线性代数二次型331.pdf

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1、第五章 1 二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 1 定义：含有n个变量的二次齐次函数：2221211 122 2(,)nnn nf x xxa xa xa x 12 1 213 1 3(1)1222nn nna x xa x xaxx 称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令ijjiaa，则二次型为：21211 112 1 211(,)nnnf x xxa xa x xa x x 221 2 122 222nna x xa xax x 21122nnnnnn na x xax xa x ,1nij iji ja x x 令111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，12nxxxx

2、，则 12(,)Tnf x xxx Ax，且A为对称矩阵。由于对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，()R A也称为二次型f的秩。例 1 设 31322123222132197532),(xxxxxxxxxxxxf.试求二次型矩阵A.解 111a,222a,333a,252112 aa,273223 aa,293113 aa.于是得 327292722529251A，1123235912257(,)22297322xfx x xxx 例 2 已知三阶矩阵A和向量X,其中 233110321A,321xxxX.求二次型AXX的矩阵.

3、解 由于A不是对称矩阵,故A不是二次型AXX的矩阵.因为 321321233110321),(xxxxxxAXX 3231212322214622xxxxxxxxx,故此二次型的矩阵为 223211311.二、线性变换 1 标准形 定义：形如2222211nnxdxdxd的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。2 线性变换.定义：关系式111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy称为由变量12,nx xx到变量12,ny yy的一个线性变量替换，简称线性变换。矩阵111212122212nnnnnnccccc

4、cCccc称为线性变换的矩阵。记 12nxxxx，12nyyyy，则线性变换可用矩阵形式表示为：xCy 若0C，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。12(,)()()TTTTTnCyA Cyy Cf x xACxyyx AxBy，其中TBC AC，而()TTTTBC ACC ACB 若线性变换是非退化的，便有：1yCx 三、矩阵的合同 1 定义：设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得TC ACB，则称矩阵A与B合同。容易知道：二次型()Tf xx Ax的矩阵A与经过非退化线性变换xCy得到的矩阵TC AC是合同的。2 合同的性质.反

5、身性：任一方阵A都与它自己合同 对称性：如果方阵A与B合同，那么B也与A合同 传递性：如果方阵A与B合同，B与C合同，那么A与C合同 3 定理：若矩阵A与B合同，则A与B等价，且()()R AR B。4 定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵C，使得TC AC 。化二次型为标准形 一、正交变换法 定理：任给二次型12(,)Tnf x xxx Ax，总有正交变换xCy使f化为标准形：2221 12 2n nfxxx（其中12,n 是对称矩阵A的特征根）例：求一个 正交 变换xPy，化二 次型2221231 21 32 322448fxx

6、xx xx xx x为标准形。解：二次型的矩阵为：122224242A .由0AE，求得A的特征根为：17，232，特征根17 对应的特征向量为：1122；特征根232对应的特征向量为：23221,001 显然1与23,都正交，但23与不正交。正交化：取22210，2322(,)332(,)25451 再将123,单位化，得 1231221112,1,4353 5205ppp .于是正交线性变换为：22153 511321422353 52335330 xyxyxy 使原二次型化为：222123722fyyy 注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法 对任意一个二次

7、型12(,)Tnf x xxx Ax，也可用配方法找到满秩变换xCy，化二次型f为标准形。1 二次型中含有平方项 例：化二次型2221231231 21 32 3(,)23444f x xxxxxx xx xx x为标准形，并求出所用的变换矩阵。解 22212312312323(,)4()4()4()f x xxxxx xxxxx22222 3332(2)5xx xxx 222212323233(22)4()2()5xxxxxxxx 222123233(22)2()5xxxxxx 令 11232233322yxxxyxxyx，即112233122011001yxyxyx.令1122011001

8、C，则120011001C，所求的满秩变换为xCy，即112233120011001xyxyxy，则原二次型Tfx Ax化为标准形：22212325fyyy 2 二次型中不含平方项 例：用配方法化二次型1231 21 32 3(,)f x xxx xx xx x为标准形，并求出所用的满秩线性变换。解：令11221233xyyxyyxy，则原二次型化为：22121 32fyyy y 再按前例的方法有：22121 32fyyy y 222211 33322yy yyyy 2221323()yyyy 令1132233zyyzyzy，则原二次型化为：222123fzzz 其中的满秩变换为两变换的合成，

9、即：.由第一次变换11221233xyyxyyxy得：112233110110001xyxyxy 由第二次变换1132233zyyzyzy得：112233101010001yzyzyz 所以有合成的满秩变换为：111222333110110101110110010001001001xyzxyzxyz 即 112233111111001xzxzxz 三、初等变换法 由于任一二次型()TTfx Ax AA都可以找到满秩线性变换xCy将其化为标准形，即存在可逆矩阵C，使TC AC为对角阵；由于C可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵12,sP PP，使1 2sCPPP。则21TTTTsC

10、PP P，所以 211 2TTTTssC ACPP P APPP .1 21 2ssCPPPEPPP 表示对实对称矩阵A施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将A化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为C 例：用初等变换法化二次型2221231 21 32 322448fxxxx xx xx x为标准形，并求出相应的满秩线性变换。解：二次型f的矩阵：122224242A 2323122102224042242222100100010010001011rrccAE 323131321()(2)21(2)()2100100040042007026102102101010201110

11、12rrrrcccc ，所以10210121012C，原二次型化为22212347fyyy.惯性定理和二次型的正定性 一、惯性定理和规范形 在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式：222221 12 211pppprrfd xd xd xdxd x 再令线性变换：1(1,2,)(1,2,)iiidjjxyirxyjrrn，则原二次型化为：22222121pprfyyyyy 定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，负项个数rp 称为二次型的负惯性指标，r是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的

12、非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型Tfx Ax都可以经过满秩变换xCy化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵A，都存在满秩矩阵C，使111100TC AC，称为A的（合同）规范形。定理：实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。.矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)两个实对称矩阵合同的充要条件 有相同的秩,有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性 1、正(负)定二次型的概念 定义：设实二次型12()(,)Tnf xf x xxx

13、Ax，若对任意不全为零的实数12,(0)nx xxx 即，总有()0(0)f x，则称f为正(负)定二次型，并称对称矩阵A为正(负)定矩阵，记作0(0)A。定义：若对任意不全为零的实数12,nx xx，总有()0(0)Tf xx Ax，则称实二次型为半正(负)定二次型，其矩阵A为半正(负)定矩阵。2、判定方法 定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）()Tf xx Ax是正定二次型（或 A 是正定矩阵）；（2）A的n个特征值全为正；（3）f的标准形的n个系数全为正；（4）f的正惯性指数为n；（5）A与单位矩阵E合同（或E为A的规范形）;(6)存在可逆矩阵P，使得TAP P;(7)A的

14、各阶顺序主子式均为正，即111111211212210,0,0nnnnaaaaaaaaa。定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）()Tf xx Ax是负定二次型（或 A 是负定矩阵）；.（2）A的n个特征值全为负；（3）f的标准形的n个系数全为负；（4）f的负惯性指数为n；（5）A与负单位矩阵E合同（或E为A的规范形）;(6)存在可逆矩阵P，使得TAP P;(7)A的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即1111(1)0(1,2,)rrrrraarnaa。1、判定实二次型22212311 21 322 33(,)22266f x xxxx xx xxx x

15、x是否正定。解：111123136A，因10，11012，11112310136A 所以实二次型f是正定的。2、设二次型2221231231 21 32 3(,)23224f x xxxxxtx xx xx x，试问t为何值时，该二次型是正定的？解：因二次型的矩阵为：1122123tAt，为使所给二次型正定，A的各阶顺序主子式应大于零，从而有：110d ，221202tdtt，.231122(34)0123tdttt，由2220340ttt 得：430t 所以当430t 时，所给实二次型是正定的 3、二次型2221231231 21 32 3(,)3222f x xxxxxx xx xx x，

16、则f的正惯性指数为？4、三阶的实对称矩阵A的特征值为121,23,则二次型 AXXxxxf),(321 的规范形为 分析 实对称矩阵A可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型AXXxf)(就化为标准形.解 由已知条件,二次型)(xf的标准形为2322212yyy,故其规范形为232221zzz.5、任何一个n阶满秩矩阵必定与n阶单位矩阵().)(A合同 )(B相似 )(C等价 )(D以上都不对 解 任一个n阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n阶单位矩阵,故n阶满秩矩阵都与n阶单位矩阵等价.只有单位矩阵与单位矩阵相似.只有正定矩阵与单位矩阵合同.6、设1 1 1 140001 1 1 10

17、000,1 1 1 100001 1 1 10000AB,则A与B（）(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.解 选(A).A为实对称矩阵且A的特征值为4,0,0,0.7、000010001011121112BA，则（）（A）A 与 B 即合同又相似（B）A 与 B 合同而不相似（C）A 与 B 不合同而相似（D）A 与 B 即不合同也不相似 解：（B）B 的特征值 1，1，0 11111133111AEBE ，特征值为3B，即 3，3，0 A 与 B 特征值不相同，但正、负性都一样。8、1221A，则在实数域上与 A 合同的是（）（A）2112 （B）

18、2112 （C）2112 （D）1221 解：（D）EA22221221，特征值为-1，3 E311112112，特征值为-3，-1.E311112112，特征值为 3，1 E11112112，特征值为 1，3 E322221221，特征值为 3，-1 9、已知实二次型222123123121323(,)()444f x xxa xxxx xx xx x经正交变换x=Py 可化标准型216fy，则_a 【详解】二次型 222123123121323(,)()444f x xxa xxxx xx xx x 所对应矩阵为222222aAaa 标准型216fy所对应矩阵为600000000B 根据题

19、设知 A，B 为相似矩阵，所以 A，B 的特征值相同，可见 A 的三个特征值为 6,0,0.而22222(4)(2)22aEAaaaa 可见46,20,aa故有2a 10、已知二次曲面方程4222222yzxzbxyzayx可以经过正交变换.Pzyx 化为椭圆柱面方程4422,求a,b的值.解 二次型f224的矩阵为 410A,原二次型的矩阵为 111111abbB.由题意,这两个矩阵相似.所以有)(tr)(trBA,即25 a,解得3a;再由BA,得1b.11、已知二次型 222123123121323(,)55266f x xxxxcxx xx xx x 的秩为 2.（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.（2）指出方程123(,)1f x xx表示何种曲面.解 (1)二次型的矩阵51315333Ac.由()23R Ac.又A的特征多项式(4)(9)AE,则A的特征值1230,4,9.(2)二次型在某一正交变换下的标准形222349fyy,则123(,)1f x xx表示.椭圆柱面.12、设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明:EA的行列式大于 1.证 设A的 特 征 值 为),2,1(nii,则EA的 特 征 值 为1i,2,1(i),n.因A是正定阵,所以),2,1(0nii,所以EA的特征值 11i,于是 1)1(1niiEA.