高考总复习-集合与函数概念知识点及习题.pdf

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1、 启迪教育 第 1 页 共 56 页 第一章 集合与函数概念 知识网络 第一讲 集合 知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的 3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N或N Z Q R C 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函数 及其表示 函数基本性质

2、单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射 映射的概念 集合与函数概念 启迪教育 第 2 页 共 56 页 二：集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 BA 且AB BA 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 BA 或AB 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A，B（B）三：集合的基本运算 两个集合的交集:AB=x xAxB且;两个集合的并集:AB=x xAxB或;设全集是 U,集合AU,则UC A x xUx

3、A且 交 并 补|,ABx xAxB且|,ABx xAxB或 UC A x xUxA且 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，)(xfyx如、)(xfyy、)

4、(),(xfyyx等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：启迪教育 第 3 页 共 56 页 问题：已知集合221,1,9432xyxyMxNy则M N=（）A.；B.)2,0(),0,3(；C.3,3；D.3,2(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A（2）任何集合都是它本身的子集，即AA（3）子集、真子集都有传递性，即若BA，CB，则CA 4集合的运算性质（1）交集：ABBA；AAA；A；ABA，BBABAABA；（2）并集：ABBA；AAA；AA；ABA，

5、BBAABABA；（3）交、并、补集的关系 ACAU；UACAU)()()(BCACBACUUU；)()()(BCACBACUUU 热点考点题型探析 考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特征 例 1（2008 年江西理）定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB设 1,2,0,2AB，则集合A B的所有元素之和为（）A0；B2；C3；D6 题型 2：集合间的基本关系 例 2数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）AXY；BYX；CYX；DYX 新题导练 1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛

6、的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（）ABA B.CB C.CBA D.ACB 启迪教育 第 4 页 共 56 页 2 (2006 山 东改 编）定 义 集合 运 算:ByxxyyxBA,zA22,设 集 合 1,0A,3,2B,则集合BA的所有元素之和为 3(2007湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合QPQxPxx且,|，如果P=(0,3)，1xxQ,那么QP 等于 4研究集合42xyxA，42xyyB，4),(2xyyxC之间的关系 考点二：集合的基本运算 例 3 设集合0232xxxA，0)5()1(222ax

7、axxB（1）若2BA，求实数a的值；若ABA，求实数a的取值范围 新题导练 7已知集合2),(yxyxM，4),(yxyxN，那么集合NM 为（）A.1,3yx；B.)1,3(；C.1,3；D.)1,3(8集合|10Ax ax,2|320Bx xx,且ABB,求实数a的值.备选例题 1：已知1xyyM，1),(22yxyxN，则NM 中的元素个数是（）A.0；B.1；C.2；D.无穷多个 抢分频道 基础巩固训练：1 设全集R,(3)0,1UAx x xBx x,则右图中阴影部分表示的集合为()A0 x x；B30 xx；C31xx ；D1x x 3.集合 1,0,1的所有非空子集个数为 4.

8、（09 年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若Bx且Ay，则A与B的关系是 解析AB 或AB；由子集和交集的定义即可得到结论 5(2008 年天津)设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是（）A13a；B13a C3a或1a；D3a或1a U B A 启迪教育 第 5 页 共 56 页 解析A；5132|xxxxxS或，8|axaxT，RTS 所以581aa，从而得13a 综合提高训练：601mmP,恒成立对于任意实数xmxmxRmQ0442 则下列关系中立的是()APQ;BQP;CQP;DQP 解析A；当0m时，有0)4(4)4(0

9、2mmm，即 01mRmQ；当0m时，0442 mxmx也恒成立，故 01mRmQ，所以PQ 7.设)(12)(Nnnnf，5,4,3,2,1P，7,6,5,4,3Q，记 PnfNnP)(，QnfNnQ)(，则)()(PCQQCPNN()A.3,0;B.2,1;C.5,4,3;D.7,6,2,1 解析 A；依题意得2,1,0P，3,2,1Q，所以0)(QCPN，3)(PCQN，故应选A 8（09 届惠州第一次调研考）设 A、B 是非空集合，定义 A Bx xABxAB且，已知 A=2|2x yxx，B=|2,0 xy yx，则 AB 等于（）A0,；B 0,12,；C0,12,；D 0,1(2

10、,)解析D；22002xxx，A=0，2，021xx，B=（1，），AB=0,），AB=（1，2，则 AB 0,1(2,)第 2 讲 函数与映射的概念 知识梳理 1函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 启迪教育 第 6 页 共 56 页 Axxfy),(2)函数的定义域、值域 在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy 的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy 的值域。(2)函

11、数的三要素：定义域、值域和对应法则 2映射的概念 设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题 1：已知函数)(xfy 的定义域为ba，求)2(xfy的定义域 误解因为函数)(xfy 的定义域为ba，所以bxa，从而222bxa 故)2(xfy的定义域是2,2ba 正

12、解因为)(xfy 的定义域为ba，所以在函数)2(xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2(xfy的定义域是2,2ba 即本题的实质是求bxa2中x的范围 问题 2：已知)2(xfy的定义域是ba，求函数)(xfy 的定义域 误解因为函数)2(xfy的定义域是ba，所以得到bxa2，从而 22bxa，所以函数)(xfy 的定义域是2,2ba 正解因为函数)2(xfy的定义域是ba，则bxa，从而222bxa 所以函数)(xfy 的定义域是2,2ba 即本题的实质是由bxa求2x的范围 即)(xf与)2(xf中x含义不同 启迪教育 第 7 页 共 56 页 2 求值域的几种常用方法（1）配 方

13、 法：对 于（可 化 为）“二 次 函 数 型”的 函 数 常 用 配 方 法，如 求 函 数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域 由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函 数 值 域 中 的 一 个 值；若0y，则 由0)12(4)1(22yyy得021332133yy且，

14、故所求值域是2133,2133（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为 1cos521cos3cos2xxxy，而2,0(1cosx，所以25,(1cos5x，故 21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域 当0 x时，0y；当0 x时，xxy43，若0 x，则4424xxxx 若0 x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是43,43（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数)2,1(2224xxxy的值域 因)14(22823xxxxy，故函数)2,1(2224xxxy在)21,1(上递减、在)0,21

15、(上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为30,815（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？启迪教育 第 8 页 共 56 页（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就

16、要考查函数的三要素。解析（1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xxxf)(的定义域为),0()0,(，而;01,01)(xxxg的定义域为 R，所以它们不是同一函数.（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数，xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0 xx，而xxxg2)(的定义域为10 xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2

17、）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2 xxf，1)(2 ttf，1)1()1(2uuf都可视为同一函数.新题导练 1(2009佛山)下列函数中与函数xy 相同的是()A.y=(x)2;B.y=33t;C.y=2x;D.y=xx2 解析 B；因为 y=33tt，所以应选择 B

18、 2(09 年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0 xy的图象相同的函数是（）启迪教育 第 9 页 共 56 页 A.)21(12xxy；B.121xy；C.)21(121xxy；D.|121|xy 解析 C；根据对数恒等式得121101.0121lg)12lg(xyxx，且函数)12lg(1.0 xy的定义域为),21(，故应选择 C 考点二：求函数的定义域、值域 题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2.（08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2)4,(;B.)1,0()0,4(；C.1,0()0,4,;D.)1,0()0,4,解题思路函数的定

19、义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数)(xf有意义，必须并且只需 0043230430232222xxxxxxxxx)1,0()0,4 x，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0；对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型 2

20、：求抽象函数的定义域 例 3（2006湖北）设 xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4 解题思路要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)(xf的定义域。解析由202xx得，()f x的定义域为22x，故22,2222.xx 解得 4,11,4x。故xfxf22的定义域为 4,11,4.选 B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x的定义为,a b，则函数()f g x的定义域 启迪教育 第 10 页 共 56 页 是满足不等式()ag xb的 x 的取值范围；一般地，若函数()f g x的定义域是,a

21、b，指的是,xa b，要求()f x的定义域就是,xa b时()g x的值域。题型 3；求函数的值域 例 4已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域 解题思路应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域 解析依题意，0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4)1()(max faf，419)23()(min faf，所以)(af的值域是4,419【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 3.（2008 安徽文、理）函数221()lo

22、g(1)xf xx的定义域为 解析 3,)；由11,01012xxx解得3x 4定义在R上的函数()yf x的值域为,a b，则函数(1)yf x的值域为()A1,1ab；B,a b；C1,1ab；D无法确定 解析 B；函数(1)yf x的图象可以视为函数()yf x的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的 5(2008 江西改)若函数()yf x的定义域是3,1，则函数(2)()1fxg xx的定义域是 解析 23,1()1,21；因为()f x的定义域为3,1，所以对()g x，321 x但1x 故23,1()1,21x 6(2008 江西理改)若函数()yf x的值域是3,

23、32，则函数 1()F xf xf x的值域 是 解析 310,2；)(xF可以视为以)(xf为变量的函数，令)(xft，则)332(1tttF 2222)1)(1(111ttttttF，所以，ttF1在 1,32上是减函数，在3,1 上是增函数，故)(xF的最大值是310，最小值是 2 启迪教育 第 11 页 共 56 页 考点三：映射的概念 例 5（06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文,a b c d对应密文2,2,23,4.abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14

24、,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A7,6,1,4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D1,6,4,7 解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，有214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为 C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合 A、B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；（3）集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象

25、是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合 A 中不同元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.新题导练 7集合 A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_，从 B 到 A 的映射个数是_.解析 9,8；从 A 到 B 可分两步进行：第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5或 6 或 7），第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数 N1339.反之从 B 到 A，道理相同，有 N22228 种不同映射.8若 f:y=3x+1 是从集合 A=1，

26、2，3，k到集合 B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k 的值及集合 A、B.解析 a=2，k=5，A=1，2，3，5，B=4，7，10，16；f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）,133,1024kaaa或（2）.13,10342kaaa aN，方程组（1）无解.解方程组（2），得 a=2 或 a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.备选例题：（03 年上海）已知集合M是满足下列性质的函数)(xf的全体：存在非零常数T，对任意Rx，有)()(xT

27、fTxf成立。启迪教育 第 12 页 共 56 页（1）函数xxf)(是否属于集合M？说明理由；（2）设函数)1,0()(aaaxfx的图象与xy 的图象有公共点，证明：Maxfx)(解析（1）对于非零常数 T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意 xR，x+T=Tx 不能恒成立，所以 f(x)=.Mx（2）因为函数 f(x)=ax（a0 且 a1）的图象与函数 y=x 的图象有公共点，所以方程组：xyayx有解，消去 y 得 ax=x,显然 x=0 不是方程 ax=x 的解，所以存在非零常数 T，使 aT=T.于是对于 f(x)=ax有)()(xTfaTaaaTxfxxTTx

28、故 f(x)=axM.抢分频道 基础巩固训练：1(2007广东改编)已知函数xxf11)(的定义域为N，)1ln()(xxg的定义域为M，则NM 解析),(；因为(1,),(,1)MN ,故RNM 2函数)23(log31xy的定义域是 解析 23(,1；由1230 x得到132 x 3函数1212xxy的值域是 解析)1,1(；由1212xxy知1y，从而得yyx112，而02 x，所以011yy，即11y 4（广东从化中学 09 届月考）从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是()AB 中某一元素b的原象可能不只一个；BA 中某一元素a的象可能不只一个 CA 中两个不同元素的象必不相

29、同；DB 中两个不同元素的原象可能相同 解析A；根据映射的定义知可排除 B、C、D 5（深圳中学 09 届高三第一学段考试）下列对应法则f中，构成从集合 A 到集合B的映射是（）A2|:,0|xyxfRBxxA B2:,4,2,0,2xyxfBA 启迪教育 第 13 页 共 56 页 C21:,0|,xyxfyyBRA D2:,1,0,2,0 xyxfBA 解析D；根据映射的定义知，构成从集合 A 到集合B的映射是 D 6（09 年执信中学）若函数234yxx的定义域为0,m,值域为2544，则m的取值范围是（）A4,0；B332，；C32，4；D32，）解析B；因为函数234yxx即为425

30、)23(2 xy，其图象的对称轴为直线23x，其最小值为425，并且当0 x及3x时，4y，若定义域为0,m，值域为2544，则323 m 综合提高训练：8（05 天津改）设函数xxxf22ln)(，则函数)1()2()(xfxfxg的定义域是 解析)4,21()21,4(；由022xx得，()f x的定义域为22x。故212222xx 解得214x或421 x。9设函数21)(2xxxf的定义域是 1,nn(n是正整数)，那么)(xf的值域中共有 个整数 解析22 n；因为41)21(21)(22xxxxf，可见，)(xf在 1,nn(n是正整数)上是增函数，又22)21(21)1()1()

31、()1(22nnnnnnfnf 所以，在)(xf的值域中共有22 n个整数 第 3 讲 函数的表示方法 知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数 启迪教育 第 14 页 共 56 页 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已

32、知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；问题 1已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf 方法一：换元法 令)(12Rttx，则21tx，从而)(955216)21(4)(22Rttttttf 所以)(95)(2Rxxxxf 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(564)12(222xxxxxxxf 所以)(95)(2Rxxxxf 方法三：待定系数法 因为)(xf是二次函数，故可设cbxaxxf2)(，从而由564)12(2xxxf可求出951cba、，所以)(95)(2Rxxxxf

33、（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf 问题 2：已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf 因为xxfxf3)1(2)(以x1代x得xxfxf13)(2)1(由联立消去)1(xf得)0(2)(xxxxf 热点考点题型探析 考点 1：用图像法表示函数 例 1（09 年广东南海中学）一水池有2个进水口,1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量 启迪教育 第 15 页 共 56 页 甲 乙 丙（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点

34、不进水不出水 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上).解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时 1 个单位，两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位，3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中

35、发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。新题导练 1(05 辽宁改)一给定函数)(xfy 的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式0)(1nnafa得到的数列na满足)(0*1Nnaann，则该函数的图象是（）A B C D 解析 A.；令1nnaxay，则()yf x等价于)(1nnafa，()yf x是由点1(,)nna a组 成，而又知道1nnaa，所以每各点都在 y=x 的上方。2(2005湖北)函数|1|lnxeyx的图象大致是()时间011时间021时间034665 启迪教育 第 16 页 共 56 页 解析 D；当1x时，1)1(xxy，可以排除 A

36、 和 C；又当21x时，23y，可以排除 B 考点 2：用列表法表示函数 例 2（07 年北京）已知函数()f x，()g x分别由下表给出 则(1)f g的值为 ；满足()()f g xg f x的x的值是 解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知(1)f g=(3)1f；当1x时，(1)1,(1)(1)3f gg fg，不满足条件 当2x时，(2)(2)3,(2)(3)1f gfg fg，满足条件，当3x时，(3)(1)1,(3)(1)3f gfg fg，不满足条件，满足()()f g xg f x的x的值是2x【名师指引】用列表法表示函数具有明显

37、的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练 3（09 年山东梁山）设 f、g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：映射 f 的对应法则是表 1 原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 映射 g 的对应法则是表 2 则与)1(gf相同的是（）A)1(fg；B)2(fg；C)3(fg；D)4(fg 解析 A；根据表中的对应关系得，1)4()1(fgf，1)3()1(gfg x 1 2 3()f x 1 3 1 x 1 2 3()g x 3 2 1 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2 启迪教育 第 17 页 共 56 页 4（04 年江苏

38、改编）二次函数cbxaxy2（xR）的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 则不等式02cbxax的解集是 解析)3,2(；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02cbxax的两根为2 和 3，又根据)2()0(ff且)3()0(ff可知0a，所以不等式 02cbxax的解集是)3,2(考点 3：用解析法表示函数 题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 3（04 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 解析 令txx11，则11ttx，1

39、2)(2tttf.12)(2xxxf.故应填212xx【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法（注意新元的取值范围）；待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；整体代换（配凑法）；构造方程组（如自变量互为倒数、已知)(xf为奇函数且)(xg为偶函数等）。题型 2：求二次函数的解析式 例 4（普宁市城东中学 09 届高三第二次月考）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间 1,1上，)(xfy 的图象恒在mxy 2的图象上方，试确定实数m的范围。解题思路（1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可

40、得求)(2xfmx对于 1,1x恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。启迪教育 第 18 页 共 56 页 解析设2()(0)f xaxbxc a，则22(1)()(1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab 与已知条件比较得：22,0aab解之得，1,1ab 又(0)1fc，2()1f xxx 由题意得：212xxxm 即231mxx对1,1x 恒成立，易得2min(31)1mxx 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。新题导练 5（06 全国卷二改编）若xxf2cos3)(sin，则)2s

41、in(xf 解析 x2cos3；)2sin(xf22(sin)3cos23(12sin)2sin2fxxxx 所以2()22f xx,因此22(cos)2cos2(2cos1)33cos2fxxxx 6（09 年潮州金山中学）设()yf x是一次函数，若 01f且 1,4,13fff成 等比数列，则 242fffn ；解析)32(nn；设bkxxf)(，由1)0(f得1b，从而1)(kxxf 又由 1,4,13fff成等比数列得2)14()113)(1(kkk，解得2k 所以12)(xxf，242fffn)32(12 142 122nnn 7（华侨中学 09 届第 3 次月考（09 年中山）设

42、 11xf xx，又记 11,1,2,kkfxf xfxffxk则 2008fx （）A11xx；B11xx；Cx；D1x；解析 C；由已知条件得到xxxxxxfxfxffxf1111111)(1)(1)()(1112，111111)(1)(1)()(1123xxxxxfxfxffxf，启迪教育 第 19 页 共 56 页 xxxxxxfxfxffxf111111)(1)(1)()(3334，xxxffxf11)()(45 可见，)(xfn是以 4 为周期的函数，而45022008，所以，xxfxf)()(42008 8设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且其图象在 y 轴上的截距为

43、1，在 x 轴上截得的线段长为2，求)(xf的解析式。解析 17872)(2xxxf；设 f(x)=ax2+bx+c，由 f(x)满足 f(x2)=f(x2)，可得函数 y=f(x)的对称轴为 x=2，所以22ba 由 y=f(x)图象在 y 轴上的截距为 1，可得(0)1f，即 c=1 由 y=f(x)图象在 x 轴上截得的线段长为2，可得 22121212|()4()42bcxxxxx xaa 所以联立方程组2()42122bcaacba，可解得27871abc 所以 f(x)=178722xx.考点 4：分段函数 题型 1：根据分段函数的图象写解析式 例 5(07 年湖北)为了预防流感，

44、某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为ay1161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么 启迪教育 第 20 页 共 56 页 从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量 y（毫克）与时间 t 是一次函数，药物释放完毕后，y

45、 与 t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析（）观察图象，当1.00 t时是直线，故ty10；当1.0t时，图象过)1,1.0(所以a1.01611，即1.0a，所以1.0,)161(1.00,101.0tttyt（）6.016116125.01615.01.01.0taa，所以至少需要经过6.0小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象 例 6(2006上海)设函数54)(2xxxf，在区间6,2上画出函数)(xf的图像。思路点拨需将来 绝 对值符号打开，即先解05

46、42 xx，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 222452156()45(45)15xxxxf xxxxxx 或,如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。新题导练 9（09 年潮州金山中学）已知函数223(0)()1 (0)xxf xxx，则 1ff 解析 2；由已知得到21)1()1()312()1(2ffff 10（06 山东改编）设,2),1(log.2,2)(221xxxxfx则不等式02)(xf的解集为 解析),5()2,1(；当2x时，由02)(

47、xf得221x，得21 x 启迪教育 第 21 页 共 56 页 当2x时，由02)(xf得2)1(log22x，得5x 备选例题 1：(2005江西)已知函数baxxxf2)(（a，b 为常数）且方程 f(x)x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4.（1）求函数 f(x)的解析式；（2）设 k1，解关于 x 的不等式；xkxkxf2)1()(解析（1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得 29913,()(2).162284axabf xxbxab 解得所以（2）不等式即为02)1(,2)1(222xkxkxxkxkxx可化为 即.0)(1)(2(kxxx 当).,2()

48、,1(,21kxk解集为 当);,2()2,1(0)1()2(,22xxxk解集为不等式为时),()2,1(,2kxk解集为时当.备选例题 2：（06 重庆）已知定义域为 R 的函数()f x满足 22()().ff xxxf xxx （I）若(2)3f，求(1)f;又若(0)fa，求()f a;（II）设有且仅有一个实数0 x，使得00()f xx，求函数()f x的解析表达式 22222)()2)(2)22 2322,(1)1 f(0)=a,f(00)00,()xf xxxffaaf aa222解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2

49、）即若则即 启迪教育 第 22 页 共 56 页 22000202000002000000220(II)()().(),()()()0()0()xRf f xxxf xxxxf xxxRf xxxxxxf xxxxf xxxxxxxf xxxf xx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0 或=1 若=0，则，即202202 0 ()1,()1.()1 ()xxxxxxf xxxf xxxf xxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为 抢分频道 基础巩固训练：1（09 年广州高三年

50、级第一学期中段考）函数 xfy 的图象如图 2 所示.观察图象可知 函数 xfy 的定义域、值域分别是（）A.6,20,5,5,0；B.,0,6,5 C.6,20,5,0；D.5,2,5 解析 C；由图象可以看出，应选择 C 2（09 年惠州第一次调研考）某工厂从 2000 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的 产量y与时间t的函数图像可能是（）解析 B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随 x 的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，选 B 3（2004湖南改编）设函数2,0