三角形中做辅助线的技巧及典型例题29.pdf

《三角形中做辅助线的技巧及典型例题29.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形中做辅助线的技巧及典型例题29.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、三角形中做辅助线的技巧 口诀：三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种

2、。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等 如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE平 分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。例2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，D A=DB，求证 DCAC 例3 已知：如图

3、1-4，在ABC中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD 图 1-1OABDEFC图1-2ADBCEF分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习 1 已知在ABC中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC 2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE 平分CAB交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE 3 已知：在ABC中，ABAC,AD为BAC的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC 4 已知：

4、D 是ABC的BAC的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图 2-1，已知 ABAD,BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180?分析：可由 C 向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。例2 如图 2-2，在ABC中，A=90?，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD 分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利

5、用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。练习：1 如图 2-4AOP=BOP=15?，PC/OA，PDOA，如果 PC=4，则 PD=（）A 4 B 3 C 2 D 1 2 已知在ABC中，C=90?，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3 已知：如图 2-5,BAC=CAD,ABAD，CEAB，图1-4ABCDE图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图2-4BOAPDCAE=21（A

6、B+AD）.求证：D+B=180?。4.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC中，ACB=90?,CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB交 CD 于 F，过 F作 FH/AB交 BC 于 H。求证 CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该

7、线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H是 BC中 点。求证：DH=21（AB-AC）分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90?，AD 为ABC的平分线，CE BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延 长 此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3 已知：如图 3-3在ABC中，AD、AE 分别BAC的内、外角 平 分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM

8、=ME。分析：由 AD、AE 是BAC内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4，在ABC中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD 延长线于 M。求证：AM=21（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM=21EC，另外由求证的结果 AM=21（AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF即可。图2-5ABDCE图示3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM

9、图3-4nEBADCMF练习：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线，AFBF 于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN=21BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1和图 4-2所示。例 4 如图，ABAC,1=2，求证：ABA

10、CBDCD。例 5 如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1.已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC是直角三角形。2 已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC 3 已知 CE、AD 是ABC的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD 4 已知：如图在ABC中，A=90，AB=AC，BD 是ABC的平分线，求证：BC=AB+AD 二、由线段和差想到的辅助线 口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段

11、等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。1 2 A C D B B D C A A B E C D C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边

12、的不等关系证明，如：例1、已 知 如 图 1-1：D、E 为 ABC 内 两 点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MDBD；（2）在CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长 BD 交 AC 于 F，廷长 CE 交 BF 于 G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+C

13、E（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点

14、E，这时BDC是EDC的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC 证法二：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时BDF是ABD的 外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12 图CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD 为ABC的中线，且 1=2,3=4,求证：BE+CFEF。分析：要证 BE+CFE

15、F，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对 应 边 相等，把 EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF 在EFN中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质

16、得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任一点 求证：AB-ACPB-PC。分析：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB-AC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 AB-AC=BN，再连接 PN，则 PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC连接 PN,在APN和APC中 ABCDEFN13图1234AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）

17、,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。例 1 如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。例 2如图，在四边形ABCD中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，求证：ADC+B=180o 腰三角形 ABC中，AB=AC，A=108，BD 平分例 3已知：如图，等ABC。求证：BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC中，ACB=90，AD 是CAB的平分线，DMAB 于 M，且 AM=MB。求证：CD=21DB。【

18、夯实基础】例：ABC中，AD 是BAC的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC 方法 1：作 DEAB 于 E，作 DFAC 于 F，证明二次全等 方法 2：辅助线同上，利用面积 方法 3：倍长中线 AD【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线 D A E C B AEBCDD C B A M B D C A ABCDNMP16图1 2CDABAABC中 方式 1：延长 AD 到 E，AD是 BC 边中线 使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于 F，延长 MD 到 N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD【经典例题】例 1：ABC中，A

19、B=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围 提示：画出图形，倍长中线 AD，利用三角形两边之和大于第三边 例 2：已知在ABC中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE 方法 1：过 D 作 DGAE 交 BC 于 G，证明 DGF CEF 方法 2：过 E 作 EGAB 交 BC 的延长线于 G，证明 EFG DFB 方法 3：过 D 作 DGBC 于 G，过 E 作 EHBC 的延长线于 H 证明 BDG ECH 例 3：已知在ABC中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交

20、 AC 于 F，求证：AF=EF 提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明 BDG CDA 三角形 BEG是等腰三角形 例 4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作BADF/交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分BAC 提示：方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG 方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH 例 5：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD的中线，求证：C=BAE 提示：倍长 AE 至 F，连结 DF 证明 ABE FDE（SAS）进而证明 ADF ADC（SAS）【融会贯通】1、在四边形 ABCD中，ABDC，

21、E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长 AE、DF 交于 G 证明 AB=GC、AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如图，AD 为ABC的中线，DE 平分BDA交 AB 于 E，DF 平分ADC交 AC 于 F.求证：EFCFBE 提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG 证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法 2：倍长 ED 至 H，连结 CH、FH 证明 FH=EF、CH=BE 利用三角

22、形两边之和大于第三边 3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于 M，AT 平分BAC交 CM 于 D，FEDABC第 1 题图 ABFDECFEABCD第 14 题图 DFCBEA D A B C M T E 交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB交 BC 于 E，求证：CT=BE.提示：过 T 作 TNAB 于 N 证明 BTN ECD 1如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C 在 AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求证：BD=DE+CE 四、由中

23、点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ABC的中线，则 S ABD=S ACD=S ABC（因为 ABD与 ACD是等底同高的）。例 1如图 2，ABC中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是 DCE的中线。已知 ABC的面积为 2，求：CDF的面积。解：因为

24、 AD 是 ABC的中线，所以 S ACD=S ABC=2=1，又因 CD 是 ACE的中线，故 S CDE=S ACD=1，因 DF 是 CDE的中线，所以 S CDF=S CDE=1=。CDF的面积为。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例 2如图 3，在四边形 ABCD中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF，ME 是 BCD的中位线，MECD，MEF=CHE，E D C B A MF 是 ABD 的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=

25、CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。（三）、由中线应想到延长中线 例 3 图 4，已知 ABC 中，AB=5，AC=3，连 BC 上的中线 AD=2，求 BC 的长。解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，则 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACD EBD，AC=BE，从而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。证明：延长

26、AD 到 E，使 DE=AD。仿例 3 可证：BED CAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质 例 5 如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，AC BC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 Rt ABD，Rt ABC 斜边 AB 上的中线，故 DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADE BCE，AD=BC，从而梯形 ABCD

27、 是等腰梯形，因此 AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例 6 如图 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEF BEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABD ACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中

28、线。（六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF。证明：廷长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM 中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDE CDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90 即：EDF=90 FDM=EDF=90 14图ABCDEFM1234在EDF和MDF中 ED=MD（辅助线作法）EDF=FDM（已

29、证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF 上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图 5-1：AD 为ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

30、 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CE AD 为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：1 如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。2 如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。ABCDE15图D M

31、CED AD BD B A D C 8 6 B E C D A DCBAEDFCBA4，已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。5 已知：如图AD 为ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC 常 见 辅 助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是

32、三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等 1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.

33、2：如图，ABC中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大小.3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.中考应用（09 崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 RtABD和等腰 RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并

34、说明理由 ABCDEF25图A B D C E F DCBAP21DCBAEDCBAPQCBA（二）、截长补短 1.如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CD AC 2：如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;AB AC+BD 3：如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形 ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC，求证：0180CA 5:如图在ABC 中，ABAC，1 2，P 为AD 上任意一点，求

35、证;AB-ACPB-PC 中考应用（08 海淀一模）例题讲解：一、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2 倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形；如图中，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形；如图中，若B2ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形.1、如图，ABC中，ABAC，BDAC交AC于D.求证：DBC12BAC.2、如图，ABC中，ACB2B，BC2AC.求证：A90.二、利用

36、角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图中，若AD平分BAC，ADEC，则ACE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，DEAC，则ADE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，CEAB，则ACE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，EFAD，则AGE是等腰三角形.3、如图，ABC中，ABAC，在AC上取点P，过点P作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：.AEAP.4、如图，ABC 中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC.求证：EFAB.三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出

37、现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图 1 中，D C B A F C D E B A F B A C P E E 图 1 A B C D 图 2 B F D C A A D C B E E C B D A B A C D E A B F C D E G A B C B C D A B C D A B C D A A 若 AD 平分BAC，ADDC，则AEC是等腰三角形.5、如图 2，已知等腰 RtABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D。求证：BF2CD.四：其他方法总结 1 截长补短法 6、如图，已知：正方形 ABCD中，BAC的平分线交 B

38、C 于 E，求证：AB+BE=AC 2 倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。7、如图（7）AD 是ABC的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF 求证：AC=BF 8、已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图,求证EF2AD。3 平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的中线 9、ABC中，BAC=60，C=40AP 平分BAC交 BC 于 P，BQ 平分ABC交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+

39、AQ 说明：本题也可以在 AB 截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长补短法”本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO来解决 如图（2），过 O 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，则ADOAQO，ABOAEO来解决 如图（3），过 P 作 PDBQ 交 AB 的延长线于 D，则APDAPC来解决 如图（4），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP来解决 10、已知：如图，在ABC中，A 的平分线 AD 交 BC 于 D，且 AB=AD，作 CMAD 交 AD 的延长于 M 求证：AM

40、=21（AB+AC）巩固练习 1、（2009 年浙江省绍兴市）如图，DE，分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48CDE，则APD等于（）A 42 B48 C 52 D58 2（2009 柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个 A B C D A B C P Q O O A B C P Q D 图（1）A B C P Q D E 图（2）O A B C P Q 图（3）D O A B C P Q 图（4）D O A B C D E E A B C D F A B C D M B C D E F C D B

41、 A 3、(2009宁夏)如图，ABC的周长为 32，且ABACADBC，于D，ACD的周长为 24，那么AD的长为 4、(09年达州)长度为 2、3、4、5 的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是_ 5、如图，在ABC中，ADBC于D，且ABC2C.求证：CDAB+BD.6、如图，在ABC中，BAC、BCA的平分线相交于点O，过点O作DEAC，分别交AB、BC于点D、E.试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由.7、（2009年长沙）如图，EF、是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BEDF，求证：AFCE 8、AD 为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。9、已知

42、 D 为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持变 （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。1、已知，如图 1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180。2、已知，如图 2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证：BAP+BCP=180。3、已知，如图 3，在ABC中，C2B，12。求证：AB=AC+CD。D C B A C A B E D O ABCDABCDEFGN M B E A C D F G 图（1）图M B E A C D F G N D C A B E F