《导数及其应用》知识点总结527.pdf

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1、导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1.函数的平均变化率：函数()f x在区间12,x x上的平均变化率为：2121()()f xf xxx。2.导数的定义：设函数()yf x在区间(,)a b上有定义，0(,)xa b，若x无限趋近于 0 时，比值00()()f xxf xyxx 无限趋近于一个常数 A，则称函数()f x在0 xx处可导，并称该常数 A 为函数()f x在0 xx处的导数，记作0()fx。函数()f x在0 xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yf xxf x ；（2）求平均变化率：00()()f x

2、xf xx；（3）取极限，当x无限趋近与 0 时，00()()f xxf xx 无限趋近与一个常数 A，则0()fxA.4.导数的几何意义：函数()f x在0 xx处的导数就是曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()yf x在 x0处的导数，即为曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。当点00(,)P xy不在()yf x上时，求经过点 P 的()yf x的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将 P 点

3、的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0 xx。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数()S t，则()VS t表示瞬时速度，()av t表示瞬时加速度。二、导数的运算 1.常见函数的导数：（1）()kxbk(k,b 为常数)；（2）0C(C 为常数)；（3）()1x ；（4）2()2xx；（5）32()3xx；（6）211()xx ；（7）1()2xx；（8）1()xx（为常数）；（9）()ln(0,1)xxaaa aa；（10）11(log)log(0,1)lna

4、axeaaxxa；（11）()xxee；（12）1(ln)xx；（13）(sin)cosxx；（14）(cos)sinxx 。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）()()()()f xg xfxg x；（2）()()Cf xCfx（C 为常数）；（3）()()()()()()f x g xfx g xf x g x；（4）2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xgx。3.简单复合函数的导数：若(),yf uuaxb，则xuxyyu，即xuyya。三、导数的应用 1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()yf x在区间(,)a b内

5、可导，（1）如果恒()0fx，则函数()yf x在区间(,)a b上为增函数；（2）如果恒()0fx，则函数()yf x在区间(,)a b上为减函数；（3）如果恒()0fx，则函数()yf x在区间(,)a b上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数()yf x的定义域；求导数()fx；解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()yf x在区间(,)a b内可导，(1)如果函数()yf x在区间(,)a b上为增函数,则()0fx(

6、其中使()0fx的x值不构成区间)；(2)如果函数()yf x在区间(,)a b上为减函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(3)如果函数()yf x在区间(,)a b上为常数函数,则()0fx恒成立。2.求函数的极值：设函数()yf x在0 x及其附近有定义，如果对0 x附近的所有的点都有0()()f xf x（或0()()f xf x），则称0()f x是函数()f x的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数()f x的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小

7、区间，并列表：x 变化时，()fx和()f x值的变化情况：x 正负 0 正负 0 正负 单调性 单调性 单调性 （4）检查()fx的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数()f x在定义域 I 内存在0 x，使得对任意的xI，总有0()()f xf x，则称0()f x为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数()f x在区间,a b上的最大值和最小值的步骤：（1）求()f x在区间(,)a b上的极值；（2）将第一步中求得的极值与(),()f af b比较，得到()f x在区间,a b上的最大值与最小值。4.解决不等式的

8、有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。()()f x xA的值域是,a b时，不等式()0f x 恒成立的充要条件是max()0f x，即0b；不等式()0f x 恒成立的充要条件是min()0f x，即0a。()()f x xA的值域是(,)a b时，不等式()0f x 恒成立的充要条件是0b；不等式()0f x 恒成立的充要条件是0a。（2）证明不等式()0f x 可转化为证明max()0f x，或利用函数()f x的单调性，转化为证明0()()0f xf x。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。