极化恒等式(教师版)104.pdf

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1、 1 巧用极化恒等式秒杀向量高考题 一、极化恒等式：1.极化恒等式：设ba,是两个平面向量，则有恒等式)()(4122bababa （1）2.极化恒等式的几何意义：向量a和b的数量积ba等于以a和b为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 41)(41)()(41222222BCADBCADbababa 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即 22222241)2(41)()(41BCAMBCAMbababa 极化恒等式的作用 主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”

2、为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解 二、极化恒等式的应用 1.（2012 年浙江高考 15 题）在ABC中，M是BC的中点，3AM，10BC，则 ACAB 解法 1：（基底法）)()()()(MAMBMAMBMAMCMAMBACAB 1625922MBMA 解法 2：（坐标法）以点M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(CB，设)sin3,cos3(A，则)sin3,cos35(),sin3,cos35(ACAB 16259sin925cos9)sin3()cos35)(cos35(222ACAB解法 3：（极化恒等式）ACAB161004194122BCA

3、M 2 2.（2011 年上海高考 11 题）在正ABC中，D是BC上的点，3AB，1BD，则 ADAB 解法 1：（基底法）)3132(ACABABADAB ACABAB31322215213331932 解法 2：（基底法）)(BABDBAADAB 215921132BABDBA 解法 3：（坐标法）以BC的中点O为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，则)0,23(B,)233,0(),0,21(AD，所以)233,21(),233,23(ADAB 所以21542743 ADAB 解法 4：（转化为其它向量的数量积）取BC的中点E，则BDAE 所以 ADABEDEBAEEBEDAEAEED

4、AEEBAE2)()(2152123)233(22EDEBAE 解法 5：（极化恒等式）取BD的中点M，则由极化恒等式知 215411)233(412222BDAMADAB 3.（2016 年江苏高考 13 题）在ABC中，D是BC上的点，FE,是AD上两个三等分点，4CABA，1CFBF，则CEBE 解法 1：（基底法）设bACaAB,，则4baACABCABA )32()32()()(ACADABADACAFABAFCFBF1)22(91)3231()3231()3131()3131(22bababaabbbaaba 联立得229,2 ba 所以)(61)(61)()(bbaabaACAE

5、ABAECEBE 87)5526(36122baba 3 解法 2：（基底法）设aDFbBD,，则 49)3()3()()(22bababaDCDADBDACABA 1)()()()(22bababaDCDFDBDFCFBF 联立得813,852ba 所以874)2()2()()(22bababaDCDEDBDECEBE 解法3：（坐标法）以BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设)0,(aB，),(),2,2(),3,3(),0,(yxFyxEyxAaC，则 4)(9)3,3()3,3(222ayxyaxyaxCABA 4)(),(),(222ayxyaxyaxCFBF 联立

6、得813,85222ayx 所以813)(4)2,2()2,2(222ayxyaxyaxCEBE 解法 4：（极化恒等式）设aFDEFAE，则 4419412222BCaBCADACABCABA 141412222BCaBCFDFCFBCFBF 联立得81341,8522BCa 所以CEBE87813820414412222BCaBCEDECEB 4.若AB是圆O的直径，M是圆O的弦CD上的一个动点，8AB，6CD，则MBMA的取值范围为 解法 1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(BA，设),(yxM，则由OCOMOG知16722yx 所以0,91622yxMBMA 解法 2：（极化恒等式

7、）1641222MOBCMOMBMA 又OCOMOG，即4,7OM，所以0,9MBMA 4 5.已知正ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上一动点，延长AE交圆O与点F，则FBFA的取值范围为 解法 1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(BA，设2,6),sin2,cos2(F，所以 6,0sin42)sin21,cos23()sin21,cos23(FBFA 解法 2：（极化恒等式）341222FDBCFDFBFA 因为CDFDBD，即 3,3FD，所以FBFA6,0 6.如图，放置的边长为 1 的正方形ABCD，顶点DA,分别在x轴，y轴正半轴（含原点）滑动，则OCOB 的最大

8、值为 解法 1：（坐标法）设)90,0(0ODA，则)0,(sinA，)cos,0(D，)sincos,(cos),sin,cos(sinCB 所以22sin1)cos(sincoscos)cos(sinOCOB 当且仅当045时等号成立，所以OCOB 的最大值为2 解法 2：（极化恒等式）取ADBC,的中点NM,，则 4141222OMBCOMOCOB，又23121MNONOM 所以241)23(2OCOB，即OCOB 的最大值为2 7.（2012 年南京模拟）在ABC中，点FE,分别为线段ACAB,的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为 2，则2BCPCPB的最小值是 解析：（极化恒等

9、式）由题意知4221hBChBCSABC 2222224341BCPOBCBCPOBCPCPB 322343)2(22hBCBCh 5 8.（2012 年安徽高考题）平面向量ba,满足32ba，则ba的最小值为 解法 1：222249494432bababababa 由基本不等式得894449422bababababa，当且仅当略 所以ba的最小值为89 解法 2：（极化恒等式）92812281)2(21222bababababa 89)90(81，当且仅当3202baba即ba,反向共线且43a时等号成立，所以ba的最小值为89 巩固练习：1.（2007 年天津高考 15 题）在ABC中，2

10、AB，3AC，D是边BC的中点，则BCAD 解析：BCAD25)49(21)(21)(222ABACABACACAB 2.已知正ABC内接于半径为 2 的圆O，点P是圆O上的动点，则PBPA的取值范围为 解析：过点C作ABCD 于点D，则点D为AB的中点，32BCACAB，PBPA341222PDABPD 因为31 PD，所以PBPA6,2 3.设正方形ABCD的边长为 4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上（如图所示），则PCPD的取值范围为 解析：取CD的中点E，则441222PECDPEPCPD 因为522 PE，所以160 PCPD 4.（2015 年南通三调）如图，已知正方形ABCD

11、的边长为 2，E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径作圆交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PDPC 的最小值为 6 解法 1：（坐标法）解法 2：（极化恒等式）取CD的中点G，则141222PGCDPGPDPC 又215PG，所以PDPC 3,525，所以PDPC 的最小值为525 5.已知AB是圆O的直径，2AB，C是圆O上异于，点BA,的一点，P是圆O所在的平面上任意一点，则PCPBPA)(的最小值为 解析：取OC的中点D，则21212)41(22)(222PDOCPDPCPOPCPBPA 6.（2017 年南通二模）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且3OA，5OC，若

12、7 ADAB，则DCBC 解析：16417419412222BDBDBDAOADAB 916254122BDCOCDCBDCBC 7.如图，在ABC中，已知4AB，6AC，060BAC，点ED,分别在边ACAB,上，且ADAB2，AEAC3，若F为DE的中点，则DEBF 的值为 解法 1：（极化恒等式）取BD的中点N，连接EBNF,，则AEBE，所以32BE 因为NF是DBE的中位线，所以3FN 4)1(2)41(22222FNDBFNFDFBDEBF 解法 2：（基底法）略 解法 3：（坐标法）略 备选题：1.（2008 年浙江高考 9 题）已知ba,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0

13、)()(cbca，则c的最大值为（）A.1 B.2 C.2 D.22 解法 1：（代数法）cbacbacbaccbca)(0)()()(22 所以2cos2cos2ccbac，故选 C 解法 2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(yxOCcba，则)1,(),1(yxcbyxca 7 所以21)21()21(0)1()1()()(22yxyyxxcbca 所以点C在以点)21,21(为圆心，22为半径的圆上，所以c2 解法 3：（几何法）设baODcOCbOBaOA,，则2baOD 所以0)()(cbcaCBCACBCAOCOBOCOA00)()(所以点C在以AB为直径的圆上，所以c的

14、最大值为2 2.（2013 年浙江高考 7 题）设点0P是ABC的边AB上一定点，满足ABBP410，且对于AB上任一点P，恒有CPBPPCPB00，则（）A.090ABC B.090BAC C.ACAB D.BCAC 解析：取BC的中点M，则22022004141BCMPBCPMCPBPPCPB 所以MPPM0，所以ABMP 0，所以BCAC，故选 D 3.在平面直角坐标系xOy中，BA,分别在yx,正半轴上移动，2AB，若点P满足2PBPA，则OP的取值范围为 解析 1：（坐标法）设),0(),0,(bBaA，),(yxP，则422ba 2),(),(22byaxyxbyxyaxBPAPP

15、BPAbyaxyx222 324324)(4)()()2(222222222222yxyxyxbabyaxyx 13,1322yxOP 解析 2：（极化恒等式）取AB的中点Q，则121ABOQ 2141222PQABPQPBPA3PQ，1313PQOQPQOQOPPQOQ 4.梯形ABCD中，满足AD/BC，1AD，3BC，2DCAB，则BDAC 解析：取BC的两个三等分点FE,，G在CB的延长线上，且1 ADBG，则 321412222AEAEBFAEAFABDCAB 8 BDAC1)43()41(22GCAEAGAC 5.（2016 年南京三模）在半径为 1 的扇形AOB中，060AOB，

16、C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则BPOP 的最小值为 解析：取OB的中点D，则 41)43(41412222PDOBPDPBPOBPOP161 6.在等腰直角ABC中，1 ACAB，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则)()(AMACAMAE的取值范围为 解析：取CE中点D，则42343，MD 11678141)()(222，MDCEMDMCMEAMACAMAE 7.已知BA,是圆O：122 yx上的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，2APAPAO的最大值为 解析：当AOB的面积最大时，OBOA，所以POPAPOAPAPAOAPAPAPAO)(2 取OA的中点，则 222241)41(PMOAPMPOPAAPAPAO81)42(412