有理数知识讲解621.pdf

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1、有理数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用 举例 表示数的性质 0 是自然数、是有理数 表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示 表示某种状态 00 C表示

2、冰点 表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数 2数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大 3相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负 4绝对值：（1)代数意义：一个正

3、数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 数a 的绝对值记作a （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 要点二、有理数的运算 1 法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同 0相加，仍得这个数（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即 a-b=a+(-b)（3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数即 ab

4、=a1b(b0)（5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0 (6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则

5、幂为负；指数为(0)|0(0)(0)aaaaaa偶数，则幂为正，例如：2(3)9，3(3)27 2运算律：（1）交换律:加法交换律:a+b=b+a；乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法（4）作商比较法；（5)倒数比较法 要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于 10 的数表示成10na的

6、形式（其中110a，n是正整数），此种记法叫做科学记数法例如：200 000=52 10 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300，这里的 6300 就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果

7、与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念 1 若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身 则这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5）_ 【答案】（1）0；(2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1)321的倒数是 ；321的相反数是 ；321的绝对

8、值是 .-（-8）的相反数是 ；21的相反数的倒数是_.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义是 _ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是 .(3)上海浦东磁悬浮铁路全长 30km，单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin.(4)若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则)(323bacd_ .(5)近似数精确到 位，近似数 105精确到 位，近似数万精确到 位，105精确到千位是 .【答案】（1）35；213；213；-8；2 （2）降价元，元；（3）33.75 10；（4）3；（5）万分；千；千；10

9、5 2如果(x-2)2+|y-3|0，那么(2x-y)2005的值为()A1 B-1 C22006 D32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出y,x的值再代入计算【答案】A【解析】因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|0，所以由非负数的性质先求出 x=2，y=3 的值，代入得：(2x-y)2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性 3在下列两数之间填上适当的不等号：20052006_20062007【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0 分别得到 ab，ab，ab”来比较两数的大小 【答案】【解析】法一：作差法 由于200520062

10、00520072006200610200620072006200720062007，所以2005200620062007 法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006 所以2005200620062007【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用 举一反三：【变式】比较大小：(1)199；(2)23【答案】（1）（2）类型二、有理数的运算 4（1）（12）5+（14）（39）（2）32（3）2+3（2）+|4|（3）1526061215 （4）5410.75 1252 （5）231111312112132442434(0.2)【答案与解析】解

11、：（1）（12）5+（14）（39）=12514+39=31+39=8（2）32（3）2+3（2）+|4|=996+4=16+4=3（3）1526061215 =606060=10258=23（4）5410.75 1252 =（）（）32=232=30=24（5）231111312112132442434(0.2)3124575512416543415 14575524242412540434 127056330 12540 1121403912040 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算

12、法则计算，有时可以利用运算律来简化运算 举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22 （2）2006426 1031 【答案】解：（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222 （2）2006426 1031 =-16+4-31=-15 类型三、数学思想在本章中的应用 5（1）数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a （2）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3求 x-y 的值 （3）转化思想：计算：3135()147 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到 a1-a，

13、所以大小关系为：a1-a 所以正确选项为：D （2）因为|x|5，所以 x 为-5 或 5 因为|y|3，所以 y 为 3 或-3 当 x5，y3 时，x-y5-32 当 x5，y-3 时，x-y5-(-3)8 当 x-5，y3 时，x-y-5-3-8 当 x-5，y-3 时，x-y-5-(-3)-2 故（x-y）的值为2 或8（3）原式=33135(7)35 7724614142 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为

14、“旧知识”，将“未知”转化为“已知”举一反三：【变式】若 a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解：当 a0 时，|a|-aa-a0；当 a0 时，|a|-a0-00；当 a0 时，|a|-a-a-a-2a0 所以，对于任何有理数 a，|a|-a 都不会是负数 类型四、规律探索 6将 1，12，13，14，15，16，按一定规律排列如下：请你写出第 20 行从左至右第 10 个数是_【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律【答案】1200【解析】认真观察可知，第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，第 3 行有 3 个数，所以第20 行有 20 个数，从第 1 行到第 20 行共有 1+2+3+20210 个数，所以第 20 行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第 20 行最后一个数是1210，以此类推向前 10 个，则得到第 20 行第 10 个数是1200【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来