专题练习11不等式中的恒成立问题探索236.pdf

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1、不等式中的恒成立问题探索 一、选择题 1已知a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是()A若ba，cd，则acbd B若ba，则22acbc C若0ab，则()0ab c D若ba，则acbc【答案】D【解析】A选项：若1a，0b，1c，2d ，则1ac，0bd；此时bdac，可知A错误；B选项：若0c，则220acbc，可知B错误；C选项：ba，则0ab；若0c，则0ab c，可知C错误；D选项：若ba，根据不等式性质可知acbc，D正确.本题正确选项：D 2若ab，则下列不等式不恒成立的是()A0ab B|+0ab C011ba D330ab【答案】C【解析】对于 A，由ab 得0ab恒

2、成立 对于 B，由|aab 可知|0ab 恒成立 对于 C，由于11ababab，故当0ab 时，011ba不成立，所以 C 不恒成立 对于 D，由ab 得33ab，所以330ab恒成立 故选 C 3已知0ab,下列不等式中成立的是（）A4ab B1ab C22ba D11ab【答案】A【解析】A选项，因为0ab，所以04abb .当2,1ab 时即不满足选项 B,C,D.故选 A.4下列命题中，正确的是()A若acbc，则ba B若dcba,，则dbca C若dcba,，则acbd D若ab，则ba 【答案】D【解析】0c 时，若acbc，则ba，排除A；2,0,3acbd 时，dcba,成

3、立，dbca不成立，排除B；2,2,3acbd 时，dcba,成立，acbd不成立，排除C；故选 D.5已知正实数,x y满足3xyxy，若对任意满足条件的,x y，都有2()()60 xya xy恒成立，则实数a的最大值为()A2 6 B7 C4 6 D8【答案】B【解析】3xyxy，且22xyxy，故232xyxyxy，整理即(6)(2)0 xyxy，又,x y均为正实数，故6xy，又对于任意满足3xyxy的正实数,x y，均有2()()60 xya xy恒成立，整理可得()6()axyxy恒成立，令6mxy，令6()g mmm，6m 时2()160gmm 所以6()g mmm在6,上递增

4、，()(6)7g mg，因此(6)7ag，实数a的最大值为 7，故选 B.6若不等式20axxa对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（）A12a 或12a B12a 或0a C12a D1122a【答案】C【解析】解：显然 a=0，不等式不恒成立，所以不等式20axxa对一切实数x都成立，则00a ，即201 40aa，解得12a，所以实数a的取值范围是12a.故选：C.7已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则 的取值范围是（）A B C D【答案】D【解析】由题得，所以 b=4,c=6.所以.因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，因为 y=在-1,0上的最大值为 4.所以 m

5、4.故选：D 8在 上定义运算，若存在使不等式成立，则实数 的取值范围为 A B C D【答案】C【解析】令 因为 即 也就是 在时，取最大值为 6 所以 解得 故选 C 9若关于x的一元二次不等式的解集为 R，则实数a的取值范围是()A B C D【答案】B【解析】由题，因为为一元二次不等式，所以 又因为的解集为 R 所以 故选 B 10不等式的解集为，则 的取值范围是（）A B C D【答案】C【解析】当时，不等式即，恒成立 当时，由题意可得，且，解得 综上，实数 的取值范围是，故选 C 11在 R 上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数 的取值范围是（）A B C D【答案】A【解析

6、】由题意可得：即：对任意恒成立 设 则（当且仅当，即时取等号）即 ，即 本题正确选项：12若关于 的不等式的解集不为空集，则实数 的取值范围为（）A B C D【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集，符合题意；若时，原不等式为，无解，不符合题意；当时，即，若的解集是空集，则有，解可得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数 的取值范围为；故选 C 二、填空题 13已知0,0ab，若不等式119mabab恒成立，求m的最大值为_.【答案】16【解析】不等式119mabab恒成立,则119910bamababab恒成

7、立.因为991021016bab aaba b，当且仅当3ab时等号成立，所以16m，即m的最大值为16.14若对于，不等式恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】不等式可化为，令，则对于，不等式恒成立，等价于，因为恒成立，所以为上的增函数，所以，解得，故答案为.15关于 的不等式在区间上恒成立，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】由题得，因为，所以.当且仅当 x=-1 时得到等号.所以 a-2.故答案为：16有下面四个不等式：；其中恒成立的有_个【答案】2【解析】解：因为 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca）（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以 a2+b2+c22（a

8、b+bc+ca）成立，所以正确 因为，所以正确 当 a，b 同号时有，当 a，b异号时，所以错误 ab0时，不成立.其中恒成立的个数是 2个 三、解答题 17已知函数2()28f xxx（1）解不等式()0f x；（2）若对一切0 x，不等式()9f xmx恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）,24,；（2）0,【解析】（1）228240f xxxxx 2x 或4x 所求不等式解集为：,24,（2）当0 x 时，9f xmx可化为：22112xxmxxx 又1122xxxx（当且仅当1xx，即1x 时取等号）min12220 xx 0m 即m的取值范围为：0,18已知函数 2f xxaxb

9、.（1）若关于x的不等式 0f x 的解集为1,3，求实数,a b的值；（2）当4b 时，对任意xR，0f x 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）2,3ab；（2）4,4.【解析】(1)因为 20f xxaxb 的解集为1,3，所以关于x的方程20 xaxb的两个根为1,3.所以13,1 3ab ，解得2,3ab.(2)由题意得 240f xxax 对任意xR恒成立，所以 22414160aa ，解得44a，即a的取值范围是4,4.19已知函数，满足，且函数的值域为 （）求函数的解析式；（）设函数，对任意，存在，使得 求 的取值范围【答案】（）；（）.【解析】（）根据，可得 由函数的值域为

10、 知，方程，判别式，即.又，即，解得：，（）由（）可得 f(x)的对称轴为，则当时，取得最大值为 9，若对任意，存在，使得，即，即 对任意恒成立 设，则，即，解得 的取值范围是 20已知函数（a为常数）（1）求不等式的解集；（2）当 a0时，若对于任意的 3，4，恒成立，求实数 a的取值范围【答案】（1）见解析（2）a 【解析】解：（1）不等式化为，即，a=0时，不等式变为，解得 1；a0 时，不等式变为，若 a2，则 1，解得 1或 ，若 a=2，则=1，解得 1，若 0a2，则 1，解得 或 1；a0 时，不等式变为（-）（-1）0，解得 1；综上所述，=0 时，不等式的解集为（-，1）；

11、0a2时，不等式的解集（-，1）（，+）；a=2 时，不等式的解集（-，1）（1，+）；a2时，不等式的解集（-，）（1，+）；a0时，不等式的解集（，1）；（2）由（1）知：0a2时，（-，1）（，+），需3，4（-，1）（，+），3，即 23a，解得 2a；a=2时，（-，1）（1，+），符合条件；a2 时，（-，）（1，+），符合条件；综上所述，符合条件的 a的取值范围是 a 21已知函数.（1）当时，求不等式 的解集；（2）当时，不等式恒成立，求 的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以.所以，即，解得或.故不等式的解集为.（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.因为，所以，则.当且仅当，即时，等号成立.故 的取值范围为.