复数项级数和幂级数讲稿.ppt

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1、复数项级数和幂级数第一页，讲稿共二十六页哦14-1 复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的运算性质第二页，讲稿共二十六页哦2一、复数项级数一、复数项级数复数列即有序的复数集称 收敛于 ，若记作1.复数列复数列第三页，讲稿共二十六页哦3复数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系定理定理此定理说明此定理说明:可将复数列的收敛性转化为判别两可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性个实数列的收敛性.复数列复数列的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于a a第四页，讲稿共二十六页哦41.1.复数项级数复数项级数表达

2、式表达式称为复数项级数称为复数项级数.前前 n 项的和项的和称为级数的前称为级数的前 n 项项部分和部分和.2.复数项级数的复数项级数的收敛性及其判别法收敛性及其判别法设设 为一复数列，为一复数列，第五页，讲稿共二十六页哦52.级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念说明：说明：与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的判别复数项级数敛散性的基本方法是基本方法是:第六页，讲稿共二十六页哦63.3.复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系证证因因定理定理2 2说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题第

3、七页，讲稿共二十六页哦7级数收敛的必要条件（级数收敛的必要条件（定理定理3 3）第八页，讲稿共二十六页哦8非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.类似于实数级数，引入类似于实数级数，引入绝对收敛绝对收敛概念概念第九页，讲稿共二十六页哦9绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质(定理定理4 4)且有不等式且有不等式 成立成立.第十页，讲稿共二十六页哦10而而解解 是否收敛？是否收敛？例例1 1 数列数列第十一页，讲稿共二十六页哦11例例2 2故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所

4、以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解第十二页，讲稿共二十六页哦12故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例3 3解解第十三页，讲稿共二十六页哦131.1.幂级数的概念幂级数的概念称为复变函数项级数。称为复变函数项级数。称为该级数前称为该级数前n n项的项的部分和部分和.级数前级数前n n项的和项的和三三.幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径第十四页，讲稿共二十六页哦14称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定第十五页，讲稿共二十六页哦15例例 求幂级数

5、求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.第十六页，讲稿共二十六页哦16函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.第十七页，讲稿共二十六页哦172.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性Abel(阿贝尔阿贝尔)定理定理如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足第十八页，讲稿共二十六页哦18收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法方法方法1 1（比值法）比值法）那末收敛半径那末收敛半径即即即即第十九页，讲稿共二十六页哦19方法方法2（根值法）根值

6、法）那末收敛半径那末收敛半径即即即即第二十页，讲稿共二十六页哦20解解例例 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.第二十一页，讲稿共二十六页哦214.4.幂级数的运算性质幂级数的运算性质第二十二页，讲稿共二十六页哦22定理定理4 4 设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为则则在收敛圆在收敛圆 内解析内解析.(1)它的和函数它的和函数(2)(3)第二十三页，讲稿共二十六页哦23例例 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出第二十四页，讲稿共二十六页哦24级数收敛级数收敛,且其和为且其和为第二十五页，讲稿共二十六页哦25感感谢谢大大家家观观看看02.04.2023第二十六页，讲稿共二十六页哦