多面体与球的内切和外接常见类型归纳458.pdf

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1、；.多面体与球的内切和外接常见类型归纳 在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一正四面体与球 如图所示，设正四面体的棱长为 a，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高 SE=32a,斜高SD=43a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在 2222)(OESEBDEBOEOEB中，直角 r=a126。R=SO=OB=a46 特征分析：1 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。

2、2 R=3r.r=a126 R=a46。此结论可以记忆。例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）分析：借助结论，R=a46=462=23,所以 S=42R=3。C B D A O S E F；.2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（）分析：借助 R=3r，答案为 9：1。二、特殊三棱锥与球 四个面都是直角三角形的三棱锥。SAABBCABCABC为直角三角形，面,因为 SAAC，SBBC，球心落在 SC 的中点处。所以 R=2SC。三正方体与球。1正方体的外接球 即正方体的8 个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD 为正方体

3、的体对角面。设正方体的边长为 a，则 AB=2a，BD=2R，AD=a，R=23a。C 2 正方体的内切球。（1）与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。S A C O B O C B A S A O B D B A C D C D；.R=2a（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆。AB=CD=a，R=22a。3 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正

4、方体的外接球，a=2，则 R=3223，S=12。2一个球与棱长为 1 的正方体的 12 条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R=221=22 V=32 3将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=21，V=34。4P、A、B、C、是球 O 面上的四个点，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正A D B C；.方体的外接球，所以 R=23，V=23。四、正棱柱与球 1正三棱柱外接球。如图所示：

5、过 A 点作 AD 垂直 BC,D为三角形 ABC 的中心，D1同样得到。则球心O必落在DD1的中点上。利用三角形 OAD 为直角三角形，OA=R,可求出 R.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。例题：1。已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA=21,OD=2a，AD=a33，可求 a6，V=543.2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面 OD=R，设 AD=a，底面正

6、方形的边长为 b，则 有 DC=2b，则 R2=（a/2）2+（2b/2）2，B A C C1 A1B1 D1D O C B A D O；.S=4ba2222ba=224R。五、长方体与球 1长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是 3，4，5，则它的外接球的表面积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以 R=225，S=50。C B A D O