基数与实数理论讲稿.ppt

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1、基数与实数理论第一页，讲稿共五十九页哦集合集合n 集合论自十九世纪八十年代由德国数学家Cantor创立以来，已发展成一个独立的数学分支，其基本概念与方法已渗入到二十世纪的各个数学领域。集合论是研究集合的各种性质，它的初期工作与数学分析的深入研究密切相关。第二页，讲稿共五十九页哦理发师悖论理发师悖论 1900年H.Poincare：现在，我们能够说完全严格性已达到了。1903年Russell 提出“理发师悖论”。一个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自己当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的刮脸。有一天，他发生了疑问：他是不是应该给自己刮脸?第三页，讲稿共五十九页哦集合的集合的公理系统公

2、理系统-ZFC系统系统 自Russell悖论后，许多数学家为摆脱这一危机而努力工作。途径为:对Cantor的集合论加以改造，引进新的理论体系。Zermelo在1908年提出七条公理 Fraenkel加入代换公理Axiom of Choice(选择公理)。第四页，讲稿共五十九页哦ZFC系统n1917年法国数学家米里马诺夫提出了一个悖论，von Neumann又引入了正则公理，至此的公理系统最终建立起来。第五页，讲稿共五十九页哦附附:自然数的自然数的Peano公理公理n设 是一非空集合，且1)在 内存在一个特定元素，记为0;2)存在 到自身的一个映射 使下面三条公理满足:a)对任意 b)是一个单射

3、第六页，讲稿共五十九页哦Peano公理n C)(归纳公理)如果 的一个子集S 具备如下条件:I)Ii)若 ,则 ,那么,必有 此时,称 是一个自然数系,内的元素称为自然数.第七页，讲稿共五十九页哦集合的基数集合的基数(势势)n映射映射(双射双射 对等对等两个集合两个集合A A和和 B B，若存在双射，若存在双射则称则称A A与与B B对等对等，记，记第八页，讲稿共五十九页哦n1 1、若A与 对等，则称A为有限集，其基数为n，否则，称之为无限集。对对 等等第九页，讲稿共五十九页哦n命题命题 设A和B为同基数的有限集，若 为单射，则 必为满射。反之，若 为满射，则必为单射。对对 等等第十页，讲稿共

4、五十九页哦n设想有一群鸽子，和等数的鸽笼，则上命题知：如果每一鸽子一一进笼，则鸽笼必无空者；反之，如鸽笼皆无空者，则必然每一笼子中仅有一只鸽子。鸽笼原理鸽笼原理第十一页，讲稿共五十九页哦n2、若A与正整数集 对等，则称A为可数集，否则为不可数集（在无限集中讨论）。可数、不可数可数、不可数第十二页，讲稿共五十九页哦定理定理Th 1.有理数集Q是可数(无限)集。Th 2.可数多个可数集的并集是可数的。Th 3.实数集R是不可数集。第十三页，讲稿共五十九页哦Cantor-Bernstein定理定理Th4.(Cantor-Bernstein)若集合A与集合B的某真子集对等，B与A的某个真子集对等，则A

5、B。第十四页，讲稿共五十九页哦定理定理Th 6.集合A为无限集 A与其一 真子集对等。Th 5.设A是无限集，B是可数集，则 与A对等。第十五页，讲稿共五十九页哦部分与整体部分与整体无穷大的世界里，部分可能等于整体。n “整体多于部分”这一法则被破坏，表明无限集合具有本质上异于有限集合的特性。从有限过渡到无限，完全符合辩证的规律性质的质变。第十六页，讲稿共五十九页哦Hilbert 旅馆旅馆设想一旅店内有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位房客，“对不起”，旅店主说，“所有的房间都住满了。现设想另一家旅店内设有(可数)无限个房间，所有房间都住满了。这时候也有一新客来住，想订房间。旅店主说：

6、“非常对不起。”第十七页，讲稿共五十九页哦Hilbert 旅馆 正好这时候，聪明的旅店主的女儿说：“这好办（不成问题）。”办法:她把一号房间的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移至三号房间，等等。这一来，新客就住进了已被腾空的一号房间。第十八页，讲稿共五十九页哦Hilbert旅馆n又来了(可数)无穷多位要求订房间的客人，旅店的女儿采用如下办法:一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移到六号房间，等等。现在，所有单号房间都腾空出来了。从而新来的无穷多位客人可住进去了。第十九页，讲稿共五十九页哦Hilbert 旅馆n这(可数)无穷多位旅客想每个人可数无数间房来安排他们

7、的亲戚朋友。女儿想了很久，终于想出了办法。n后来，女儿进入大学数学系。有一天，Cantor教授上课，他问：“要是区间 上每一点要占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，也无法安排。不可数第二十页，讲稿共五十九页哦无最大基数定理nTh7.若A是非空集合，则A与其幂集 （由A的一切子集所构成的集合）不对等。第二十一页，讲稿共五十九页哦基数 ，n 在 （N的基数）与 c（R的基数）之间是否还存在其它基数？连续统假设：与 c 之间不存在别的基数。第二十二页，讲稿共五十九页哦连续统假设n 1900年Hilbert在他的著名演讲中列举了23个未解决的问题，第一个便是连续统假设。Godel在1940年指出

8、连续统假设与ZFC的相容性；1963年Cohen证明它的独立性。第二十三页，讲稿共五十九页哦Godel 第一第一不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有不可判定命题。即存在某一命题A，使A与A的否定在该系统中皆不可证。第二十四页，讲稿共五十九页哦Godel 第二第二不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出：如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的.第二十五页，讲稿共五十九页哦不等式不等式n1 1、三角形不等式、三角形不等式:第二十六页，讲稿共五十九页哦n2、第二十七页，

9、讲稿共五十九页哦 Young不等式不等式3.Young不等式：不等式：(p，q 为相伴数),第二十八页，讲稿共五十九页哦Holder不等式不等式n4.Holder4.Holder不等式不等式:p,q p,q为相伴数为相伴数,第二十九页，讲稿共五十九页哦Holder不等式不等式n积分型Holder不等式:p,q为相伴数,第三十页，讲稿共五十九页哦Minkowshi不等式不等式n5.Minkowshi5.Minkowshi不等式不等式:第三十一页，讲稿共五十九页哦Minkowshi不等式n积分型Minkowshi不 等式:第三十二页，讲稿共五十九页哦直线上的点集直线上的点集n实数理论实数理论 十九

10、世纪后半叶严格解决：什么是实数？1、Cantor,Meray,Weierstrass;2、Dedekind理论第三十三页，讲稿共五十九页哦实数理论实数理论定义定义 设设 都是有理数。假都是有理数。假设对任意的正有理数设对任意的正有理数 ，存在自然数，存在自然数 ，使得当使得当 时不等式时不等式 成立，成立，就称就称 是是基本有理数列基本有理数列。第三十四页，讲稿共五十九页哦实数理论实数理论 设 和 是两个基本有理数列，若对任一正有理数 ，有自然数 ，使得当 时，不等式 成立，就称基本有理数列 和 相等，记 。第三十五页，讲稿共五十九页哦实数 称基本有理数列是一个实数，规定相等的基本有理数列是同

11、一实数。第三十六页，讲稿共五十九页哦引理引理n引理1 两个基本有理数列 和 ，那么 也都是基本有理数列；第三十七页，讲稿共五十九页哦引理n引理引理2 2 若基本有理数列 满足 则 第三十八页，讲稿共五十九页哦实数域实数域n定义 设 是两个实数，称实数 为“加 ”（和），记 。称 为 乘 （积），记 （引理说明合理性）第三十九页，讲稿共五十九页哦实数域定理 实数 全体按上述的加法及乘法成为一个域。（Abel群;Abel群;乘法与加法之间的分配律）。第四十页，讲稿共五十九页哦开集开集n邻域：称 为 的 邻域。n内点：存在 的一个 邻域 则称 集 的内点。n开集：集合的每一点都是内点。第四十一页，讲

12、稿共五十九页哦聚点聚点n聚点：的任意的邻域中都含有 中异于 的一个点，则称 为 的聚点。a的任意的邻域中都含有 A中无限多个点第四十二页，讲稿共五十九页哦闭包、闭集闭包、闭集n闭包：设 表示 的一切聚点所成之集，则 的闭包定义为 n闭集：如果 的余集 是开集，则称 为闭集。n定理：为闭集的充分条件是第四十三页，讲稿共五十九页哦Cantor 三分集三分集n 将 均分为三段，删去中间的开区间 ，剩下两个闭区间 和 ，又把这两个部分都均分成三段，删去中间的开区间 和 。如此下去第四十四页，讲稿共五十九页哦Cantor三分集三分集n自然有些点是永远删不去的(被删去的开区间的端点 )，所有这些永远删不去

13、的点所成的集称为 Cantor Cantor 集集。第四十五页，讲稿共五十九页哦Cantor三分集三分集n Cantor三分集在现代分析中是一个十分典型而有用的集合。它是一个最经典的自相似集，在分形几何中具有重要地位。然而，经典的分析却把它看成是“病态”的集合，而将它排除在研究和讨论的问题之外。第四十六页，讲稿共五十九页哦Cantor三分集三分集n事实上,Cantor三分集有许多重要性质：它是一个不可数的、无孤立点的、无内点的闭集，因此是一个完备疏集。其 Lebesgue 测度为 0，Hausdorff 测度为 1，Hausdorff维数为 。第四十七页，讲稿共五十九页哦曲线曲线nJordan

14、给出“平面曲线”的如下定义：一条平面曲线是平面上那些坐标 和 由方程 所给出的点的总体。其中 是闭区间 上的两个连续函数，这样的曲线为连续曲线。第四十八页，讲稿共五十九页哦Peano曲线曲线Peano曲线：适当选择地连续函数 和 时连续曲线 可填满一个正方形。第四十九页，讲稿共五十九页哦n 实数理论正是由于极限运算而出现的。例如一个单调递增的数列，如果有上界，是否一定有极限。从几何的直观上这个问题似乎是显而易见的，但若要求给出严格的逻辑证明却又发生困难。这样必须要有严格的数学理第五十页，讲稿共五十九页哦 论，给极限论以坚实的基础。Cantor提出的这种用一列数来规定一个数的思想不仅为实数建立了

15、严格的理论，而且这个方法已被泛函分析和其它学科推广了。第五十一页，讲稿共五十九页哦极限理论极限理论n定义 设 是一实数列，如果有实数 ，适合如下条件：对于任何正实数 ，有自然数 ，得当 时，成立 那么称实数列 收敛于极限 ，记 第五十二页，讲稿共五十九页哦上确界上确界 若 是 的一个上界，且对 的任一上界 ，均有 ，则称 为 的上确界，记 。这等价于 是它的最小上界 是 的一个上界;比 小的任何数都不是 的上界。第五十三页，讲稿共五十九页哦定定 理理确界存在定理 有上（下）界的非空数集必存在上（下）确界。单调有界定理 单调递增有上界的数列必存在极限。第五十四页，讲稿共五十九页哦闭区间套定理n设

16、 是一串闭区间，满足：（1）对任何自然数 ，都有（2）则有 且 是一切闭区间的唯一公共点.第五十五页，讲稿共五十九页哦紧性定理紧性定理nBolzano-Weierstrass定理：任一有界数列必有收敛的子列。n覆盖：是一族开区间，若 ,则称开区间族 覆盖了第五十六页，讲稿共五十九页哦紧性定理紧性定理Heine-Borel定理：若开区间族 覆盖有界闭区间 ，则从 必可挑出有限个开区间 同样覆盖第五十七页，讲稿共五十九页哦完备性定理完备性定理 nCauchy列 ：nCauchy收敛原理：数列 存在极限的充要条件为 是 Cauchy列。第五十八页，讲稿共五十九页哦实数集的完备性实数集的完备性(连续性连续性)nCauchy收敛原理：n单调有界原理n闭区间套定理n确界存在定理nBolzano-Weierstrass定理(聚点定理)nHeine-Borel定理(有限覆盖定理)第五十九页，讲稿共五十九页哦