积分的变换原理65.pdf
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1、-.z.5.4 定积分的换元法 一、换元公式【定理】若 1、函数在上连续;2、函数在区间上单值且具有连续导数;3、当 在上变化时,的值在上变化,且,则有(1)证明:(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续,故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。假设是在上的一个原函数,据牛顿莱布尼兹公式有 另一方面,函数的导数为 这表明:函数是在上的一个原函数,故有:从而有 对这一定理给出几点注解:-.z.1、用替换,将原来变量代换成新变量 后,原定积分的限应同时换成新变量的限。求出的原函数后,不必象不定积分那样,将变换成原变量的函数,只需将新变量 的上下限代入中然后相减即可
2、。2、应注意代换的条件,避免出错。(1)、在单值且连续;(2)、3、对于时,换元公式(1)仍然成立。【例 1】求【解法一】令 当时,;当时,。又当时,有 且变换函数在上单值,在上连续,由换元公式有【解法二】令 当时,;当时,。又当时,且变换函数在上单值,在上连续,由换元公式有-.z.注意:在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。换元公式也可以反过来,即【例 2】求 解:设,当时,;当时,一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。二、常用的变量替换技术与几个常用的结论【例 3】证明 1、若在上连续且为偶函数,则 2、若在上连续且为奇函数,则 证明:由定积分对区间的可加性有 对作替换得 故有-.z.若为偶函数,则 若为奇函数,则【例 4】若在上连续,证明:1、2、并由此式计算定积分 1、证明:设,2、证明:设,【例 5】求 解:令,故 评注:这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。
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- 积分 变换 原理 65
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