2020届吉林省重点高中高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)469.pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2020 届吉林省重点高中高三上学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 1已知全集26UxNx，若2,4A，1,3,4B，则UAB（）A 1,3 B 1,5 C 3,5 D1,3,5【答案】A【解析】化简U,根据 A 求出UC A,再求出UAB.【详解】全集260,1,2,3,4,5Uxx N，2,4A，0,1,3,5UA.又1,3,4B，1,3UAB.故选A.【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,容易忽视全集 U 中的xN.属于基础题.2“2,x，220 xx”的否定是 （）A0,2x，20020 xx B2,x，220 xx C02,x，20020 xx D,

2、2x ，220 xx【答案】C【解析】将2,x 改写为02,x，然后否定结论即可.【详解】解：依题意，“2,x，220 xx”的否定是：02,x，20020 xx，故选：C【点睛】本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别本题属于基础题 3若角的终边过点3,cos0P，则tan的值是 （）第 2 页 共 18 页 A32 B33 C33 D32【答案】B【解析】由三角函数的定义可直接求得tan的值.【详解】解：根据题意，可得cos013tan333 故选：B【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 4已知某扇形的面积为22.5 cm，若该扇形的半径r，弧长l满足27 cmr

3、l，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A45 B5 C12 D45或5【答案】D【解析】由扇形的面积公式12Slr构造关于r，l的方程组，解出方程，由圆心角lr即可算出圆心角大小的弧度数。【详解】据题意，得27,12.5,2lrlr解得5,22rl或1,5,rl所以45lr或5.故选 D.【点睛】本题考查扇形的面积公式12Slr以及弧长公式lr，方程思想，牢记公式是解答本题的关键。5函数 324f xxxx的一个零点所在区间为（）A2,0 B1,0 C0,1 D1,2【答案】A【解析】令2()4g xxx,将()f x化为()()f xxg x,根据零点存在性定理可得()g x 的一个零点在区间

4、(2,0)内,又()g x的零点也是()f x的零点,所以函数第 3 页 共 18 页 324f xxxx的一个零点所在区间为(2,0).【详解】因为 32244fxxxxx xx，令 24g xxx，则 22g，12g ，04g，14g，22g.又函数 g x的图象是一条连续不断曲线，且(2)(0)2(4)80gg ,所以根据零点存在性定理可得,()g x有一个零点在区间(2,0)内，又()g x的零点也是()f x的零点,所以 324f xxxx的一个零点所在区间为(2,0).故选 A.【点睛】本题考查了零点存在性定理,解题关键是转化为判断2()4g xxx的零点所在的区间.属基础题.6如

5、图，若OA a，OB b，OCc，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A2136cba B4133cba C4133cba D2136cba【答案】C【解析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】13cOCOBBCOBAB141333OBOBOAOBOA4133ba.第 4 页 共 18 页 故选 C.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 7若4cos5，且为第三象限角，则tan4的值等于（）A17 B17 C7 D7【答案】D【解析】先根据cos的值以及所在的象限,由同角公式解得sin,再由同角公式解得tan,然后

6、根据两角和的正切公式可得.【详解】因为4cos5，为第三象限角，所以23sin1 cos5 ，所以sin3tancos4，所以3tantan144tan7341tantan144.故选 D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式,属基础题.8若函数sinyx的图象与直线yx 一个交点的坐标为00,x y，则220031cos2xx()A1 B1 C D无法确定【答案】B【解析】由已知可得00sin xx，代入220031cos2xx，利用诱导公式化简求值【详解】解：由题意，00sin xx，2222000031cos1 sinsin12xxxx 第 5 页 共 18 页

7、 故选：B【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题 9已知在矩形ABCD中，4AB，2AD，若E，F分别为AB，BC的中点，则DE DF（）A8 B10 C12 D14【答案】B【解析】由平面向量的线性运算得DEDAAE，DFDCCF，利用平面向量的数量积运算法则进行计算。【详解】据题意，得DE DFDAAEDCCFDA DCDA CFAE DCAE CF 02 1 cos0 2 4 cos0010 .故选 B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题。10已知ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，3A，2b，2 3ABCS，则ABC外接圆的面积为（）A2 B4

8、C8 D16【答案】B【解析】1,2,sin2 3,432ABCAbSb cAc 由余弦定理可得2222cos12,2 3abcbcAa 由正弦定理可得2 32,2sin32aRRA 则ABC外接圆的面积24SR.故选 B 11一艘轮船从 A 出发，沿南偏东70的方向航行 40 海里后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 35的方向航行了40 2海里到达海岛 C如果下次航行直接从 A 出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）第 6 页 共 18 页（A）北偏东80，20(62)（B）北偏东65，20(32)（C）北偏东65，20(62)（D）北偏东80，20(32)【答案】C【解析

9、】试题分析：依题意可得在ABC中7035105,40,40 2BABBC coscos105cos 4560B cos 45 cos60sin 45 sin 6021232622224 由余弦定理可得 2222cosACABBCAB BCB 26160032002 4040 24 2800 42 320 23 1 20 2312062AC sinsin105sin 4560B sin 45 cos60cos 45 sin 6021232622224，由正弦定理可得sinsinBCACAB6240 2sin24sin22062BCBAAC，由题意可知在ABC中A为锐角，所以45A 所 以 如 果

10、 下 次 航 行 直 接 从A出 发 到C，此 船 航 行 的 方 向 为 北 偏 东9045907065，路程为2062海里故 C 正确【考点】1 余弦定理；2 正弦定理 12若函数 233log694f xxxxxa 在区间0,3上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）第 7 页 共 18 页 A0,5 B,5 C0,5 D5,【答案】A【解析】将函数()f x在(0,3上有两个不同的零点转化为关于x的方程323log694xxxxa 在区间0,3上有两个不同的实数根.再构造函数 32694G xxxxa,再转化为函数3|log|yx与函数()yG x的图象在(0,3上有两个不同的交点

11、.利用导数求得()g x在1x 处取得最大值(1)Ga,根据图象可知:0a 且(1)1G,从而可解得a的范围.【详解】因为函数 233log694f xxxxxa 在区间0,3上有两个不同的零点,所以关于x的方程323log694xxxxa 在区间0,3上有两个不同的实数根.引入函数 32694G xxxxa，所以函数3|log|yx与函数()yG x的图象在(0,3上有两个不同的交点,23129G xxx.讨论：当13x时，0G x，G x在区间1,3上单调递减；当01x时，0G x，G x在区间0,1上单调递增，当0,3x时，G x在1x 处取得极大值，也是最大值 max(1)G xGa.

12、又函数3|log|yx与函数()yG x的图象在(0,3上有两个不同的交点,如图:第 8 页 共 18 页 (1)0Ga，且32(3)3639341Ga，05a.故选 A.【点睛】本题考查了函数的零点,利用导数研究函数的最值.解题关键是转化为两个函数的图象的交点个数来做,最后通过两个函数在1x 和3x 时的函数值的大小关系满足的条件可解决.属较难题.二、填空题 13若29x，28log3y，则2xy_【答案】6【解析】由指对关系，把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算。【详解】29x，2log 9x.又28log3y，222642log 9loglog 6469xy.【点睛】本题考查

13、指数与对数的关系及对数的运算，属于基础题。14已知平面向量4,3a，,2bx，若ab，则实数x _【答案】32【解析】由两向量垂直则两向量的数量积为零，根据向量的数量积的坐标运算得到方程，解出即可。第 9 页 共 18 页【详解】据题意，ab0ab得 4,3,2460 xx ，解得32x .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件，属基础题 15化简：3sincos 2sincos2_【答案】22cossin【解析】根据两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值可以化简3sin()cos2,根据诱导公式可以化简cos()cos,sin()sin,cos()sin2,然后代入原式可化简

14、得.【详解】333sincos sincoscos sincos222sincos cos sincos()sincos22 22coscoscossinsinsin.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式以及诱导公式,属基础题.16已知奇函数 fx在定义域,上单调递增，若coscos2cos0fxxfxm对任意的,x 成立，则实数m的最小值为_【答案】32【解析】由题意利用奇偶性及单调性将问题转化为 2cos2x+2cosx1+m0 对任意的 x（，+）成立令 g（x）2cos2x+2cosx1，求得 g（x）的最小值即可【详解】因为 f（x）在定义域（，+）上单调递增且为奇函数，第 10 页

15、共 18 页 所以 f（cosx+cos2x）+f（cosx+m）0 对任意的 x（，+）成立 cosx+cos2x+cosx+m0对任意的 x（，+）成立 2cos2x+2cosx1+m0 对任意的 x（，+）成立 令 g（x）2cos2x+2cosx12（cosx12）232，故当 cosx12 时，g（x）min32，只需302m即可，m32 故答案为：32【点睛】本题考查了函数的性质、恒成立问题的处理方法，属于中档题 三、解答题 17已知tan11tan，求下列各式的值：（1）sincossincos；（2）2sin cos cos22.【答案】（1）13（2）135【解析】（1）由题

16、可得tan，把已知等式化弦为切求解；（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切计算【详解】（1）tan11tan，1tan2，sincostan1sincostan1 112112 13.第 11 页 共 18 页（2）2sin cos cos222sincossin2 222sinsincos2 cossin 22223sinsincos2cossincos 223tantan2tan1 113242114 135.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题 18已知函数 32234f xxx 1求函数 f x的单调递增区间；2当1,2x 时，求函数 f x

17、的最小值【答案】（1）,0和1,；（2）1【解析】1先求导函数，利用导数大于 0，可得函数的单调增区间；2令导数等于 0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值【详解】解：1由题意 32234f xxx，61fxx x，当,0 x 时，0fx；当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx 所以，函数 f x的单调递增区间为,0和1,2当 x 变化时，f x，f x的变化情况如下表 第 12 页 共 18 页 x,0 0 0,1 1 1,fx 0-0 f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 当1x，32(1)2(1)3(1)41f 当1x，(1)2343f 所以当1,2x

18、时，函数 f x的最小值为1【点睛】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具，是基础题 19已知平面向量1sin,62mx，1cos,.2nx 1若/mn，0,2x，求实数 x 的值；2求函数 f xm n的单调递减区间【答案】（1）3x；（2）单调递减区间为：5,36kkkZ【解析】1直接根据向量共线的结论即可求解；2先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论【详解】解：1/mn，1sin,62mx，1cos,.2nx 11sincos0262xx，即sin3cosxx，tan3x，0,2x，第 13 页 共 18 页 3x；2由题得：1311sinc

19、ossincoscos64224fxm nxxxxx 2311sincoscos224xxx1sin 226x，令3222262kxkkZ；536kxkkZ；函数 f xm n的单调递减区间为：5,36kkkZ【点睛】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20已知函数 23sincos3sin02fxxxx图象两条相邻的对称轴间的距离为4.（1）求的值；（2）将函数 f x的图象沿x轴向左平移8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，求2019g的值.【答案】（1）2（2）12【解析】(1)先根据二

20、倍角的正弦公式,正弦的降幂公式将()f x化成13sin2cos222xx,再根据两角和的正弦公式的逆用进一步化成()sin 23f xx,然后利用正弦型函数的周期公式列等式可得;(2)根据图象的平移变换(口诀:左加右减)和周期变换,可以得到()g x的解析式,然后可求得(2019)g.【详解】第 14 页 共 18 页 解：（1）23sincos3sin2fxxxx 13(1cos2)3sin2222xx 13sin2cos222xx sin 23x.又函数 f x图象两条相邻的对称轴间的距离为4，0，所以2242，即2.（2）由(1)可知，sin 43fxx.将函数 f x的图象沿x轴向左

21、平移8个单位长度后，得到函数sin4()sin(4)cos 483323yxxx的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 cos 23g xx的图象，所以2019cos 220193g cos3 12.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式,两角和的正弦公式以及图象的平移变换和周期便能换,属于中档题.21已知函数 2423xf xaxa aR.（1）若函数 f x是偶函数，求实数a的值；第 15 页 共 18 页（2）若函数 2412xxg xx，关于x的方程 f xg x有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）0a（2）31a aa

22、 或【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求a的值；（2）根据题意方程 f xg x有且只有一个实数根，等价于22441232xxxaxax只有一个实数根，等价于414223xxxaa有且只有一个实数根，令，20 xt t则需关于t的方程241103atat 有且只有一个大于43的实数根，结合二次函数的性质来分析。【详解】解：（1）因为 2423xf xaxa aR是偶函数，所以 fxf x对任意的xR成立，所以22442233xxaxaaxa 对任意的xR成立，所以220 xxa对任意的xR成立，所以0a.（2）因为 2412xxg xx，f xg x，所以22441232xxxax

23、ax，所以420,34142.23xxxxaaaa 设20 xt t，则有关于t的方程241103atat.若10a，即1a，则需关于t的方程241103atat 有且只有一个大于43的第 16 页 共 18 页 实数根.设 24113h tatat，则403h，所以2444110333aa，所以250成立，所以1a，满足题意；若10a，即1a 时，解得34t ，不满足题意；若10a，即1a 时，244103aa，且43021aa，所以3a.当3a 时，关于t的方程241103atat 有且只有一个实数根12，满足题意.综上，所求实数a的取值范围是31a aa 或.【点睛】本题主要考查偶函数的

24、性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题。22已知函数 lnf xxx.（1）求函数 f x的图象在点 1,1f处切线的方程；（2）讨论函数 2342g xf xxx的极值；（3）若 21fxm x对任意的1,x成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）10 xy （2）当1x 时，函数 g x取得极小值，且 g x的极小值为52，不存在极大值（3）1,2【解析】(1)先求导函数()1lnfxx,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为(1)1f,再根据直线方程得点斜式求得函数 f x的图象在点 1,1f处切线的方程;第 17 页

25、 共 18 页(2)先求得导函数()g x的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,从而可得极值.(3)将 21fxm x对任意的1,x成立转化为1ln xm xx对任意的1,x成立,然后构造函数 1ln1h xxm xxx,求导后讨论m得()h x的单调性,根据单调性可得.【详解】解：（1）因为 lnf xxx，所以 ln1fxx，所以 11f.又 10f，所以函数 f x的图象在点 1,1f处切线的方程为011yx，即10 xy.（2）因为 23ln42g xxxxx，所以 ln1 34ln31g xxxxx.令()ln3(1)0g xxx,得1x,因为01x时,()0

26、g x,1x 时,()0g x,所以函数()g x在1x 处取得极小值,极小值为5(1)2g.不存在极大值.（3）据题意，得2ln1xxm x对任意的1,x成立，即1ln xm xx对任意的1,x成立.令 1ln1h xxm xxx，所以 222111mxxmh xmxxx.讨论：第 18 页 共 18 页 当0m 时，0h x，此时 h x在1,上单调递增.又 10h，所以当1x 时，0h x，这与 0h x 对任意的1,x恒成立矛盾；当0m 时，二次方程20mxxm的判别式214m .若0，解得12m，此时 0h x，h x在1,上单调递减.又 10h，所以当1x 时，0h x，满足题设；若，解得102m，此时关于x的方程20mxxm的两实数根是2111 42mxm，221142mxm，其中11x，21x.又分析知，函数 h x在区间12,x x上单调递增，10h，所以当21,xx时，0h x，不符合题设.综上，所求实数m的取值范围是1,2.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立,构造法,属于难题.