数列单调性(教师)290.pdf

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1、数列的单调性 1、设1271=aaa，其中7531,aaaa成公比为q的等比数列，642,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是_33 2、数列 na满足172 nnan（为实常数，*Nn），最大项为8a，最小项为9a，则实数的取值范围为_.172 3、已知函数 56(4)462xaxf xaxx,数列 na满足 Nnnfan，且数列 na是单调递增数列，则实数a的取值范围是 .4,8 4、数列 na的通项公式为knknan2，若对任意正整数n，43aaan均成立，则实数k的取值范围是_.2,3 5、设函数()log(0,1)af xx aa，数列*()()nf xnN是首项为4()f a

2、，公差为 2的等差数列，又()()nng nx f x，数列()g n是递减数列，则a的取值范围是_.0a63 6、已知数列an满足 a11，an12an1，若集合 Mn|n()n1 t()an1，nN*中有 3 个元素，则实数 t 的取值范围是_ 答案 1，54 解析 因为数列an满足 a11，an12an1，所以 an112()an1，即数列an1是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，所以 an12n，an2n1，所以 n(n1)t(an1)，化简可得 tnn12n，记 f(n)nn12n，f(n)2n12nn2n2nln 22n22n1n2nln 22n，当 n4 时，f(n)0，此

3、时 f(n)是单调递减的；因为 f(1)1，f(2)32，f(3)32，f(4)54，当 n5 时，f(n)54，集合 Mn|n()n1 t()an1，nN*中有 3 个元素，所以这三个元素只能是 2,3,4，所以 1t54，故答案为 1t54.7、设数列an的前 n 项积为 Tn，Tn1an；若122nnTnnkn对 nN*恒成立，求实数 k 的取值范围 因为 Tn(nbnn2)kn 对 nN*恒成立，所以 Tn(bnn2n)k 对 nN*恒成立，即1n1(12)nn2nnk 对 nN*恒成立 设 f(n)1n1(12)n，则 f(n1)1n2(12)n1 因为1n11n20，(12)n(1

4、2)n10，所以 f(n)f(n1)所以当 nN*时，f(n)单调递减 11 分 设g(n)n2nn，则g(n 1)n1nn，g(n 1)g(n)4nnnn 所以当 1n4 时，g(n)单调递增；g(4)g(5)；当 n5 时，g(n)单调递减 14 分 设 L(n)f(n)g(n)，则 L(1)L(2)L(3)，L(3)L(4)L(5)L(6)所以 L(3)最大，且 L(3)1196 所以实数 k 的取值范围为1196，)16 分 8、已知数列na的通项公式为1nan，若对于一切1n的自然数，不等式 32)1(log121.221aaaaannn恒成立,求实数a的取值范围.解：1221111

5、22nnnaaannn 令122nnnnbaaa，12322nnnnbaaa 1222111111222112(21)(1)nnnnnbbaaannnnn 1,nnN，10nnbb恒成立；数列 nb对2n，nN上单调递增 min234117()3412nbbaa；由题意可知min12log(1)()123anab log(1)1aa 又1a；101aa；1512a 9、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn13(an1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足 an132nna b，若 bnt 对于任意正整数 n 都成立，求实数 t 的取值范围 解(1)由已知得 Sn3

6、an2，令 n1，得 a11，又 an1Sn1Sn3an13an，得 an132an，所以数列an是以 1 为首项，32为公比的等比数列，所以 an32n1(nN*)(2)由 an132nna b，得 bn1an32logan123n132log32nn23n1，所以 bn1bn(n1)23nn23n12n13n(2n)，所以 bnbn1b4b1，所以(bn)maxb2b343，所以 t43.即 t 的取值范围为43，.10、已知数列an的首项 a1a，Sn是数列an的前 n 项和，且满足：S2n3n2anS2n1，an0，n2，nN*确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列an是递增数列

7、 解：由 S2n3n2anS2n1，得 S2nS2n13n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为 an0，所以 SnSn13n2，(n2)，所以 Sn1Sn3(n1)2，得 an1an6n3，(n2)所以 an2an16n9，得 an2an6，(n2)即数列 a2，a4，a6，及数列 a3，a5，a7，都是公差为 6 的等差数列，因为 a2122a，a332a 所以 ana，n1，3n2a6，n为奇数且n3，3n2a6，n为偶数，要使数列an是递增数列，须有 a1a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，anan1，且当 n 为偶数时，anan

8、1，即 a122a，3n2a63(n1)2a6(n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n 为偶数)，解得94a154 所以 M(94，154)，当 aM 时，数列an是递增数列 11、数列an满足：a1=5，an+1an=2(an+1an)15，数列bn的前 n 项和为 Sn满足：Sn=2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项 解：（1）令 n=1 得 a25=2(a25)15，解得 a2=12，由已知得(an+1an)2=2(an+1an)15 (an+2an+1)2=2(a

9、n+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an)=2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以 an+2an0，于是 an+22an+1an=2，即(an+2an+1)(an+1an)=2，所以an+1an是首项为 7，公差为 2 的等差数列，于是 an+1an=72(n1)=2n5，所以 an=(anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1=(2n3)(2n1)75=n(n4)（2）在 Sn=2(1bn)中令 n=1 得 b1=2(1b1)，解得 b1=23，因为 Sn=2(1bn)，Sn+1=2(1bn+1)，相减得 bn+1=2bn+12bn，即 3bn+1=

10、2bn，所以bn是首项和公比均为23的等比数列，所以 bn=(23)n从而 anbn=n(n4)(23)n设数列anbn的最大项为 akbk，则有 k(k4)(23)k(k1)(k5)(23)k+1，且 k(k4)(23)k(k1)(k3)(23)k-1，所以 k210，且 k22k90，因为 k 是自然数，解得 k=4所以数列anbn的最大项为a4b4=51281 12、已知数列an中，a1a(a1 且a3)，a23，an2an13an2(n3)(1)求an1an和an13an的通项公式；(2)若数列an单调递增，求 a 的取值范围 解(1)a2a13a，a23a133a，由 an2an13

11、an2，得 anan13(an1an2)，an3an1(an13an2)，所以 an1an3n1(a1a2)(a3)3n1，an13an(1)n1(33a)(2)由以上两式得 an14(a3)3n1(1)n1(33a)，an1an12(a3)3n1(1)n1(33a)，当 n 为奇数时，(a3)3n1(1)n1(33a)(3n13)a3n3，所以 an1an0，即(3n13)a3n30，当 n1 时，a3n33n133123n13关于 n 递增，所以3a0，所以 a3n33n13123n133 关于 n 递减，所以 a1，综上 a(1,1)(1,3)13、设数列na的前 n 项和为nS，已知1

12、1a，121nnSS（*nN）（1）求证：数列na为等比数列；（2）若数列 nb满足：11b，1112nnnbba 求数列 nb的通项公式；是否存在正整数 n，使得14niibn成立？若存在，求出所有 n 的值；若不 存在，请说明理由 解：（1）由121nnSS，得121nnSS（2n），两式相减，得120nnaa，即12nnaa（2n）2 分 因为11a，由121()21aaa，得22a，所以212aa，所以12nnaa对任意*nN都成立，所以数列na为等比数列，首项为 1，公比为 2 4 分（2）由（1）知，12nna，由1112nnnbba，得1122nnnbb，6 分 即11221nn

13、nnbb，即11221nnnnbb，因为11b，所以数列12nnb是首项为 1，公差为 1 的等差数列 8 分 所以121(1)1nnbnn ，所以12nnnb 10 分 设1nniiTb，则012111111()2()3()()2222nnTn ，所以123111111()2()3()()22222nnTn，两式相减，得0121111111()()()()()222222nnnTn11()12()1212nnn12(2)()2nn，所以14(24)()2nnTn 12 分 由14niibn，得14(24)()42nnn，即122nnn 显然当2n 时，上式成立，设12()2nnf nn（*n

14、N），即(2)0f 因为11322(1)()(2)(2)201(1)nnnnnf nf nnnn n，所以数列()f n单调递减，所以()0f n 只有唯一解2n，所以存在唯一正整数2n，使得14niibn成立 16 分/14、已知直线 l：ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)恰有一个公共点 P，l 与圆 x2y2a2相交于 A，B 两点，点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称若当 k12时，QAB 的面积取到最大值 a2，求椭圆的离心率 解 由 ykxm，x2a2y2b21，得(a2k2b2)x22a2kmxa2(m2b2)0，则(2a2km)24(a2k2b2)a2(m2b2)0

15、，化简整理，得 m2a2k2b2.因为点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称，故QAB 的面积是OAB 的面积的两倍 所以当 k12时，OAB 的面积取到最大值a22，此时 OAOB，从而原点 O 到直线 l 的距离 da2，又 d|m|k21，故m2k21a22.再由(1)，得a2k2b2k21a22，则 k212b2a2.又 k12，故 k212b2a214，即b2a238，从而 e2c2a21b2a258，即 e104.15、如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、EPDA

16、两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CACB，记道路CA、CB长之和为L.（1）设ACO，求出L关于的函数关系式 L；设2ABx米，求出L关于x的函数关系式 L x.（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数 关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.解：（1）在Rt CDO中，ACO，所以20sinCO，所以2020sinCG 在Rt AGC中20202020sinsincoscossincosCGAC，4040sin=2sincosLAC,0,2 设ACy，则在Rt AGC中22CGyx，由Rt CDO与Rt AGC相似得，COODCAAG,即

17、222020yxyx，即222020 xyxxy，即2220+x yxx y，即20+x yxx y即2400+xyxx y，化 简 得32400400 xxCAyx，322800=2400 xxL xCAx,20,x （2）40 1+sin4040sin=2=sincossincosLAC 令=0L，得51sin=2.令051sin=2,当0(0,)时，0L，所以 L递减；当0(,)2时，0L，所以 L递增，所以当51sin=2时，L取得最小值，新建道路何时造价也最少。322322240 sin+sincos40 sin+2sin1=sincossincosL2240 sin1 sinsin1sincos