根与系数的关系(韦达定理)练习题.pdf

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1、一元二次方程根与系数的关系练习题 一选择题（共 14 小题）1下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（）A x2x+2=0 B x22x+2=0 C x2x2=0 D 2x24x+1=0 2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为 2，3，而小华看错常数项，解错两根为2，5，那么原方程为（）A x23x+6=0 B x23x6=0 C x2+3x6=0 D x2+3x+6=0 3（2011锦江区模拟）若方程 x23x2=0 的两实根为 x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A 4 B 6 C 8 D 12 4（2007泰安）若 x1，x2是方程 x22x4=

2、0 的两个不相等的实数根，则 2x122x1+x22+3 的值是（）A 19 B 15 C 11 D 3 5（2006贺州）已知 a，b 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个实数根，则 a2ab+4a 的值是（）A 6 B 0 C 7 D 1 6（1997天津）若一元二次方程 x2ax2a=0 的两根之和为 4a3，则两根之积为（）A 2 B 2 C 6 或 2 D 6 或2 7已知 x 的方程 x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的 3 倍则（）A 3n2=16m2 B 3m2=16n C m=3n D n=3m2 8a、b 是方程 x2+（m5）x+7=0 的两个根，则（a2+ma+

3、7）（b2+mb+7）=（）A 365 B 245 C 210 D 175 9在斜边 AB 为 5 的 Rt ABC 中，C=90，两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，则 m 的值为（）A 4 B 4 C 8 或4 D 8 10设 m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为（）A 2008 B 2009 C 2010 D 2011 文档 11设 x1、x2是二次方程 x2+x3=0 的两个根，那么 x134x22+19 的值等于（）A 4 B 8 C 6 D 0 12m，n 是方程 x22008x+2009=0 的

4、两根，则（m22007m+2009）（n22007n+2009）的值是（）A 2007 B 2008 C 2009 D 2010 13已知 x1、x2是一元二次方程 x2+x1=0 两个实数根，则（x12x11）（x22x21）的值为（）A 0 B 4 C 1 D 4 14设 m，n 是方程 x2x2012=0 的两个实数根，则 m2+n 的值为（）A 1006 B 2011 C 2012 D 2013 二填空题（共 5 小题）15 若关于x的方程x2+2mx+m2+3m2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _ 16 若关于 x 的一元二次方程 x2+x3=0

5、的两根为 x1，x2，则 2x1+2x2+x1x2=_ 17 已知关于x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是 _ 18一元二次方程 2x2+3x1=0 和 x25x+7=0 所有实数根的和为 _ 19已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，若（m1）（n1）=6，则 a 的值为 _ 三解答题（共 11 小题）20已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m3）x+m2=0 的两个不相等的实数根、满足，求 m的值 21是否存在实数 m，使关于 x 的方程 2x2+mx+5=0 的两实根的平方的倒数和等于？若存在，

6、求出 m；若不存在，说明理由 文档 22已知关于 x 的方程 kx22x+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，则当 k 为何值时，方程两根之比为 1：3？23已知斜边为 5 的直角三角形的两条直角边 a、b 的长是方程 x2（2m1）x+4（m1）=0 的两个根，求 m 的值 24实数 k 为何值时，方程 x2+（2k1）x+1+k2=0 的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根 文档 25已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x2k=0 的两个实数根 x1、x2满足 x1x2=2，试求 k 的值 26已知 x1、x2是方程 x2kx+k（k+4）=0 的两个根，且满足（x11）（x2

7、1）=，求 k 的值 27关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值 28已知 x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数 a 的整数值 文档 29已知一元二次方程 x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求 m 的范围；（2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值 30

8、已知 x1、x2是一元二次方程 2x22x+m+1=0 的两个实根（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果 m 满足不等式 7+4x1x2x12+x22，且 m 为整数求 m 的值 文档 一元二次方程要与系数的关系练习题 参考答案与试题解析 一选择题（共 14 小题）1下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（）A x2x+2=0 B x22x+2=0 C x2x2=0 D 2x24x+1=0 考点：根与系数的关系 专题：方程思想 分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=对以下选项进行一一验证并作出正确的选择 解答：解：A、x1+x2=1；故本选项错误；B、=48=40，所以本方程无

9、根；故本选项错误；C、x1+x2=1；故本选项错误；D、x1+x2=2；文档 故本选项正确；故选 D 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的 2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为 2，3，而小华看错常数项，解错两根为2，5，那么原方程为（）A x23x+6=0 B x23x6=0 C x2+3x6=0 D x2+3x+6=0 考点：根与系数的关系 分析：利用根与系数的关系求解即可 解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为 2，3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为2，5，两根

10、之和正确，故设这个一元二次方程的两根是、，可得：文档=6，+=3，那么以、为两根的一元二次方程就是 x23x6=0，故选：B 点评：此题主要考查了根与系数的关系，若 x1、x2是方程ax2+bx+c=0 的两根，则有x1+x2=，x1x2=3（2011锦江区模拟）若方程 x23x2=0 的两实根为 x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A 4 B 6 C 8 D 12 考点：根与系数的关系 分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可 文档 解答：解：x1、x2是方程

11、 x23x2=0 的两个实数根 x1+x2=3，x1x2=2 又（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4 将 x1+x2=3、x1x2=2 代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（2）+23+4=8 故选 C 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 4（2007泰安）若 x1，x2是方程 x22x4=0 的两个不相等的实数根，则代数式 2x122x1+x22+3 的值是（）A 19 B 15 C 11 D 3 文档 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解 专题：

12、压轴题 分析：欲求 2x122x1+x22+3 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 解答：解：x1，x2是方程 x22x4=0 的两个不相等的实数根 x122x1=4，x1x2=4，x1+x2=2 2x122x1+x22+3=x122x1+x12+x22+3=x122x1+（x1+x2）22x1x2+3=4+4+8+3=19 故选 A 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方文档 法 5（2006贺州）已知 a，b 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个实数根，则 a2ab+4a 的值是（）A 6 B 0 C 7 D 1 考点：根与系

13、数的关系；一元二次方程的解 专题：压轴题 分析：由 a，b 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a3=0，b2+4b3=0，a+b=4，ab=3；再根据问题的需要，灵活变形 解答：解：把 a 代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得 ab=3 a2ab+4a=a2+4aab=3（3）=6 故选 A 点评：本题考查了一元二次方程根文档 与系数的关系解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b 的相等关系，再根据根与系数的关系求出 ab 的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为

14、：x1+x2=，x1x2=6（1997天津）若一元二次方程 x2ax2a=0 的两根之和为 4a3，则两根之积为（）A 2 B 2 C 6 或 2 D 6 或2 考点：根与系数的关系 专题：方程思想 分析：由两根之和的值建立关于 a的方程，求出 a 的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积 文档 解答：解；由题意知 x1+x2=a=4a3，a=1，x1x2=2a=2 故选 B 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误 7已知 x 的方程 x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的 3 倍则（）A 3n2=16m2 B 3m2=16n

15、C m=3n D n=3m2 考点：根与系数的关系 分析：设方程的一个根为 a，则另一个根为 3a，然后利用根与系数的关系得到两根与 m、n 之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：方程x2+mx+n=0 的一个根是另一文档 个根的 3 倍，设一根为 a，则另一根为 3a，由根与系数的关系，得：a3a=n，a+3a=m，整理得：3m2=16n，故选 B 点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大 8a、b 是方程 x2+（m5）x+7=0 的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A 365 B 245 C 210 D 175 考点：根与系数

16、的关系；一元二次方程的解 专题：计算题 分析：根据一元二次方程的解的意义，知 a、b 满足方程 x2+（m5）x+7=0，又由韦达定理知 ab=7；所文档 以，根据来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可 解答：解：a、b 是方程 x2+（m5）x+7=0 的两个根，a、b 满足方程x2+（m5）x+7=0，a2+ma+75a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+75b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知 ab=7；（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25ab=257=175 故选 D 点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系求代数式（a2

17、+ma+7）（b2+mb+7）的文档 值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法 9在斜边 AB 为 5 的 Rt ABC 中，C=90，两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，则 m 的值为（）A 4 B 4 C 8 或4 D 8 考点：根与系数的关系；勾股定理 分析：根据勾股定理求的 a2+b2=25，即 a2+b2=（a+b）22ab，然后根据根与系数的关系求的a+b=m1ab=m+4；最后由联立方程组，即可求得 m 的值 解答：解：斜边 AB为 5 的Rt ABC 中，C=90，两条直角边 a、b，a2+b2=25，又 a2+b2=（

18、a+b）22ab，文档 （a+b）22ab=25，a、b 是关于 x的方程 x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，a+b=m1，ab=m+4，由，解得 m=4，或m=8；当 m=4 时，ab=0，a=0 或 b=0，（不合题意）m=8；故选 D 点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时，需注意作为三角形的两边 a、b 均不为零这一条件 10设 m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为（）A 2008 B 2009 C 2010 D 2011 文档 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解 专题：计算题 分析：由于 m、n 是方程 x2+

19、x2012=0 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n=1，并且 m2+m2012=0，然后把 m2+2m+n 可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 解答：解：m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，m+n=1，并且 m2+m2012=0，m2+m=2011，m2+2m+n=m2+m+m+n=20121=2011 故选 D 点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代文档 数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 11设 x1、x2是二次方程 x2+x3=0 的两个根，那么 x134x22+19 的值等于（）A 4 B 8 C 6 D 0 考

20、点：根与系数的关系 专题：计算题 分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算 解答：解：由题意有x12+x13=0，x22+x23=0，即 x12=3x1，x22=3x2，所以 x134x22+19=x1（3x1）4（3x2）+19=3x1x12+4x2+7=3x1（3x1）文档+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=1，所以原式=4（1）+4=0 故选 D 点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简求出 x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3x1，x22=3x2

21、 12 m，n 是方程 x22008x+2009=0 的两根，则代数式（m22007m+2009）（n22007n+2009）的值是（）A 2007 B 2008 C 2009 D 2010 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解 分析：首先根据方程的解的定义，得m22008m+2009=0，n2文档 2008n+2009=0，则有 m22007m=m2009，n22007n=n2009，再根据根与系数的关系，得 mn=2009，进行求解 解答：解：m，n 是方程 x22008x+2009=0的两根，m22008m+2009=0，n22008n+2009=0，mn=2009 （m22007m+

22、2009）（n22007n+2009）=（m2009+2009）（n2009+2009）=mn=2009 故选 C 点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系 13已知 x1、x2是一元二次方程 x2+x1=0 两个实数根，则（x12x11）（x22x21）的值为（）文档 A 0 B 4 C 1 D 4 考点：根与系数的关系 专题：计算题 分析：根据一元二次方程的解的定义，将 x1、x2分别代入原方程，求得 x12=x1+1、x22=x2+1；然后根据根与系数的关系求得 x1x2=1；最后将其代入所求的代数式求值即可 解答：解：x1、x2是一元二次方程x2+x1=0 两个实数根，x12

23、+x11=0，即 x12=x1+1；x22+x21=0，即x22=x2+1；又根据韦达定理知 x1x2=1（x12x11）（x22x21）=2x1（2x2）=4x1x2=4；故选 D 文档 点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 14设 m，n 是方程 x2x2012=0 的两个实数根，则 m2+n 的值为（）A 1006 B 2011 C 2012 D 2013 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解 分析：利用一元二次方程解的定义，将 x=m 代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+

24、n 的值代入所求的代数式求值即可 解答：解：m，n 是方程 x2x2012=0 的两个实数根，m2m2012=0，即m2=m+2012；文档 又由韦达定理知，m+n=1，m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选 D 点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键 二填空题（共 5 小题）15（2014广州）若关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根 x1、x2，则 x1（x2+x1）+x22的最小值为 考点：根与系数的关系；二次函数的最值 专题：判别式法 分析：由题意可得=b24ac0，然后根据不等式的最小值计算

25、即可得到结论 解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m文档 2=0 有两个实数根，则=b24ac=4m24（m2+3m2）=812m0，m，x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2x1x2=（2m）2（m2+3m2）=3m23m+2=3（m2m+）+2=3（m）2+；当 m=时，有最小值；，m=成立；最小值为；文档 故答案为：点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题 总结一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 16（2013江阴市一模）若关于 x 的一元二次方程

26、 x2+x3=0 的两根为 x1，x2，则 2x1+2x2+x1x2=5 考点：根与系数的关系 分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与 x1x2的值，再整体代入即可求解 解答：解：根据根与系文档 数的关系可得，x1x2=1，x1+x2=23 则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=23=5 故答案为：5 点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=、x1x2=时，要注意等式中的a、b、c 所表示的含义 17已知关于 x 的方程 x22ax+a22a+2=0 的两个实数根 x1，x2，满足 x12+x22=2，则 a

27、的值是 1 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到关于 a 的方程，文档 求出 a 的值 解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a22a+2 x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2a）22（a22a+2）=2a2+4a4=2 解 a2+2a3=0，得 a1=3，a2=1 又方程有两实数根，0 即（2a）24（a22a+2）0 解得 a1 a=3 舍去 a=1 点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求 a

28、 的值的问题转化为方程求解的问题 文档 18一元二次方程 2x2+3x1=0 和 x25x+7=0 所有实数根的和为 考点：根与系数的关系 专题：计算题 分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出 a，b 和 c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值 解答：解：由 2x2+3x1=0，得到：a=2，b=3，c=1，b24ac=9+8=170，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和 x2，则 x1+x2=；文档 由 x25x+7=0，找出 a=1，b=5，c=7，b24ac=2528=30，此方程没有实数根 综上，两方程所有的实

29、数根的和为 故答案为：点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根 19已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，若（m1）（n1）=6，则 a 的值为 4 考点：根与系数的关系 分析：由 m、n 是关于x 的一元二次方程 x23x+a=0的两个解，得出文档 m+n=3，mn=a，整理（m1）（n1）=6，整体代入求得 a的数值即可 解答：解：m、n 是关于x的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，m+n=3，mn=a，（m1）（n1）=6，mn（m+n）+1=6 即 a3+1=

30、6 解得 a=4 故答案为：4 点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则 x1+x2=，x1x2=三解答题（共 11 小题）20（2004重庆）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m3）x+m2=0 的两个不相等的实数根、满足，求 m 的值 文档 考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式 分析：首先根据根的判别式求出 m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于 m 的方程，求出 m 的值并检验 解答：解：由判别式大于零，得（2m3）24m20，解得 m 即 +=又+=（2m3），=

31、m2 代入上式得 32m=m2 解之得m1=3，文档 m2=1 m2=1，故舍去 m=3 点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用 21（1998内江）是否存在实数 m，使关于 x 的方程 2x2+mx+5=0 的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出 m；若不存在，说明理由 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和 即可确定 m 的取值情况 解答：解：设原方程的两根为 x1、x2，则有：文档，又，m220=29，解得 m=7，=m2425=m240=（7）240=90 存在实数7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于 点评：

32、利用根与系数的关系和根的判别式来解决容易出现的错误是忽视所求的 m 的值是否满足判别式 文档 22已知关于 x 的方程 kx22x+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，则当 k 为何值时，方程两根之比为 1：3？考点：根与系数的关系 分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设 x1：x2=1：3，则可得 x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出 k 的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可 解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设 x1：x2=1：3，则可得 x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和 x2，整理得：4k2k=0，解得 k=0 或k=，文档 当 k=0

33、时，显然不合题意，当 k=时，其判别式=10，所以当 k=时，方程两根之比为 1：3 点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于 k 的方程，注意检验是否满足判别式大于 0 23已知斜边为 5 的直角三角形的两条直角边 a、b 的长是方程 x2（2m1）x+4（m1）=0 的两个根，求 m 的值 考点：根与系数的关系；勾股定理 分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（m1），再由勾股定理可得 a2+b2=52，文档 即（a+b）22ab=25，把上面两个式子代入可得关于 m 的方程，解出 m 的值，再利用一元二次

34、方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m 的值进行取舍即可 解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（m1），再由勾股定理可得 a2+b2=52，即（a+b）22ab=25，把上面两个式子代入可得关于 m 的方程：（2m1）28（m1）=25，整理可得：m23m4=0，解得 m=4 或 m=1，当 m=4 或 m=1 一元二次方程的判别式都大于 0，但当 m=文档 1 时，ab=8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以 m=4 点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于 m 的方程进行求解，容易忽略实际

35、问题所满足的条件而导致错误 24实数 k 为何值时，方程 x2+（2k1）x+1+k2=0 的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于 k 的二次函数，求出取得最小值时 k 的值，再利用根的判别式进行验证 文档 解答：解：设方程的两根分别为 x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令 y=，则y=（2k1）22（1+k2）=2k24k1=2（k1）23，其为开口向上的二次函数，当k=1 时，有最小值，但当 k=1 时，一元二次方程的判别式为=70，所以没有满足 0 的 k 的值，所

36、以该题目无解 点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次文档 方程有实数根 25已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x2k=0 的两个实数根 x1、x2满足 x1x2=2，试求 k 的值 考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式 分析：先根据根与系数的关系，可求出 x1+x2，x1x2的值，再结合 x1x2=2，可求出k 的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定 k的值 解答：解：根据题意得x1+x2=（2k1），x1x2=2k，又 x1x2=2，（x1x2）2=22，（x1+x2）24x1x2=4，（2k1）24（2k）=4

37、，（2k+1）2=4，文档 k1=，k2=，又 =（2k1）241（2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，（2k+1）20，k，k1=，k2=点评：一元二次方程的两个根 x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1x2=26已知 x1、x2是方程 x2kx+k（k+4）=0 的两个根，且满足（x11）（x21）=，求 k 的值 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：（x11）（x21）=，即 x1x2（x1+x2）文档+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入 x1x2（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k 的值 解答：解：x1+x2

38、=k，x1x2=k（k+4），（x11）（x21）=，x1x2（x1+x2）+1=，k（k+4）k+1=，解得 k=3，当 k=3 时，方程为 x23x+=0，=9210，不合题意舍去；当 k=3 时，方程为 x2+3x文档=0，=9+30，符合题意 故所求k的值为3 点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式 0 27（2011南充）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2

39、）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值 考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组 专题：代数综合题；压文档 轴题 分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入不等式 x1+x2x1x21，即可求得k的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值 解答：解：（1）方程有实数根，=224（k+1）0，（2分）解得 k0 故 K 的取值范围是k0（4分）（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1（5 分）x1+x2x1x2=文档

40、 2（k+1）由已知，得2（k+1）1，解得 k2（6分）又由（1）k0，2k0（7分）k 为整数，k 的值为1和 0（8 分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式 0 28（2012怀化）已知 x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数 a 的整数值 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：根据根与系数的关系求得文档 x1x2=，x1+x

41、2=；根据一元二次方程的根的判别式求得 a 的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a 的方程即可求得 a 的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得 a 的取值范围，然后在取值范围内取 a的整数值 解答：解：x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根，由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=；一元二次方程（a6）文档 x2+2ax+a=0 有两个实数根，=4a24（a6）a0，且 a60，解得，a0，且a6；（1）x1+x1x2=4+x2，x1x2=4+（x1+x2），即=4，解得，a=240

42、；存在实数 a，使x1+x1x2=4+x2成立，a 的值是 24；（2）（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=+1=，当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a60，且 a6 是 6 的文档 约数，a6=6，a6=3，a6=2，a6=1，a=12，9，8，7；使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数 a 的整数值有 12，9，8，7 点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数）的二次项系数a0 29（2010东莞）已知一元二次方程 x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求 m 的范围；（2）若方程的两个实数根为

43、x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值 考点：根与系数的关系；根的判别式 专题：压轴题 分析：（1）一元二次方程 x22x+m=0 有两个文档 实数根，0，把系数代入可求 m 的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2 结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求 m 解答：解：（1）方程x22x+m=0 有两个实数根，=（2）24m0，解得 m1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组，解得，m=x1x2=点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要文档 求熟练掌握 30（2005福州）已知 x1、x2是一元二次方程 2x22x+m+1=0 的两

44、个实根（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果 m 满足不等式 7+4x1x2x12+x22，且 m 为整数求 m 的值 考点：根与系数的关系；根的判别式 分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数 m 的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式 7+4x1x2x12+x22，即（x1+x2）26x1x270 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=1，x1x2=代入整理后的不等式，即可求得 m的值 解答：解：（1）a=2，b=2，c=m+1 =（2）242（m+1）文档=48m 当48m0，即 m 时 方程有两个实数根 （2）整理不等式 7+4x1x2x12+x22，得（x1+x2）26x1x270 由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=代入整理后的不等式得 13（m+1）70，解得 m3 又 m，且m 为整数 m 的值为2，1 点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，且a0，b24ac0），根与系数的关系是：文档 x1+x2=，x1x2=