中考数学专题复习教案之-证明题.pdf

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1、九年级数学证明题教案 单元要点分析 1通过具体例子，使学生体会证明的必要性；弄清推理证明需要的依据，掌握推理证明的方法，能用综合法证明的格式；了解定义，命题、定理的含义，能说出命题的题设和结论，会写出一道命题的逆命题，知道原命题正确，而它的逆命题不一定正确的事实。2应用推理证明的方法进一步研究等腰三角形等具体几何图形的性质定理和判定定理，并能应用这些定理证明其他的命题。3注重证明定理的过程性教学，力求通过研究具体几何图形的性质定理和判定定理，培养学生的逻辑思维能力，在证明过程中强调步步要有依据。4掌握三角形，梯形的中位线定理，并能应用定理解决相关问题，在证明这两个定理时，让学生体会“转化的数学

2、思想。5通过实例，体会反证法的含义，由具体的例子，理解反例的作用，知道用反例证明一个命题是错误的命题。重点、难点与关键 重点：1熟练掌握初中阶段学过的公理、定义、等式、不等式的性质，因为这些是逻辑推理证明的依据。2从具体图形的判定定理和性质定理的证明过程中，培养学生的逻辑思维能力，拓宽同学解决问题的思路。3能够应用所学定理进行相关问题的证明，培养同学应用知识解决问题的能力。4使学生理解证明的根本要求，有条理地阐述自己的想法，推理必须有依据，表述必须条理清楚。难点：1用推理证明研究具体几何图形时，引导学生添加恰当的辅助线，使命题得到证明；2证明命题时，有条理地阐述自己观点，正确地推理和表述。3学

3、生逻辑思维能力的培养。关键：“巧妇难为无米之炊，因此在本章的教学活动中，首先要让同学熟记所学过的公 理、定理、定义等，学生只有掌握了这些根本的事实，才能在证明命题过程中思路开拓，游刃有余；其二是证明思路的引导，正确阐述自己的观点。做到步步有依据；其三是正确表述。271 证明的再认识【教学目标】：使学生理解推理证明是判断猜测正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。【重点难点】：重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。难点：学生逻辑推理能力的培养。【教学过程】：一、理解为何需要推理证明 同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于 180呢?当时

4、我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为 180，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180。用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180吗?用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗?为了确保精确无误，人们发现以下证明的方法。二、如何证明一个命题 求证：三角形的内角等于180。：如图(2)，任意ABC 的内角为A、B、C。求证：A+B+C180。证明：延长线段 AB 到 D，过 B 点作 BEAC。ACBE 2C(两直线平行，内错角相等)1A(两直线平行，同位角相等)又1+2+ABC180(平角的定义)A

5、+ABC+C180(等量代换)上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这些依据从哪里来呢?三、推理证明的依据 逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条根本领实作为逻辑推理的最原始的依据。上面，学习了一些公理(事实)。(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。在以上这些根底上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，

6、并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。但凡书上有写为定理的命题都可作为进一步推理的依据。四、练习证明命题 1、求证：n 边形的内角和等于(n2)180。老师画出上述图形，让学生完成证明过程。2求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。证明一道命题，首先应依据题意画出图形，而后写出、求证，最后加以证明。：如图，CBD 是ABC 的一个外角。求证：CBDAC 证明：A+ABC+C180(三角形内角和定理)A+C180ABC(等式的性质)又ABCCBD180(平角的定义)CBD180ABC(等式的性质)CBDA+C 由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此把上

7、述命题也作为定理，在课本中如有特别黑体的命题，我们都可以把它当做定理使用。练习：课本第 33 页的练习。五、课堂小结 通过本节课的学习，同学们认识了推理证明的必要性，知道了证明的方法和步骤，希望同学们把以前学过的公理，定理等复习一遍，牢记在心，这对今后的推理证明的学习有极大的帮助。六、作业 课本第 33 页习题 271 的第 1、2、3、4 题。补充作业：1如图，ABCD，GE 平分BEF，GF 平分EFD。求证：G90，2如图，F、C 是线段 BE 上两点，BFCE，ABDE，BE，QRBE。求证：QR。3如右图，CD 是ABC 的外角ACE 的平分线，BD 平分ABC，请你猜测A 与D 之

8、间的关系?并证明你的结论。27.2 用推理方法研究三角形 第一课时 等腰三角形【教学目标】：使同学们用推理的方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理，并能熟练应用等腰三角形判定定理和性质定理解决问题，进一步理解证明在数学学习中的必要性。【重点难点】：重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的推理过程是教学重点。难点：用推理的方法研究等腰三角形的判定和性质定理时，辅助线的添加以及对定理“HL的证明。【教学过程】：一、给出问题，学习讨论，回忆 1如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗?(等角对等边)如图(1)，BC，AB 与 AC 相等吗?2当时，我们怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢

9、?当时是用刻度尺找出边 BC 的中点 D，连结 AD，然后沿 AD 对折，经过观察 AB 和 AC 完全重合，于是得到 ABAC。3为什么当ABC 沿 AD 对折时，AB 与 AC 完全重合呢?你们能否用逻辑推理的证明方法来说明这个问题?二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理 1等腰三角形的判定定理。：如图(1)，在ABC 中，BC；求证：ABAC。分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使 AB、AC 分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢?同学的答复可能是以下三种；(1)取 BC 的中点 D，连结 AD；(2)画BAC 的平分

10、线 AD；(3)过顶点 A 作底边 BC 的高线 AD。老师就第(2)种给出以下证明：证明：画BAC 的平分线 AD。在BAD 和CAD 中 BC()12(画图)ADAD(公共边)BADCAD(AAS)ABAC 请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明 ABAC 是否可行，展开讨论。由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边)。2等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角)。

11、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。(“等腰三角形的三线合一)对以上命题的证明，让同学们画出相应图形，并写出、求证，写出证明过程。：如图(2)，在ABC 中，ABAC。求证：BC。证明：画BAC 的平分线 ABAC()12(画图)ADAD(公共边)BADCAD(SAS)BC 3如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。：如图(3)，在ABC 和ABC中，ACBACB90，AB=AB，AC=AC。求证：ABCABC 分析：把ABC 和ABC拼在一起，使相等的的直角边 AC 和 AC重合在一起，并使点 B 和点 B在 AC的两旁，B、C(C)

12、、B在一条直线上，由上述图形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。证明：像图(3)一样，把ABC 和ABC拼在一起。ACB=ACB90()BCB180 点 B、C、B 在同一条直线上。在ABB 中，因为 ABABAB()B=B(等边对等角)在ABC 和ABC中，ACB=ACB()BB(已证)AB=AB()ABCABC(AAS)斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。三、课堂练习 1.求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60。2求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。四、小结 本节课我们用推

13、理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。五、作业 课本第 44 页，习题 272 的第 1、2 题。补充作业：1：如图，ABC 中，ABAC，D、E、F 分别是 BC、AB、AC 上的点，BDCF，CDBE，G 为EF 中点，连结 OG，问 DG 与 EF 之间有何关系?证明你的结论。2点 D 为等边ABC 内一点，且 ADCD，PCAC，DC 平分BCP，求P 的度数。3如图，点 C 在线段 AB 上，ACM 和CBN 是等边三角形，AN 交 MC 于 P，BM 交 CN 于 Q，连结 PQ

14、，试判断PCQ 的形状并证明你的结论。27.2 等腰三角形 第二课时 角平分线【教学目标】：使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑思维能力。【重点难点】：重点：角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。难点：角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培养。【教学过程】：一、回忆，思考 如右图，OC 平分AOB，那么 OC 上的点具备什么性质呢?角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这条性质是怎样得到的呢?如图(1)，在 OC 上任取一点 P

15、，PDOA，PEOB，垂足分别为点 D 和点 E，当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线 OC 对折。通过观察，线段 PD 和 PE 完全重合。于是得到PDPE，由于 P 点的任意性，所以得到，角平分线上的点到角两边的距离相等。二、推理证明角平分线的性质定理和判定定理 1角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等(让同学写出、求证)。：如图(1)，OC 是AOB 的平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PDOA，PEOB，点 D、E为垂足。求证：PD=PE。证明：PDOA，PEOB()PDO=PEO=90，(垂直定义)在PDO 和PEO 中 DOP=EOP()PDO=PEO(已

16、证)POPO(公共边)PDOPEO(AAS)PDPE(全等三角形的对应边相等)2角平分线的判定定理 求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。请同学们根据上述命题的意思，画出图形，写出、求证，并写出证明的全过程。：如图(2)，QDOA，QEOB，点 D、E 为垂足，QDQE。求证：点 Q 在AOB 的平分线上 分析；为了证明点 Q 在AOB 的平分线上，可以画射线 OQ，而论证明QODQOE，从(2)图中可以看出，QOD 和QOE 分别在QOD 和QOE 中，那么就要证明QDD 与QOE全等。证明：作射线 OQ，QDOA，QE0B()OEQ=ODQ=90(垂直定义)又QE=QD()O

17、Q=OQ(公共边)RtOQDRtOQE(HL)EOQDOQ(全等三角形的对应角相等)点 Q 在AOB 的平分线上。定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。3定理的应用(1)三角形的三条角平分线交于一点吗?为什么?这一点称为三角形的 心。(让学生思考，答复后，老师再给出以下的证明。)证明：如图(3)过 O 点分别作 OPAB，OGBC，OHAC，垂足分别为 P、G、H。AD 平分BAC，BE 平分ABC。OPOH OPOG(角平分线上的到角两边的距离相等)OGOH(等量代换)O 点在ACB 的平分线上 三角形三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。(2)如图(4)，：ABC 中，

18、AD 是它的角平分线，且 BDCD，DE、DF 分别垂直 AB、AC，垂足为 E、F。求证：EBFC 证明：AD 是ABC 的平分线。()DEAB 于 E 点，DFAC 于 F 点()DEDF(角平分线性质定理)DEBDFC(垂直定义)在 RtDEB 和 RtDFC 中 DEDF(已证)BDCD()RtBDERtCDF(HL)BECF(全等三角形的对应边相等)三、课堂练习 1如图，在直线 l 上找出一点 P，使得点 P 到AOB 的两边 OA、OB 的距离相等。2。如图，ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于 F，求证，点 F 在DAE 的平分线上。四、课堂小结 本节课推理证明了角平分

19、线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程，同学们可以想想它们的题设是什么?结论是什么?同时，要注意学习证明定理的思想方法，并能应用这些方法和定理本身内容解决问题。五、作业 课本第 44 页，习题 272 的第 3 题。补充作业：1如图，：BAC30，G 是BAC 的平分线上一点，EGAC 交 AB 于 E，GDAC 于 D，求 CDGE 的值。2 如图，在ABC 中，ABC100，ACB20，CE 平分ACB 交 AB 于 E，D 在AC 上，且CB020，求CED 的度数。3如图，E 是CAF 内一点，D 在 AC 上，E 在 AP 上，且 DCEF，BCD 与BEF 的面积相等，求证：A

20、B 平分CAF。4.如图，在ABC 中，AD 平分BAC，E、F 分别在 AB、AC 上且EDF+EAF180。求证：DE=DF。第三课时 线段的垂直平分线【教学目标】：使学生能够推理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，掌握命题证明的方法，能运用证明定理的方法和定理本身内容解决问题，培养学生的逻辑思维能力。【重点难点】：重点：线段垂直平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。难点：线段垂直平分线性质定理的应用以及逻辑思维能力的培养。【教学过程】：一、回忆与思考 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，知道线段的垂直平分线上

21、的点到这条线段的两个端点的距离相等。问题：当时同学们怎么知道以上这条性质呢?同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢?二、新课 1线段垂直平分线的性质定理 在同学们答复以下问题后，老师给出以下证明：如图(1)，MN 是线段 AB 的垂直平分线，C 是垂足，点 P 是直线 MN 上任意一点。求证：PAPB。证明：MN 是线段 AB 的垂直平分线()PCAPCB90(垂直定义)ACBC(中点定义)在PCA 和PCB 中 ACBC(已证)PCAPCB(已证)PCPC(公共边)PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。2线段垂直平分线

22、上的判定定理 问题：到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?同学们能否用“证明答复这个问题。：如图(2)，QAOB 求证：点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上。分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 画线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB；也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，连结 QC，然后证明 QC 垂直于线段 AB。请同学们根据老师分析的完成证明过程。定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点。在这条线段的垂直平分线上。3对定理的应用(1)三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，为什么这三条垂直平分

23、线就交于一点呢?待同学们思考、讨论后，老师给出解答。证明：设 AB、BC 的垂直平分线 l、m 交于 O 点 那么 OA=OB，OB=OC OA=OC O 点在线段 AC 的垂直平分线 n 上。三角形的三条边的垂直平分线交于一点。(2)如图(4)，在ABC 中，AB=AC，BAC120，AC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，E 为垂足，且 BC=18cm，求 DE 的长。分析：由 DE 垂直平分 AC，同学们会想到添加哪条辅助线?显然，连结 AD 较合理，这样就得到 DA=DC，从而1=C=30，BAD=90，然后根据条件即可求出 DE 的长度。解：连结 AD DE 垂直平分 AC DA

24、=DC 1=C 又AB=AC BAC=120 BC=30 BADBAC-1=90 设 DE=x，那么 CD=2x AD=2x BD=4x CD+BD=BC 4x+2x=18 x=3cm 答：DE 的长度为 3cm。三、课堂练习 1如图，在直线 l 上找出一点 P，使得点 P 到点 A、B 的距离相等。2如图，AE=CE，BDAC，求证：DA+BA=BC+DC 3。如图，在ABC 上，点 D 在 BC 上，且 BD+AD=BC。求证：点 D 在 AC 的垂直平分线上。四、小结 通过本节课的学习，同学们应进一步掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能应用定理解决问题，在定理证明和运用定理解决问

25、题的过程中不断地提高自己的推理能力。五、作业 课本第 44 页至 45 页的第 4、5 题。补充作业：1如图，在 RtABC 中，B90，A40，AC 的垂直平分线 MN 与 AB 交于 D 点，求BCD 的度数。2如图，ABC 的周长为 19cm，且 ABAC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，E 为垂足，BC5cm，求BCD 的周长。3如图，MN 垂直平分线段 AB、CD，垂足分别为 E、F，求证：ACBD，ACDBDC。第四课时 逆命题、逆定理【教学目标】：使学生知道命题的题设与结论，能正确写出命题的逆命题，理解原命题与逆命题的关系，培养学生的语言兴旺能力和逆向思维能力。【重点

26、难点】：重、难点：正确写出原命题的逆命题，用反例说明命题是假命题。【教学过程】：一、引入 请同学们看以下两句话，并答复以下问题：(1)马是吃草的动物；(2)吃草的动物是马。上面两句话是命题吗?它们之间有何关系?二、新课 1弄清命题的题设和结论 我们知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题；像上述两个句子都是命题。又如“两直线平行，内错角相等和“内错角相等，两直线平行都是命题。问：命题是由哪两个局部组成的呢?(题设、结论)，请同学们说出以下几个命题的题设和结论。(1)等腰三角形的底角相等。(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；(4)对顶角相等。2原

27、命题和逆命题的关系 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。让同学们试着写出上述四个命题的逆命题，而后让同学判断逆命题是否正确?从第四个命题与其逆命题可以看出，虽然每个命题都有其逆命题，原命题正确，但它的逆命题未必正确，这从刚开始的两句话中同学们也可以体会到。又如：全等三角形的面积相等，然而面积相等的三角形不一定全等。3定理、逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。让同学讨论举例有关互逆定理的内容。4勾股定理的逆定理。问：勾股定理怎么表达的?请说出它的逆命题 勾股定理；直角三角形两

28、直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那 么这个三角形是直角三角形。：如右图，在ABC 中，ABc，BCd，CAb，且 a2+b2=c2。求证；ABC 是直角三角形。分析：首先构造一个直角三角形ABC，使得C 90，BC=a，CAb，然后可以证明ABCABC，从而可知ABC 是直角三角形。证明：作 RtABC，使得C=90BCa，CA=b 那么 C2=a2+b2 ca2+b2 c=c 在ABC 和ABC中 AB=AB BC=BC CA=CA ABCABC C=C=Rt ABC 是直角三角形。三、课堂练习 1指出以下命题的题设和结论，

29、并说出它们的逆命题；(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。(2)等边三角形的每个角都等于 60。(3)全等三角形的对应角相等。(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。2举例说明以下命题的逆命题是假命题。(1)如果一个整数的个位数字是 5，那么这个整数能被 5 整除。(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等。3设三角形三边长分别是以下各组数，试判断各三角形是不是直角三角形，如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角。(1)7，24，25；(2)12，35，37；(3)35，91，84。四、小结 通过本节

30、课的学习，同学们应知道一道命题的题设和结论，能正确写出命题的逆命题，知道原命题正确，它的逆命题不一定正确。五、作业 课本第 45 页习题 272 的第 6 题。27.3 用推理方法研究四边形 第一课时 平行四边形【教学目标】：使学生能够用推理证明平行四边形判定定理和性质定理，在证明这些定理的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜测、观察，比拟得到，这些定理需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确。【重点难点】：重点：进一步掌握平行四边形的判定定理和性质定理，掌握这些定理的证明过程以及运用这些定理的解决问题。难点：运用这些定理证明有关命题。【教学过程】：一、回忆以前学习过的平行四边形的性质和

31、判定定理 1平行四边形的判定定理 (1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。如图，假设 ABCD，ABCD，那么四边形 ABCD 是平行四边形。(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如图，假设 ABCDADBC，那么四边形 ABCD 是平行四边形。(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。如图，假设BADDCB，ABCCDA，那么四边形 ABCD 是平行四边形。(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。如图，假设 OAOC，OBOD，那么四边形 ABCD 是平行四边形。2平行四边形的性质定理 (1)平行四边形的对边相等 假设四边形 ABCD 是平行四边形，那么 ABCD，ADBC

32、(2)平行四边形的对角相等 如图，假设四边形 ABCD 是平行四边形，那么ABCCDA，BADDCB。(3)平行四边形的对角线互相平分 如图，假设四边形 ABCD 是平行四边形，那么 OAOC，OBOD 以上这些定理，通过两种表达方式，使同学加深对定理的理解。二、选择局部定理进行证明 1：四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此连结其中一条对角线，然后证明内错角相等。证明；连结 AC。ABCD BAC=DCA(两直线平行，内错角相等)在ABC 和CDA 中 ABCD DAC=DCA

33、AC=CA BCADAC(全等三角形的对应角相等)BCDA(内错角相等，两直线平行)四边形 ABCD 是平行四边形 2：四边形 ABCD 是平行四边形。求证；ABCD，BCDA 分析：要证明平行四边形的对边相等可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论。证明：连结 AC 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD BAC=DCA(两直线平行，内错角相等)同理BCA=DAC 在ABC 和CDA 中 BAC=DCA AC=CA BCA=DAC ABCCDA(ASA)因此 ABCD，BCDA(全等三角形的对应边相等)三、例题与练习 例题：如图，在平行四边形

34、 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，且 AECF，求证：BFDE。(通过同学们讨论，而后老师给予归纳，证明)证明；四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD ABCD AECF BEDF 四边形 BEDF 是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)BFDE 虽然这道题目并不难，但老师可以通过对这道题详细分析、讲解，使同学们可以对 平行四边形的所有判定法那么做更深刻的理解，让同学们进一步掌握运用定理解决问题 的方法。练习：1求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。2求证：平行四边形的对角线互相平分。3如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、F 分别是 AB

35、、DC 的中点，求证：EFBC。四、小结 1总结平行四边形的判定定理和性质定理。2能应用这些定理证明一些相关命题。五、作业 课本第 57 页习题 273 的第 l、2 题。补充作业：1如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 点在对角线 AC 上，且 AECF，求证：DEBF。2如图，：在平行四边形 ABCD 中，BE、DF 分别是ABC、CDA 的平分线，求证：BD 和 EF 互相平分。3如图，在平行四边形 ABCD 中，B 的平分线交 CD 的延长线于 E。(1)求证，C 的平分线垂直平分 BE。(2)假设平行四边形 ABCD 的周长为 30cm，DE3cm，求平行四边形 ABCD 的

36、各边长。27.3 第二课时 矩 形【教学目标】：使学生理解矩形与平行四边形区别与联系，能从矩形的定义出发，经过推理得出矩形的性质定理，掌握矩形的判定定理，并能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。【重点难点】：重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用这些定理进行有关命题的论证。难点：应用定理进行有关命题的论证是教学难点。【教学过程】：一、针对问题进行讨论与回忆 问题 1矩形定义是什么?问题 2矩形与平行四边形有何区别与联系?问题 3矩形具有什么性质?问题 4判定一个四边形是矩形的方法有哪些?二、矩形的性质定理 根据学生讨论和答复的，老师归纳以下几个方面。根据矩

37、形的定义，矩形是有一个角是直角的平行四边形，因此，矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形所有性质之外，还具备本身所特有的性质。1从角的方面：矩形的四个角都是直角。2从边的方面：矩形的对边平行且相等。3从对角线方面：对角线不仅平分，而且相等。；如图(2)，四边形 ABCD 是矩形 求证：ACBD 让学生思考，请同学自己完成证明过程。三、矩形的判定定理 1有一个角是直角的平行四边形是矩形。2有三个角是直角的四边形是矩形。3对角线相等的平行四边形是矩形。对上述的第 3 个命题进行证明。如图(3)，：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 ACBD。求证：四边形 ABCD 是矩形。分析：由于四边

38、形 ABCD 是平行四边形，只要证明四边形中的一个内角是直角即可，考虑到ABCDCB180，因此只要证ABCDCB。证明：四边形 ABCD 是平行四边形。ABCD ABCD ABCDCB180 在ABC 和DCB 中 ABCD BCCB ACDB ABCDCB ABCDCB ABC90 四边形 ABCD 是矩形。四、直角三角形的一个重要性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。：如图(4)，在 RtABC 中，ACB90，CD 是斜边上的中线。求证：CD12AB。分析：要证 CD12AB，可以延长 CD 到 E，使 DECD，此时要证 CEAB，因此，此题的关键在于证明四边形 AEBC

39、 是矩形。证明：延长 CD 到 E，使 DECD CD 是 AB 边上的中线 BDAD 四边形 ACBE 是平行四边形 又BCA90 四边形 BCAE 是矩形。CEAB CD12AB 五、应用举例 例 1：如图，平行四边形 ABCD 中，A、B、C、D 的平分线分别交于 G、F、H、E 点。求证：四边形 GFHE 是矩形。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD ABCDCB180 又BE、OE 平分ABC、DCB 112ABC，212DCB 1212(ABCDCB)90 E90 同理可得EGF90，F90 四边形 EGFH 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)例 2：如图，ABC 中

40、，D 是 BC 的中点，你能比拟线段ABAC 与 2AD 的关系吗?试证明你的结论。分析：根据上面添加辅助线的方法，我们可以延长AD 到 E，使得 ADDE，连结 BE、CE，那么四边形 ABEC 是平行四边形，那么 ACBE，在ABE 中，ABBEAE，所以 ABAC2AD。证明：延长 AD 到 E 点，使得 ADDE，连结 BE、CE AD 是ABC 的中线 BDCD 四边形 ABEC 是平行四边形 ACBE 在ABE 中，AEBEAE ABAC2AD 六、课堂小结 引导学生归纳特殊的平行四边形矩形的性质定理和判定定理以及直角三角形边上的中线等于斜边的一半。要求同学能应用这些定理论证相关命

41、题。七、作业 课本第 57 页第 3、4 题。补充作业：1，如图，四边形 ABCD 是矩形，P 是 AD 上一点，过 P 点分别作 PCBD，PFAC，垂足分别为 E、F 点。AB5cm，BC12cm，求 PEPF 的值。2 如图，ABAE，DEDC，A、E、C 三点共线，B、E、D 三点共线，M、N 分别是 BE、CE 的中点，G 是 AD 的中点，求证：GMGN。3.如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三 个等边三角形，即ABD、BCE、ACF，请答复以下问题：(1)四边形 ADEF 是什么四边形?(请证明)(2)当ABC 是什么条件时，四边形是矩形，为什么?(3)当ABC

42、是什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在。27.3 第三课时 菱 形【教学目标】：使学生理解菱形与平行四边形的区别与联系，能从菱形的定义出发，经过推理得出菱形的性质定理。掌握菱形的判定定理，能应用所得到的定理证明有关命题，培养学生的逻辑思维能力。【重点难点】：重点：矩形的性质定理和判定定理及其得出这些定理的过程，应用所得到的定理解决相关的问题。难点：应用所得到的定理进行有关命题的论证是教学难点。【教学过程】：一、针对问题进行讨论与回忆 问题 1.菱形的定义是什么?问题 2菱形与平行四边形有何区别与联系?问题 3菱形具有什么性质?问题 4判定一个四边形是矩形的方法有哪些?二、菱形的

43、性质定理 根据学生讨论，答复的内容，教师归纳如下；根据菱形的定义，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此，菱形是特殊的平行四边形，它除了有平行四边形所有性质外，还具备本身所特有性质。从图形可以观察，菱形是由两个全等的等腰三角形组合得到的。1从边来看：四边都相等，2从对角线来看：不但平分，而且互相垂直，并平分每一组对角。以上两个定理的证明过程都极容易，可以让学生自行完成。三、菱形的判定定理 1有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2四条边相等的四边形是菱形。3对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对上述的第 3 个命题进行证明，：如以下图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD。求证：四边形 AB

44、CD 是菱形。分析：由于四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明平行四边形中一组邻边相等即可，由于 BO=DO，ACBD，所以 AB=AD，命题得证。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 OB=OD 又ACBD AC 垂直平分 BD AB=AD 四边形 ABCD 是菱形。四、例题讲解 例 1：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F。求证：四边形 AFCE 是菱形。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 AEFC 1=2 又AOE=COF AO=CO AOECOF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形 又EFAC 四边形 AFCE 是菱形

45、。让同学们考虑用第一种判定方法证明上述命题。五、课堂练习 1菱形的周长为 20cm，两邻角之比为 12，求较短对角线的长度。2。如图O1 和O2 是两个等圆，其中一个圆经过另一个圆的圆心，半径为 6cm。(1)求证：四边形 AO1BO2 是菱形。(2)求菱形 AO1BO2 的面积。六、小结 通过本节课的学习，同学们进一步掌握了菱形的性质定理和判定定理希望同学们能应用这些定理解决问题。七、作业 课本第 50 页的练习的第 2 题，第 57 页习题 273 的第 5 题。补充作业：1(1)菱形周长为 1Ocm，一条对角线长为 25cm，求菱形各角度数，(2)菱形的周长为52cm，一条对角线长是 2

46、4cm，求它的面积。(3)菱形的两条对角线长分别为 a、b，求它的周长和面积。2如图，梯形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC 的垂直平分线与底边 AB、CD 相交于 E、F 点，求证：四边形 AECF 是菱形。3如图，O 中，弦 AB 的长是半径的 3倍，C 总是的中点，求证：四边形 OACB是菱形。27.3 第四课时 正方形【教学目标】：使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的附属关系，进一步掌握正方形的性质与判定方法，会利用定理进行有关的谈论和计算，通过对正方形的讲解，使学生进一步掌握矩形、菱形的性质。【重点难点】：重点：正方形的性质定理和判定定理，应用这些定理进行有关问题

47、的论证和计算。难点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的附属关系。【教学过程】：一、针对问题，同学们回忆与讨论 问题 1正方形的定义是什么?问题 2正方形是菱形吗？正方形是矩形吗?为什么?问题 3正方形具有什么性质?问题 4你能说出(或画图说明)平行四边形、矩形、菱形、正方形的附属关系吗?问题 5判定正方形的方法有哪些?二、正方形的性质 根据同学们的讨论和答复，老师作出以下总结。定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。从定义可以看出，正方形不仅具备矩形的一切性质，同时也具备有菱形的一切性质，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，是矩形、菱形的结合体。2性质：正方形的四个角都是直角

48、四条边都相等，正方形的两条对角线垂直平分，每一条对角线平分一组对角。3平行四边形、矩形、菱形；正方形的附属关系画出左边图形，让同学指出各个图以及阴影局部所代表的图形，从而使同学更加深刻理解它们之间的附属关系。三、正方形的判定方法 问题(1)四条边相等并且四个角也相等的四边形是正方形吗?为什么?(2)四个角相等并且对角线互相垂直的四边形是正方形吗?为什么?(3)对角线垂直平分的四边形是正方形吗?如果不是，应该加什么条件?(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形吗?为什么?(6)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形吗?为什么?通过以上

49、问题的讨论、解答，同学们认识到识别是否是正方形的重要思路是判断它既是矩形，又是菱形。定理，有一个角是直角的菱形是正方形。定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。四、例题 例 1：求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形。：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：四边形 EFGH 是正方形。分析：要证四边形 EFGH 是正方形，可先证正方形 EFGH 是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形 EFGH 是菱形，然后再证一个角是直角。证明：四边形 ABCD 是正方形 B=C=90 AB=BC=CD 点 E、F、G 分别是 AB、B

50、C、CD 的中点 BEBFCFCG BEF=BFE=CFGCGF=45 EFG=90 同理FGH=GHE90 四边形 EFGH 是矩形 BE=CF，BC，BFCG BEFCFG EF=FG 四边形 EFGH 是正方形 五、课堂练习 1如图，在平行四边形 ABCD 中，1=245，求证：四边形 ABCD 是正方形。2：如图，点 E、F、G、H，分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AE=BFCG=DH求证，四边形 EFGH 是正方形。六、课堂小结 1概括正方形的性质定理和判定定理。2平行四边形、矩形、菱形、正方形的附属关系。七、作业 补充作业：1.正方形的对角线的长为 10 厘米，求它的周