成考高等数学(二)重点及解析(详细版).pdf

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1、文档 成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占 130 分左右）第一章、函数、极限和连续（22 分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：2lnsinyx是由lnyu，2uv和sinvx这三个简单函数复合而成.例如：3arctanxye是由arctanyu，vue和3vx这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：yc （2）幂函数：yx （3）指数函数：xya(a 0,1)a 且（4）对数函数：logayx(a0,1)a 且（5）三角函数：sinyx，cosyx，tanyx，coty

2、x，secyx，cscyx（6）反三角函数：arcsinyx，arccosyx，arctanyx，cotyarcx 其中：（正割函数）1seccosxx，（余割函数）1cscsinxx 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小 1、定义：以 0 为极限的量称为无穷小量。注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有 0 能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例 1：极限21li

3、m10 xx，即当1x 时，变量21x 是无穷小；但是当0 x 时，21x 就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例 2：下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（）.A、1sinx(x0)B、1xe(x0)C、2ln 1x(x0)D、239xx3x 文档 E、1 cos x(x 0)F、21x(x 0)G、211x1(x)H、sin xx(x 0)答案：选 C、E、F、H，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大 1、定义：当oxx（或x ）时，()f x无限地增大或无限减小，则称()f x是当oxx（或x ）的无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与

4、很大的常量混为一谈。（2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）。三、无穷小和无穷大的关系：若()f x为无穷大，则1()f x为无穷小；若()f x为无穷小（()f x0），则1()f x为无穷大 例如：当2x 时，24x 为无穷小，则214x 为无穷大。当x 时，21x为无穷大，则121x为无穷小。第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到）一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0 x代入到函数表达式中，函数值即是极限值。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即limCC，C为任意常数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能

5、针对0 xx的时候，而x 时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！例 1：lim 44x，1lim33x ，limlg 2lg2x，6limx，100lim 00 x 例 2：3221lim53xxxx=32221lim25 23x =27lim3x=73 例 3：0lim(sin)xxex=00limsin0 xe=1 01 例 4：2233lim1xxx=333lim3 1x=004 二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）文档 1、未定式定义：我们把00、，1等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确

6、定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）000，000，0 00，00 为未定式（2）为未定式，为未定式，为未定式 上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法（1）对于00未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0 x代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。（3）对于未定式：先通分将转化成00或的形式，然后再用上述00或的计算方法进行计算。例 1：计算22121l

7、im1xxxx.00未定式，提取公因式 解：原式=211lim11xxxx=11lim1xxx=002 例 2：计算328lim2xxx.00未定式，提取公因式 解：原式=22(2)(24)lim2xxxxx=22lim(24)12xxx 例 3：计算2201 31limxxx.00未定式，先去根号再提取公因式 解：原式=22220(1 31)(1 31)lim(1 31)xxxxx=22203lim(1 31)xxxx=203lim1 31xx=32 例 4：计算232321lim25xxxxx.未定式，分子分母同除以3x 文档 解：原式=233321lim152xxxxxx=002 无穷大

8、倒数是无穷小，因此分子是 0 分母是 2 例 5：计算3223lim21nnn.未定式，先求极限再开三次方 解：原式=3223lim21nnn=32231lim12nnn=312=18 例 6：计算2214lim24xxx.未定式，先通分，后计算 解：原式=2224lim4xxx=222lim4xxx=22lim22xxxx=21lim2xx=14 注意常用的几个代数转换公式：22ababab 3322ababaabb 3322ababaabb 三、利用两个重要的极限（重点掌握公式，一般考选择、填空）1、公式：0sinlimxxx=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）2、公式

9、：1lim 1xxx=e 或 10lim 1xxx=e （1）适用范围：一般用于“1”未定式的极限式（2）解题方法：通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量 t，再将原极限式中的变量x用新变量 t 的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。例 1：计算10lim 1 3xxx.1未定式，先换元然后用公式求解 解：令3tx，得3tx ，即13xt 将复杂的变量3x换元成新变量 t 当0 x 时，0t 求出新变量的变化趋势 所以原式=30lim 1ttt=310lim1ttt=3e 转换成新变量的极限式后再用公式求 文档 例 2：计算11

10、lim 12xxx.1未定式，先换元然后用公式求解 解：令12tx，得12xt，即1112xt 先换元 当x 时，0t 求出新变量的变化趋势 所以原式=1120lim 1ttt=11200lim 1lim(1)ttttt=1120lim11ttt=12e 四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即limlim0 如果lim=1，称与是等价无穷小，记作.例 1：由公式可知极限0sinlimxxx=1，所以当0 x 时，sin x与x是等价无穷小.例 2：当0 x 时，函数()f x与tan x是等价无穷小，则0()lim2ta

11、nxf xx=12.2、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设、均为无穷小，又，且lim存在 则lim=lim 或 limlim 注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。（2）常用的等价无穷小代换（7 个）：当0 x 时，1 cos x212x，ln(1)xx，1xe x，sin xx,tan xx,arcsin xx,arctan xx,注意：这 7 个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这 7 个等价无穷小的代换前提是0 x 的时候，代换时也要根据题意

12、要灵活运用！例 1：当0 x 时，sin 2x2x，tan(3)x3x,arcsin()xx,2arctan 4x24x,cos1x212x，1 cos2x22x，ln(12)x2x，51xe5x 例 2：极限0sin2lim5xxx=02lim5xxx=02lim5x=25 sin2x用 2x等价代换 文档 极限0tan3limxxx=03limxxx=0lim33x tan3x用3x等价代换 例 3：计算01 cos2limsinxxxx.解：当0 x 时，1 cos2x22x，sin xx 等价代换 所以原式=2202limxxx=0lim2x=2 计算 例 4：计算0ln(1 3)li

13、msin2xxx.解：当0 x 时，ln(13)x3x，sin 2x2x 等价代换 所以原式=03lim2xxx=033lim22x 计算 例 5：计算01 1limtan2xxx.解：当0 x 时，tan 2x2x 等价代换 所以原式=01 1lim2xxx=01 11 1lim21 1xxxxx =0lim21 1xxxx=01lim21 1xx=14 先去根号，再计算 第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点0 x处连续，求一个未知量常数）1、函数在点0 x处的连续 定义：设函数()f x在0 x的某范围内有定义，如果函数()f x

14、满足 00lim()()xxf xf x，则称()f x在点0 x处连续 2、函数在点0 x处连续的充要条件 000lim()lim()()xxxxf xf xf x 即函数在0 x既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限）文档 93xx，0 x 例 1：设函数()f x=在0 x 处连续，求k.（分段函数）k，0 x 解：因为函数()f x在0 x 处连续，即满足0lim()(0)xf xf 因为0lim()xf x=093limxxx=0(93)(93)lim(93)xxxxx=0lim(93)xxxx=16 且(0)f=k，所以k=16.2xke，x0 例 2：设函数

15、()f x=在0 x 处连续，求k.（分段函数）1 cos x，0 x 解：因为函数()f x在0 x 处连续，00lim()lim()(0)xxf xf xf 因为0lim()xf x=20limxxkek，0lim()xf x=0lim(1cos)2xx，且(0)f=2 所以2k.sin2xx，x0 例 3：设函数()f x=在0 x 处连续，求a.232xxa，0 x 解：因为函数()f x在0 x 处连续，00lim()lim()(0)xxf xf xf 因为0lim()xf x=0sin 2limxxx=02limxxx=2，0lim()xf x=20lim(32)xxxaa 且(0

16、)f=a，所以2a 注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！文档 第二章、一元函数微分学（45 分左右）第一节、导数与微分 一、导数的概念（知道导数的符号如何表示即可）1、导数的表示符号（1）函数()f x在点0 x处的导数记作：0()fx，0 x xy，0 x xdydx 或 0()x xdf xdx（2）函数()f x在区间（a,b）内的导数记作：()fx，y，dydx 或()df xdx 二、求导公式（重点，是解题的关键，必须记住！）（1）()0c （C 为常数）（2）1()xx（3）()lnxxaaa，()xxee （4）1(log)lnaxxa

17、 ，1(ln)xx（5）(sin)cosxx （6）(cos)sinxx （7）221(tan)seccosxxx （8）221(cot)cscsinxxx （9）21(arcsin)1xx （10）21(arccos)1xx （11）21(arctan)1xx （12）21(arccot)1xx 例：1、3x=23x 2、1212xx 3、sin6=0 4、(2)2ln2xx 5、lg20 6、lg x=10logx=1ln10 x 三、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、运算公式（设 U，V 是关于 X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 U 和 V即可

18、，代入后用导数公式求解.）（1）()uvuv （2）()u vuvuv（3）()CuCu（C为常数）（4）2()uuvuvvv 文档 例 1：已知函数43cos2yxx，求y.解：y=43 cos2xx=343sin0 xx=343sinxx 例 2：已知函数2()lnf xxx，求()fe.解：()fx=22lnlnxxxx=212lnxxxx=2lnxxx 所以()fe=2ln23eeeeee 例 3：已知函数2()1xf xx，求(1)f.解：()fx=2222111xxxxx=222121xxxx=22211xx 所以(1)f=2221 11 1=0 四、复合函数的求导法则（必考题型，

19、选择、填空、解答题均有可能出现）1、方 法 一：例如求复合函数2sinyx的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如2sinyx由sinyu和2ux这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即dydu=cosu，dudx=2x（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.所以dydydudxdudx=2x cosu=2x2cos x 2、方 法 二（直接求导法）：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例如2(sin)x=22cos()xx=2x2cos x

20、例 1：设函数21yx，求y.（用方法一求解）解：该函数是由yu和21ux 复合而成，文档 且dydu=1212u=12 u，dudx=2x.所以dydydudxdudx=12 u2x=xu=21xx 例 2：设函数1sinxye，求y.（用方法二求解）解：y=1sinxe=1sinxe1(sin)x=1sinxe1cosx1x=21x1sinxe1cosx 注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义（可能会考到选择、填空）1、导数的几何意义：()yf x在点0 x处的导数0()fx就是曲线在点0 x处切线的斜率，即 k切=0()fx 2

21、、切线方程的求法：用点斜式（即已知点和斜率）去求切线方程 设函数()yf x，则该函数在点00,xy处的切线方程为：000yyfxxx 例 1：求函数2xye在点(0,1)M处的切线方程.解：因为y=2xe=2xe2x=22xe 先求导 即k切=0 xy=202xxe=2 再求切线斜率，即把0 x代入导数中 所以切线方程为：120yx ，即21yx.用点斜式求出切线方程 六、高阶导数（每年考一题，一般考求二阶或三阶导数）1、定义：如果函数()yf x的导数()fx在点x处可导，就称()fx的导数为函数()yf x的二阶导数，记作：y，()fx，22d ydx或22()d f xdx 我们把二阶

22、和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 （3）同理得四阶、五阶导数的求法 文档 例 1：已知5sinyx，求33d ydx.解：因为dydx=5cos x，且22d ydx=5sin x，所以33d ydx=5cos x 例 2：已知2xye，求0 xy.解：y=2xe2x=22xe，所以y=22xe2x=42xe 即0 xy=4 七、微分（每年考一题，考选择、填空或者解答题）1、微分的求法：（1）求出函数()yf x的导数()fx.（2）再乘以dx即可.即()dyfx dx.（因为我们习惯用dx表

23、示x）例 1：已知2lnyx，求dy和1xdy.解：因为y=2ln x=221xx=212xx=2x 所以dy=2xdx，即1xdy=2dx （dx是微分的一个标志，故切勿将1x 代入dx中）例 2：设函数4cosyxx，求dy.解：因为y=44coscosxxxx=344cossinxxxx 所以dy=344cossinxxxx dx 第二节、洛必达法则（考的话考解答题，考的可能性为百分之 50左右）1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 公式：()()limlim()()f xfxAg xg x或)2、使用洛必达法则应当注意的地

24、方：（1）只能对00或才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要先通分化成00或才能使用洛必达法则.文档（2）在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求导，再求极限.（3）在应用一次洛必达法则后，仍然是 0/0 或/，则可继续使用洛必达法则，如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时，必须一步一检查，一旦发现不是未定式，就要停止使用.（4）洛必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无穷小代换等求极限的方法一起使用，这样才能较快、简便地求极限.例 1：求201limsinxxexx 00未定式，因不能提取公因式，故用洛必达法则 解：原式=201limxxexx 为了简化

25、计算，先将sin x用x作等价替换=01lim2xxex 用洛必达法则，分子、分母同时求导=0lim2xxe 上式还是00未定式，故继续使用洛必达法则=02e=12 上式不是未定式，故将 x=0 代入函数中 例 2：求2lnlimxxx.未定式，故用洛必达法则 解：原式=1lim2xxx=21lim2xx=0 分子、分母同时求导 第三节、导数的应用（非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到）一、函数的单调性及单调区间的求法 1、定理：设函数()f x在区间(,)a b内可导（1）如果在(,)a b内，恒有()fx0，则()f x在(,)a b内单调递增.（2）如果在(,)a b内，恒有()

26、fx0，则()f x在(,)a b内单调递减.2、单调区间的求法（重点）：（1）求出()f x的导数()fx.（2）令()fx=0，求出函数()f x的驻点.（3）可以通过数轴，判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个部分区间.文档（4）判断()f x在每个部分区间的符号，如果()fx0，则该区间为单调递增区间，如果()fx0，则该区间为单调递减区间.例 1：求函数3231yxx的单调区间.解：236yxx=32x x，令0y，得驻点10 x 和22x 因为函数y的定义域为,，故驻点1x，2x将定义域划分成,0，0,2和2,三个区间.当 x0 时，y0，所以y在区间,0上单调递增.当 0 x2

27、 时，y0，所以y在区间0,2上单调递减.当 x2 时，y0，所以y在区间2,上单调递增.例 2：求函数ln(1)yxx的单调区间.解：111yx=1xx，令0y，得驻点10 x 因为函数y的定义域为1,，故驻点10 x 将定义域划分成1,0和0,两个部分区间.当-1x0 时，y0，所以y在区间1,0上单调递减.当 x0 时，y0，所以y在区间0,上单调递增.注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数ln(1)x的定义域为 x+10，即 x-1.二、函数的极值及其求法 1、极值的定义：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函数值是极小值.2、驻点的定义：我们把满足()0fx

28、的点0 x称为函数的驻点.3、极值的必要条件：对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点 4、极值的第一充分条件（必须掌握）：若0 x是可导函数()f x的驻点，则有以下三种情况：（1）若x0 x时，()fx0；x0 x时，()fx0，则0()f x为()f x的极大值，0 x为文档 极大值点（2）若x0 x时，()fx0；x0 x时，()fx0，则0()f x为()f x的极小值，0 x为极小值点（3）若x0 x和x0 x时，()fx不变号，那么0()f x不是极值，0 x不是极值点 5、求极值的步骤（重点）（1）求出()f x的导数()fx（2）令()fx=0，求出()f x

29、的驻点，记为ix（1,2,3i）（3）再用第一充分条件去判断，若()fx在ix的左右两侧互为异号的，则ix是极值点，（左正右负是极大值点，左负右正是极小值点，可根据实际题意作图判断）；若()fx在ix的左右两侧互为同号的，则ix不是极值点。（4）将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小值点对应的是极小值。例 1：求函数3231yxx的极值.解：236yxx=32x x，令0y，得驻点10 x 和22x 因为函数y的定义域为,，故驻点1x，2x将定义域划分成,0，0,2和2,三个部分区间.当 x0 时，y0，当 0 x2 时，y0，故10 x 是极大值点.当 x2 时，y0，故22

30、x 是极小值点.所以函数的极大值为(0)1f，极小值为(2)5f.例 2：求函数xyxe的极值.解：y xxxex e=xxexe=(1)xex，令0y，得驻点11x 因此11x 将函数定义域,划分成,1和1,两个部分区间.当1x时，y0，当1x时，y0，故11x 是极大值点.所以函数的极大值为1(1)fe.文档 三、曲线的的凹凸性及拐点 1、定理：设()f x在(,)a b内二阶可导（1）如果在(,)a b内的每一点x，恒有()fx0，则曲线在(,)a b内是凹（下凸）的.（2）如果在(,)a b内的每一点x，恒有()fx0，则曲线在(,)a b内是凸（上凸）的.2、拐点的定义：把曲线凹与凸

31、的分界点称为曲线的拐点.3、曲线凹凸区间和拐点的求法（重点，出现在解答题的概率较大）（1）求出函数()f x的二阶导数()fx（2）求出()fx=0 的点，记为ix（1,2,3i）（3）检验()fx在上述每个点ix两侧的符号，若在ix的两侧，()fx互为异号，则,()iix f x为曲线的拐点；若在ix的两侧，()fx互为同号，则,()iix f x不是曲线的拐点.（4）使()fx0 的x的取值范围，为()f x的凹区间；使()fx0 的x的取值范围，为()f x凸区间.例 1：求函数3231yxx的凹凸区间和拐点.解：236yxx，则y=66x，令y=0，得11x 当 x1 时，y0，所以,

32、1是函数的凸区间.当 x1 时，y0，所以1,是函数的凹区间.所以拐点坐标为1,3.例 2：求函数ln xyx的凹凸区间和拐点.解：2lnln()x xx xfxx=21 ln xx 则()fx=2241 ln1 lnxxxxx=32ln3xx.令()fx=0，得321xe 文档 因此321xe将函数定义域0,分成两个区间：320,e和32,e.当 0 x32e时，()fx0，故320,e是函数的凸区间.当 x32e时，()fx0，故32,e是函数的凹区间.所以拐点坐标为33223,2ee.注意：对数函数的定义域大于零，切记！例 3：曲线321yaxbx以1,3为拐点，求a、b.解：由题意得2

33、32yaxbx，y=62axb 因为该曲线以1,3为拐点，得方程组13ab（1）620ab（2）由（1）、（2）方程解得1a 和3b.注意：拐点不仅是函数坐标上的点，也一定是函数二阶导数等于零的点！文档 第三章、一元函数的积分学（48 分左右）第一节、不定积分 一、原函数（一般考一题选择或填空）1、原函数的定义：设()F x是区间 I 上的一个可导函数，对于区间 I 上的任意一点x，都有()()F xf x，或()()dF xf x dx 则称()F x是()f x在区间 I 上的一个原函数.例 1：(sin)cosxx，因此sin x是cos x的一个原函数.而cos x是sin x的导数.

34、由于(sin)cosxcx，其中 C 为任意常数，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例 2：设()f x的一个原函数为1x，求()fx.解：因为1x是()f x的一个原函数，即()F x=1x，所以()f x=()F x=1x=21x.得()fx=21x=32x 例 3：函数()f x=xe的一个原函数是（C）.A、xe B、xe C、xe D、xe 解：可以用逐项排除法，只有xe=xe，故选 C.二、不定积分 1、定义：我们把()f x带有任意常数项的原函数（或称原函数的全体）称为()f x在区间 I上的不定积分，记作：()()f x dxF xC 其中：为积分号，()f

35、 x为被积函数，()f x dx为被积表达式，x为积分变量，()F x为()f x的一个原函数，C 为任意常数.注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！2、不定积分的性质 1()()()()f xg x dxf x dxg x dx 2()()kf x dxkf x dx（k为常数）3、基本积分公式（一定要熟记，可以结合求导公式去记忆）文档 10dx C 2kdx kxC（k 为常数）311xx dxC(1)4 1lndxxCx 5cossinxdxxC 6 sincosxdxxC 721tancosdxxCx 8 21sindxcotxCx 9lnxxaa dxCa 10 x

36、xe dxeC 112arcsin1dxxCx 122arctan1dxxCx 例 1：33dxxC 22ln2xxdxC 2sin-2cosxdxxC 434xx dxC 211dxCxx 43334xdxxC 例 2：32tantantan3xxdxC （前后变量都是tan x，故计算此类积分将tan x看成一个整体变量u，套用公式3进行计算！）又如：1coscosln cosxdxxC 322lnlnln3xdxxC 例 3：设()cos2f x dxxC，求()f x.解：因为()f x的原函数为cos2xC，即()cos2F xxC 所以()f x=()F x=cos2xC=2sin

37、 2x.三、不定积分的计算方法（重中之重，选择、填空，计算都会考到）1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法.通常用到的变形有（1）将有带有根号的函数去根号从而转换为幂函数的形式.然后利用积分公式进行积分.例如：25323335x dxx dxx+C 12224dxxdxxCx（2）被积函数为假分式时，可以通过把分子拆成 2 项或者分子加、减某一项后，使被积函文档 数化成 2 个分式之和.然后利用积分公式进行积分.例如：221xdxx（分子+11）=221 11xdxx=21(1)1dxx=arctanxxC（3）此外还会经常用到对数函数和指数函数的运算法则

38、.例如：2()xxxxxe dxa ba b公式:=(2)(2)ln(2)xxee dxCe 例 1：221xdx=4221xxdx=422x dxx dxdx=53253xxxC 例 2：2211(32)32coscosdxdxdxxx=32tanxxC 2、第一类换元法（又称凑微分法）（重点掌握，每年都会考到）（1）适用范围：如果被积函数是两个函数相乘、相除或者被积函数中含有复合函数的情况，此时可以考虑用第一类换元法.（2）第一类换元解法步骤 1将被积函数中的复合函数的复合部分换元成简单函数u.2对换元后的简单函数u求微分.3由于引入了新变量u，此时要将对原变量x的积分形式转换成对新变量u

39、的积分形式.4用直接积分法求出新变量u的积分.5最后的计算结果中的新变量u用原变量x替代回去.该方法又称为变量代换法.例 1：求不定积分2cosxx dx 解：令2ux （第一步，换元）得2duxdx12xdxdu （第二步，求微分）原式=1cos2udu （第三步，转换）=1cos2udu=1sin2uC （第四步，求积分）=21sin2xC （第五步，反换元）例 2：求不定积分sinxdxx 解：令ux，得12dudxx，即2dxdux 文档 原式=2 sinudu=2cos uC=2cosxC 注意：如果能熟练掌握变量代换法，且对积分公式铭记于心，此时就可以不必写出中间变量而直接用凑微分

40、法进行积分。凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！同学们结合自己的实际情况在解题时选择变量代换法或凑微分法。例 3：2ln xdxx=2ln(ln)xdx=3ln3xC（将dxx凑成lndx，此时前后变量均ln x为）例 4：32xedx=321(32)3xedx=3213xeC （将dx凑成1323dx）例 5：1 sincosxdxxx=(cos)cosd xxxx=lncosxxC（将1 sin x dx凑成(cos)d xx）3、第二类换元法（了解下即可，考的不多）（1）适用范围：如果被积函数中带有根号，直接积分法和第一类换元法又不能适用，此时考虑用第二类换元法。第二类换元法的目的就

41、是去掉被积函数中带有根号的式子。（2）第二类换元法解法步骤 1令被积函数中带有根式的式子换元成简单函数u.2由于引入了新变量u，再将对原变量x的积分转换成对新变量u的积分.3用直接积分法或第一类换元法求出对新变量的积分.4最后将计算结果中的新变量u用原变量x替代回去 例 1：求不定积分21 1dxx 解：令21tx，得212tx，dxtdt （第一步，换元去根号）则原式=1tdtt （第二步，转化）=(1 1)1tdtt=111dtt=(1)11d tdtt=ln1ttC （第三步，求积分）=21xln21 1x C （第四步，反换元）4、分部积分法 （重点掌握，很重要）（1）适用范围：当两个

42、可导函数相乘时，如果第一类换元不能用，则考虑用分部积分法.公式：udvuvvdu （2）选取 U 的常用方法 1、当被积函数是幂函数与指数函数或幂函数与三角函数相乘时，通常选幂函数为u.2、当被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数相乘时，通常选对数函数和反文档 三角函数为u.（3）分部积分法解法步骤 1根据上面u的选取方法，找出是u的那个函数 2然后求出v 3套用公式进行积分.注意u是写在被积函数的位置上（即d的左边），v是写在微分符号的位置上（即d的右边），例 1：求不定积分xxe dx （被积函数是幂函数与指数函数相乘，故选幂函数x为u）解：令u=x，则xdve dx，即v=xe

43、原式=xxde=xxxee dx=xxxeeC 例 2：求不定积分2ln xdx （对照公式和u的选取方法，可很容易发现u=2ln x，v=x）解：原式=22lnlnxxxdx=2ln2 lnxxxdx （因为22lnlnxdxdxx）=2ln2lnlnxxxxxdx （对积分ln xdx，选ln x为u，x为v）=2lnxx2ln1xxdx =2lnxx2xlnx+2xC=2(ln2ln2)xxxC 例 3：求不定积分cosxxdx （被积函数是幂函数与三角函数相乘，故选幂函数x为u）解：令ux，则cosdvxdx，即sinvx 原式=sinxdx=sinsinxxxdx=sincosxxx

44、C 第二节、定积分 一、定积分的概念（每年至少考一题选择或填空）1、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A=()baf x dx （A 为曲边梯形的面积）其中()f x为被积函数，()f x dx为被积表达式，x为积分变量，,a b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限.2、定积分的几何意义：它是由x轴、曲线()yf x、直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积的代数和.在x轴上方的面积取正，在x轴下方的面积取负.3、定积分所要注意的三个事项（1）因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，且值仅与被积函数()f x和积分区间,a b有关，与积分变量的字母无关，即()ba

45、f x dx=()baf t dt.并且对定文档 积分求导，导数值必为零。例如：1100lnlnxtdxdtxt，10arctan0dxdxdx，2sin0battdt（2）当 a=b 时，()baf x dx=0 因为定积分上限 ba，当 ba 时，()baf x dx=()abf x dx 例如：11sin01 cosxdxx，3223()()f x dxf x dx (3)由定积分的几何意义可得出下列重要结论：当()f x在,a a上连续，当()f x为奇函数时，()aaf x dx=0 当()f x在,a a上连续，当()f x为偶函数时，()aaf x dx=02()af x dx

46、例如：242sinxxdx=0 cos0 xxdx 222sin01 cosxdxx 注意：三角函数中sin x、tan x、cot x为奇函数，cos x为偶函数，所以可判断出上题中的4sinxx，cosxx，2sin1 cosxx均为奇函数，由于积分区间对称，故积分值必为零。4、定积分的性质（了解即可）1()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx 2()()bbaakf x dxkf x dx 3()baf x dx=()()cbacf x dxf x dx，acb 41badxba 5若在区间,a b上总有()()f xg x，则()()bbaaf x dxg

47、 x dx 二、定积分的计算（重中之重，每年至少考两至三题）1、变上限积分的计算（1）定义：积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限x的函数，记作()x()xaf t dt（2）变上限积分的导数（是每年选择、填空的必考题）、()()xaf t dtf x 、()()()()b xaf t dtf b x b x 文档、()()bxf t dtf x 、()()()()ba xf t dtf a xa x 例 1：设0()sinxf xtdt，求()2f.解：因为()sinfxx，所以()2f=sin12 例 2：tan0 xte dt=tan(tan)xex=tan21cos

48、xex 2、牛顿莱布尼茨公式（重点）（1）公式：如果()F x是连续函数()f x在,a b上的一个原函数，则有 ()baf x dx=()()F bF a=()baF x（2）由公式可知：连续函数()f x在,a b上定积分，就是()f x的一个原函数()F x在,a b上的增量（上限值减下限值）。而连续函数()f x的不定积分，就是()f x的全体原函数（原函数后面加常数 C）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。例 1：求定积分12dxx 解：因为ln x是1x的一个原函数.则原式=ln1ln2=ln1ln2=ln2 x，0,2x，例 2：设分段函数()f x=求21()f

49、 x dx.2x，1,0 x，解：21()f x dx=01()f x dx+20()f x dx=021x dx+20 xdx=3013x+2202x=73 注意：求分段函数的定积分，需根据积分区间进行分段积分。分段函数有几段积分就分几段.例 3：求定积分220cossinxxdx （将sin xdx凑成cosdx，再将cos x看成整体变量）解：原式=220coscosxdx=320cos3x=103=13 例 4：求定积分4021dxx （将dx凑成(21)2dx，再将21x看成整体变量）文档 解：原式=401(21)221dxx=401ln 212x=1ln9ln9ln122 注意：如

50、果用凑微分法解定积分时，如果在解题过程中没有引入新的变量，故积分变量没有发生改变，所以积分限也保持不变！3、定积分的换元法（1）计算方法：和上节的不定积分的第二类换元法完全类似，目的也是为了消去被积函数中带有根号的部分。步骤是先换元去根号（同时也要换积分限），然后求出原函数，不同的是求出原函数后，最后要求出它在积分限的差值（上限值减下限值）。（2）注意：、因为在用第二类换元法时，去根号时引入了新的变量，故换元后积分限也要发生变化。新的积分下限对应的是原下限a，新的积分上限对应的是原上限b，、定积分第二类换元法省略了不定积分后的反换元过程，就是说原函数求完后，不必用原变量替代回去，只要将积分上限