0其温度下降为其温度下降为T Td d这一条件来确定这一条件来确定.现在学习的是第12页，共31页 应应用用现在学习的是第13页，共31页 方法二方法二 利用现场过一段时间，再增加一次温度利用现场过一段时间，再增加一次温度测定，从而增加一个条件来确定测定，从而增加一个条件来确定.现在学习的是第14页，共31页 例例4 4 马王堆一号墓入葬年代的测定问题马王堆一号墓入葬年代的测定问题湖南长沙市马王堆一号墓于湖南长沙市马王堆一号墓于1972197

9、2年年8 8月发掘出土，其时测月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳得出土的木炭标本中碳1414平均（平均（C C1414）原子蜕变数）原子蜕变数为为29.7829.78次次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳碳1414的原子蜕变数为的原子蜕变数为38.3738.37次次/分钟，又知碳分钟，又知碳1414的半的半衰期为衰期为57305730年，试由此推断墓人入葬的大致年代年，试由此推断墓人入葬的大致年代.问题问题分析分析放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，它总是和该元素当前的量成正比它总是和该元素当前的量成正比.运

10、用运用C C1414测定文物或化石年代的理由：测定文物或化石年代的理由：现在学习的是第15页，共31页（1 1）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生C C1414，而同时，而同时C C1414又不断衰变，从而大气层中又不断衰变，从而大气层中C C1414的的含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不变；变；（2 2）C C1414被动植物体所吸收，所以活着的生物体由被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的于不断的新陈代谢，体内的C C1414也处于动态平衡中，也处于动态平衡中，其含量自古

11、至今也都是一样的；其含量自古至今也都是一样的；（3 3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取C C1414，从而其体内，从而其体内C C1414含量将由于衰变而不断减少含量将由于衰变而不断减少.碳定碳定年代法就是根据年代法就是根据C C1414的减少量来判断生物体的大致的减少量来判断生物体的大致死亡时间死亡时间.运用运用C C1414测定文物或化石年代的理由：测定文物或化石年代的理由：现在学习的是第16页，共31页 建建立立模模型型设设t t时刻生物体中时刻生物体中C C1414的含量为的含量为x(t)x(t)，x x0 0为生物为生物体死亡时间体死亡时间t

12、t0 0时所含时所含C C1414的含量，放射性物质的的含量，放射性物质的半衰期为半衰期为T T，则，则C C1414衰变规律的数学模型为：衰变规律的数学模型为：模模型型求求解解运用分离变量法，得：运用分离变量法，得：现在学习的是第17页，共31页 模模型型应应用用把把T=5730,xT=5730,x0 0=38.37,x(1972)=29.78=38.37,x(1972)=29.78代入上式得：代入上式得：即马王堆墓入葬的年代大约在公元前即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123123年左右的西汉年左右的西汉中期。中期。现在学习的是第18页，共31页 3.2 3.2 运动轨迹问题运动轨迹问题例例

13、 1 1 航迹曲线航迹曲线设河边点设河边点O O的正对岸为点的正对岸为点A A，河宽，河宽OA=h,OA=h,两岸为平行直两岸为平行直线，平行于河岸的水流速度为常数线，平行于河岸的水流速度为常数v v1 1,有一小船从有一小船从A A点点出发，驶向点出发，驶向点O.O.设小船速度为设小船速度为v v2 2(静水中速度），且静水中速度），且|v|v2 2|v|v1 1|.|.小船在航行中船头恒指向小船在航行中船头恒指向O O点，求小船航行点，求小船航行的轨迹的轨迹.模模型型建建立立设设O O为坐标原点，河岸沿为坐标原点，河岸沿y y轴方轴方向延伸向延伸,如右图如右图.小船航行的轨小船航行的轨迹为

14、迹为y=y(x).y=y(x).现在学习的是第19页，共31页 设小船设小船t t时刻位于点时刻位于点(x,y)处，则有：处，则有：现在学习的是第20页，共31页 现在学习的是第21页，共31页 模模型型求求解解这是一阶齐次这是一阶齐次微分方程微分方程现在学习的是第22页，共31页 这就是小船的航行轨迹曲线这就是小船的航行轨迹曲线.现在学习的是第23页，共31页 例例2 2 追踪问题追踪问题在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇d n mile(d n mile(海里）海里）处有一艘走私船正以匀速处有一艘走私船正以匀速a n mile(a n mile(海

15、里）朝垂直方向逃海里）朝垂直方向逃窜，缉私舰立即以最大的速度窜，缉私舰立即以最大的速度v nmile(v nmile(海里）追赶海里）追赶.在雷达在雷达的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船.试求缉私舰试求缉私舰的追踪轨迹及追上所用的时间的追踪轨迹及追上所用的时间.模型建立如果如果va,va,则缉私舰不可能追上走私则缉私舰不可能追上走私船，因此假设船，因此假设va.va.以缉私舰发现走私船的位置记为坐标以缉私舰发现走私船的位置记为坐标原点原点O O，走私船逃窜的方向为，走私船逃窜的方向为y y轴方轴方向，建立坐标系，走私船的起点位向，建立坐标系，走私船

16、的起点位置为置为A A（d,0),d,0),如图如图.现在学习的是第24页，共31页 现在学习的是第25页，共31页 对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型模模型型求求解解这是一个二阶这是一个二阶微分方程微分方程现在学习的是第26页，共31页 现在学习的是第27页，共31页 缉私舰追上走私船的时间缉私舰追上走私船的时间现在学习的是第28页，共31页3.33.3 火车弯道缓和曲线的设计火车弯道缓和曲线的设计问题问题 火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F=mvF=mv2 2/R./R.在轨道的直道与弯道（圆弧）

17、的衔接处，列车受到的在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接处，列车受到的离心力若由离心力若由0 0突然变到突然变到F F，会损坏路轨和车辆，并使乘客，会损坏路轨和车辆，并使乘客赶到不适，甚至发生危险赶到不适，甚至发生危险.为此火车轨道在弯道处采取为此火车轨道在弯道处采取“外外轨超高轨超高”的办法，使产生的向心力抵消部分离心力，以保证的办法，使产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行列车安全运行.为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车

18、受到的离心力从曲线，以使列车受到的离心力从0 0均匀地增大到均匀地增大到F F，外轨的超，外轨的超高也从高也从0 0逐渐增大到逐渐增大到h.h.所加的曲线称为所加的曲线称为缓和曲线缓和曲线.试求满足试求满足上述要求的缓和曲线的模型上述要求的缓和曲线的模型.现在学习的是第29页，共31页 模模型型建建立立如图，设铁路轨道沿如图，设铁路轨道沿x负半负半轴直到原点为直线，从第一轴直到原点为直线，从第一象限的象限的B B处开始，是半径为处开始，是半径为R R0 0的圆弧，的圆弧，OBOB弧是所求的缓和弧是所求的缓和曲线，曲线，OBOB弧的总长度为弧的总长度为l0 0.当列车行驶时，由当列车行驶时，由F=mvF=mv2 2/R/R知，要使离心力均匀变化，只知，要使离心力均匀变化，只需缓和曲线的曲率需缓和曲线的曲率K=1/RK=1/R均匀变化均匀变化.从而只需从而只需OBOB弧上每点处弧上每点处的曲率与从原点到该点的弧长的曲率与从原点到该点的弧长l成正比即可，即有成正比即可，即有K=Cl.现在学习的是第30页，共31页 关于模型求解，请同学参阅教材关于模型求解，请同学参阅教材P73P73，或请同学们自己利，或请同学们自己利用微分方程知识求解，在此，我们就不求解了用微分方程知识求解，在此，我们就不求解了.现在学习的是第31页，共31页