完全平方公式和平方差公式的应用473.pdf

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1、 完 全 平 方 公 式 和 平 方 差 公 式 的 应用(总 1 2 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-2 完全平方公式和平方差公式的应用 公式：语言叙述：两数的 。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的 a 和 b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中 是公式中的 a，是公式中的 b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的 a，是公式中的 b (x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)()=4x2-1 2、(-4x+)(-4x)=16x2-49y2 第一种情况：直接运用公式

2、1.（a+3）(a-3)2.(2a+3b)(2a-3b)3.(1+2c)(1-2c)4.(-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便 1、19982002 2、498502 3、9991001 4、5、6、（100-13）（99-23）7、（20-19）（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式 1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2

3、a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项 3 1.（a+2b+c）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式 公式：语言叙述：两数的 .。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的 a 和 b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。公式变形 1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)2 2、（a-b）2=(a+b)2 ;(a+b)2=(a-b)2 3、(a+b)2+（a-b）2=4、(a+b)2-（a-b）2=一、计算下列各题：1、2)(yx

4、2、2)23(yx 3、2)21(ba 4、2)12(t 5、2)313(cab 6、2)2332(yx 7、2)121(x 8、+2 二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 三、计算：（1）22)3(xx （2）22)(yxy（3）2()xyxyxy 四、计算：（1）)4)(1()3)(3(aaaa （2）22)1()1(xyxy （3）)4)(12(3)32(2aaa 五、计算：（1）)3)(3(baba （2）)2)(2(yxyx 4（3）)3)(3(baba（4）2323xyzxyz 六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4xkxx，求k 值。2、若kxx 22是完

5、全平方式，求 k 值。3、已知13aa，求221aa的值 巧用平方差公式解题 平方差公式 22)(bababa 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例 1、计算：22)111049()11150(解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a看作11150，将b看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍 22)111049()11150(=11200112100)11104911150)(11104911150(例 2、计算：1.1009.991002 解

6、析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99变形为)1.0100)(1.0100(，再运用平方差公式，则问题迅速获解 1.1009.991002=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222 例 3、计算：2200720052006222 解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522变形为)12007()12005(22，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解 原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222 5 212006200622006)20082004(200620

7、0620082006200420062006222 例 4、计算：)1011()411)(311)(211(2222 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解 原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(=20111011211011109454334322321 例 5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842的未位数 解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2 变形为（3-1）再连续运用

8、平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(643216842=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(6432168422=1)13)(13)(13)(13)(13)(13(643216844=1)13)(13(6464=3232412812881)3(3113 因为未位数是1 的任何次幂的未位数还是1 所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842未位数是 1 计算：（1）、1.109.9 （2）、2007200520062 （3）、229.91.10 （4）、试确定1

9、)12)(12)(12)(12)(12)(12)(12(643216842的未位数 完全平方公式的变形和应用 一、完全平方公式常见的变式（1）abbaba4)()(22（2）abbaba2)(222（3）)(2)()(2222bababa（4）)()(2222babaab 6（5）2)1(1222aaaa 二、完全平方公式变形的应用 例 1 已知216,8cabba，求2008)(cba的值。解：由变式（1）得：222224)16(484)()(ccabbaba 所以04)(22cba所以0,0cba 所以0)(2008cba 例2 已知2222,3)(,7)(yxyxyx求的值。解：由变式（

10、3）得：52372)()(2222yxyxyx 例3 已知,2,122yxyx求44yx 的值。解：由变式（4）得：)()(2222yxyxxy 212 1 所以21xy 再由变式（2）得：22222442)(yxyxyx 22)21(22 214 27 例4 已知0132 xx，求441xx 的值。解：由题意知0 x 在0132 xx的两边都乘以x1得：31xx 由变式（5）得：72)3(2)1(12222xxxx 47272)1(1222244xxxx 7 例 1 若,x y为有理数，且满足22312120 xyy，求xy的值 分析：欲求xy的值，须求出,x y的值由题知，把已知式子进行配

11、方，再利用非负数的性质便可达到解题目的 解：22312120 xyy，223(44)0 xyy，223(2)0 xy，220,(2)0 xy，220,(2)0 xy，即0,2xy，xy=20=1 例 2 已知2,5abbc，求222abcabbcac的值 分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,a b c的值，再代入多项式求值，将十分困难而我们发现，将求值式乘以 2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解 解：2,5abbc，3ac，222abcabbcac=2221(222222)2abcabbcac=222

12、12abbcac=22212532=19 例 3 试说明不论,x y为何值时,代数式224614xyxy的值总是正数.分析：本题实质就是证明2246140 xyxy.观察代数式不难发现，将 14 拆成 4、9 与1 的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的 解:224614xyxy=224469 1xxyy=22(2)(3)1xy2(2)x0,2(3)y0,22(2)(3)1xy0.即代数式224614xyxy的值总是正数.平方差公式专项练习题 A 卷：基础题 8 一、选择题 1平方差公式（a+b）（ab）=a2b2中字母 a，b 表示（）A只能是数 B只能是单项式

13、 C只能是多项式 D以上都可以 2下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A（a+b）（b+a）B（a+b）（ab）C（13a+b）（b13a）D（a2b）（b2+a）3下列计算中，错误的有（）（3a+4）（3a4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（xy）（x+y）=x2y2 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4若 x2y2=30，且 xy=5，则 x+y 的值是（）A5 B6 C6 D5 二、填空题 5（2x+y）（2xy）=_ 6（3x2+2y2）（_）=9x44y4 7（a+b1）（ab+1）=（_）2（

14、_）2 8两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_ 三、计算题 9利用平方差公式计算：20232113 10计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a2）B 卷：提高题 一、七彩题 1（多题思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）（32008+1）401632 2（一题多变题）利用平方差公式计算：20092007 20082 （1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006 （2）二变：利用平方差公式计算：220072008

15、20061 二、知识交叉题 3（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x1）=5（x2+3）9 三、实际应用题 4广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短 3 米，东西方向要加长 3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少 四、经典中考题 5下列运算正确的是（）Aa3+a3=3a6 B（a）3（a）5=a8 C（2a2b）4a=24a6b3 D（13a4b）（13a4b）=16b219a2 6计算：（a+1）（a1）=_ C 卷：课标新型题 1（规律探究题）已知 x1，计算（1+x）（1x）=1x2，（1x）（1+x+x2）=1x3，（1x）（1+x+x2

16、+x3）=1x4 （1）观察以上各式并猜想：（1x）（1+x+x2+xn）=_（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：（12）（1+2+22+23+24+25）=_ 2+22+23+2n=_（n 为正整数）（x1）（x99+x98+x97+x2+x+1）=_ （3）通过以上规律请你进行下面的探索：（ab）（a+b）=_ （ab）（a2+ab+b2）=_（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=_ 2（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母 m，n 和数字 4 3.从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图171 所示

17、，然后拼成一个平行四边形，如图172 所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式请将结果与同伴交流一下 完全平方公式变形的应用 完全平方式常见的变形有:abbaba2)(222 abbaba2)(222 abbaba4)(22）（bcacabcbacba222)(2222 1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值 2、已知0136422yxyx，yx、都是有理数，求yx的值。3已知 2()16,4,abab求223ab与2()ab的值。练一练 A 组：1已知()5,3abab求2()ab与223()ab的值。10 2已知6,4abab求ab与22ab的值。3

18、、已知224,4abab求22a b与2()ab的值。4、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab 的值 B 组：5已知6,4abab，求22223a ba bab的值。6已知222450 xyxy，求21(1)2xxy的值。7已知16xx，求221xx的值。8、0132 xx，求（1）221xx（2）441xx 9、试说明不论 x,y 取何值，代数式226415xyxy的值总是正数。C 组:10、已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a,b,c 满足等式22223()()abcabc，请说明该三角形是什么三角形 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的

19、除法(B 卷)一、请准确填空 1、若a2+b22a+2b+2=0,则a2004+b2005=_.2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a3b),则长方形的面积为_.3、5(ab)2的最大值是_，当 5(ab)2取最大值时，a与b的关系是_.4.要使式子+41y2成为一个完全平方式，则应加上_.5.(4am+16am)2am1=_.31(302+1)=_.7.已知x25x+1=0,则x2+21x=_.8.已知(2005a)(2003a)=1000,请你猜想(2005a)2+(2003a)2=_.二、相信你的选择 9.若x2xm=(xm)(x+1)且x0,则m等于 A.1 10.(x+q)与

20、(x+51)的积不含x的一次项，猜测q应是 B.51 C.51 D.5 11.下列四个算式:4x2y441xy=xy3;16a6b4c8a3b2=2a2b2c;9x8y23x3y=3x5y;(12m3+8m24m)11(2m)=6m2+4m+2，其中正确的有 个 个 个 个 12.设(xm1yn+2)(x5my2)=x5y3,则mn的值为 B.1 D.3 13.计算(a2b2)(a2+b2)2等于 2a2b2+b4 +2a4b4+b6 2a4b4+b6 2a4b4+b8 14.已知(a+b)2=11,ab=2,则(ab)2的值是 15.若x27xy+M是一个完全平方式，那么M是 27 249

21、449 16.若x,y互为不等于 0 的相反数，n为正整数,你认为正确的是、yn一定是互为相反数 B.(x1)n、(y1)n一定是互为相反数、y2n一定是互为相反数 1、y2n1一定相等 三、考查你的基本功 17.计算(1)(a2b+3c)2(a+2b3c)2;(2)ab(3b)2a(b21b2)(3a2b3);(3)2100(1)2005(1)5;(4)(x+2y)(x2y)+4(xy)26x6x.18.(6 分)解方程 x(9x5)(3x1)(3x+1)=5.四、生活中的数学 19.(6 分)如果运载人造星球的火箭的速度超过 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为

22、绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为 106 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍 五、探究拓展与应用 20.计算.(2+1)(22+1)(24+1)=(21)(2+1)(22+1)(24+1)=(221)(22+1)(24+1)=(241)(24+1)=(281).根据上式的计算方法，请计算 12(3+1)(32+1)(34+1)(332+1)2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解

23、，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式532 xx的值为 7 时,求代数式2932 xx的值.2、已知2083xa，1883xb，1683xc，求：代数式bcacabcba222的值。3、已知4 yx，1xy，求代数式)1)(1(22yx的值 4、已知2x时，代数式10835cxbxax，求当2x时，代数式 835cxbxax 的值 5、若123456786123456789 M，123456787123456788 N 试比较 M 与 N 的大小 6、已知012 aa，求2007223 aa的值.平方差公式基础题 一、选择题 1.下列多项式乘法，能

24、用平方差公式进行计算的是()A.(x+y)(xy)B.(2x+3y)(2x3z)C.(ab)(ab)D.(mn)(nm)2.下列计算正确的是()A.(2x+3)(2x3)=2x29 B.(x+4)(x4)=x24 C.(5+x)(x6)=x230 D.(1+4b)(14b)=116b2 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是()13 A.(ab)(b+a)B.(xy+z)(xyz)C.(2ab)(2a+b)D.y)(y 4.(4x25y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算()A.4x25y B.4x2+5y C.(4x25y)2 D.(4x+5y)2 +(1a)(1+a)(1

25、+a2)的计算结果是()A.1 1 2a4 C.(xy)(x+25y)D.(x5y)(5yx)平方差公式提高题 一、选择题:1.下列式中能用平方差公式计算的有()(x-12y)(x+12y),(3a-bc)(-bc-3a),(3-x+y)(3+x+y),(100+1)(100-1)个 个 个 个 2.下列式中,运算正确的是()222(2)4aa,2111(1)(1)1339xxx,235(1)(1)(1)mmm,232482abab.A.B.C.D.3.乘法等式中的字母 a、b 表示()A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、多项式都可以 二、解答题 4.计算(a+1)(a-1)(2a+1)(4a+1)(8a+1).计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222.5.计算:22222110099989721.6.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x(2x)2,其中 x=-1.(2)解方程 5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+13)=2.7.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100