试卷2009年高中段自主招生科学素养模拟卷数学部分517.pdf

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1、第 1 页 2009 年高中段自主招生科学素养模拟卷（数学部分）一、选择题（共 9 小题，每小题 6 分，满分 54 分）1（6 分）（2006平凉）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车在此案中，能肯定的作案对象是（）A嫌疑犯乙 B嫌疑犯丙 C嫌疑犯甲 D嫌疑犯甲与丙 2（6 分）（2007茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度（罐壁的厚度与小圆孔的大小忽略不计）范

2、围是（）A12a13 B12a15 C5a12 D5a13 3（6 分）（2011长沙校级自主招生）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条 b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）Aab Bab Ca=b D及 a 与 b 的大小无关 4（6 分）（2012桃源县校级自主招生）如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点第 2 页 依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边（）AAB 上 BBC 上 CCD 上 DDA

3、 上 5（6 分）（2012宁夏）如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊 A（羊只能在草地上活动），那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是（）Am2 Bm2 Cm2 Dm2 6（6 分）（2009漳州自主招生）若关于 x 的不等式组有解，则函数 y=（a3）x2x 图象及 x 轴的交点个数为（）A0 B1 C2 D1 或 2 7（6 分）（2007金昌）如图是公园的路线图，O1，O2，O两两相切，点 A，B，O 分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点 A 出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶若不考虑其他因素，结果先回

4、到出发点的人是（）A甲 B乙 C甲乙同时 D无法判定 8（6 分）（2005淮安）一名考生步行前往考场，10 分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程及时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A20 分钟 B22 分钟 C24 分钟 D26 分钟 第 3 页 9（6 分）（2007海南）自然数 4，5，5，x，y 从小到大排列后，其中位数为 4，如果这组数据唯一的众数是 5，那么，所有满足条件的 x，y 中，x+y 的最大值是（）A3 B4 C5 D6 二、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）10（8 分

5、）（2009漳州自主招生）如图，DE 是ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交 AB 于 N，那么 SDMN：S四边形ANME=11（8 分）（2013福建校级自主招生）若关于x 的分式方程在实数范围内无解，则实数 a=12（8 分）（2005淮安）函数 y=的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线 y=x+1 沿 y 轴向上平移 2 个单位后，那么所得直线及函数 y=的图象的交点共有 个 13（8 分）（2009漳州自主招生）如图所示，已知 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，D、E、F 分别是三边 AB、BC、AC 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为

6、 14（8 分）（2008毕节地区）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=1，BC=3，CD=4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高，则下列结论正确的有 （填序号之间不用符号，如）四边形 EHCF 为菱形；BCD=60；SBEH=SCEH；以 AB为直径的圆及 CD 相切于点 F 第 4 页 三、解答题（共 3 小题，满分 42 分）15（12 分）（2007梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送 1 名带队教师及 7 名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐 4 人（不包括司机）其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有

7、42 分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是 60km/h，人步行的速度是 5km/h（上、下车时间忽略不计）（1）若小汽车送 4 人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的教师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性 17（14 分）（2006常德）把两块全等的直角三角形ABC 与 DEF叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角顶点 D 及三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4，把三角板 ABC

8、固定不动，让三角板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE及射线 AB 相交于点 P，射线 DF 及线段 BC 相交于点 Q（1）如图 1，当射线 DF 经过点 B，即点 Q 及点 B 重合时，易证APDCDQ此时，APCQ=；（2）将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中 090，问 APCQ 的值是否改变？说明你的理由；第 5 页（3）在（2）的条件下，设 CQ=x，两块三角板重叠面积为 y，求y 及 x 的函数关系式（图 2，图 3 供解题用）18（16 分）（2007威海）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（1，2），点 B 的坐标为（

9、3，1），二次函数 y=x2的图象记为抛物线 l1（1）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过点 A，但不过点 B，满足此条件的函数表达式有 个；写出向下平移且经过点 A 的表达式 ；（2）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过 A，B 两点，记为抛物线 l2，如图 2，求抛物线 l2的函数表达式及定点 C 的坐标，并求ABC 的面积；（3）在 y 轴上是否存在点 P，使 SABP=SABC？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 2009 年高中段自主招生科学素养模拟卷（数学部分）参考答案及试题解析 一、选择题（共 9 小题，每小题 6 分，满分 54 分）1（6 分）（2006平凉）某

10、超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车在此案中，能肯定的作案对象是（）A嫌疑犯乙 B嫌疑犯丙 C嫌疑犯甲 D嫌疑犯甲与丙 第 6 页【解答】解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯；根据（1）可知：嫌疑犯必在甲与丙之间；由（2）知：若丙作案，则甲必作案；由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯 故选：C 2（6 分）（2007茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12

11、，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分 a 的长度（罐壁的厚度与小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A12a13 B12a15 C5a12 D5a13【解答】解：a 的最小长度显然是圆柱的高 12，最大长度根据勾股定理，得：=13 即 a 的取值范围是 12a13 故选：A 3（6 分）（2011长沙校级自主招生）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条 b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）Aab Bab Ca=b D及 a 与 b 的大小无关 第 7 页【解答】解：利润=总售价总成本=5（3a+2b）

12、=0.5b0.5a，赔钱了说明利润0 0.5b0.5a0，ab 故选 A 4（6 分）（2012桃源县校级自主招生）如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边（）AAB 上 BBC 上 CCD 上 DDA 上【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4 倍，故第 1 次相遇，甲走了正方形周长的 =；从第 2 次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第 2 次相遇起，5 次一个循环 因此可得：从第 2 次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点 C

13、，CB，BA，AD；依次循环 故它们第 2000 次相遇位置及第五次相同，在边 AB 上 故选 A 5（6 分）（2012宁夏）如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊 A（羊只能在草地上活动），那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是（）Am2 Bm2 Cm2 Dm2 第 8 页【解答】解：大扇形的圆心角是90 度，半径是 5，所以面积=m2；小扇形的圆心角是 180120=60，半径是 1m，则面积=（m2），则小羊 A 在草地上的最大活动区域面积=+=（m2）故选 D 6（6 分）（2009漳州自主招生）若关于 x 的不等式组有解，则函数 y=

14、（a3）x2x 图象及 x 轴的交点个数为（）A0 B1 C2 D1 或 2【解答】解：关于 x 的不等式组有解，3a2a+2，即 a2，令 y=0，（a3）x2x=0，=（1）24（a3）（）=a2，a2，a20，函数图象及 x 轴的交点个数为 2 当 a=3 时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选 D 7（6 分）（2007金昌）如图是公园的路线图，O1，O2，O两两相切，点 A，B，O 分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点 A 出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8第 9 页 字型”线路行驶若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（）A甲 B乙 C甲乙同时 D无法判定【

15、解答】解：设O1的半径是 r，则O2的半径是 r，O 的半径是 2r 则延“8 字型”线路行驶时：路线长是 4r 同样按“圆”形线行驶的路线长 4r因而两人同时到达 故选 C 8（6 分）（2005淮安）一名考生步行前往考场，10 分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程及时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A20 分钟 B22 分钟 C24 分钟 D26 分钟【解答】解：他改乘出租车赶往考场的速度是 2=，所以到考场的时间是 10+=16 分钟，10 分钟走了总路程的，步行的速度=10=，步行到达考场的时间是 1=4

16、0，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 4016=24 分钟 故选 C 9（6 分）（2007海南）自然数 4，5，5，x，y 从小到大排列后，其中位数为 4，如果这组数据唯一的众数是 5，那么，所有满足条件的 x，y 中，x+y 的最大值是（）第 10 页 A3 B4 C5 D6【解答】解：唯一的众数是 5，中位数为 4，故 x，y 不相等且 x4，y4 x、y 的取值为 0，1，2，3，则 x+y 的最大值为 2+3=5 故选 C 二、填空题（共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）10（8 分）（2009漳州自主招生）如图，DE 是ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM

17、的延长线交 AB 于 N，那么 SDMN：S四边形 ANME=1：5 【解答】解：DE 是中位线，M 是 DE 中点，DM：BC=1：4，DN：DB=1：3，AN：DN=1：2，SNDM：SANM=1：2 SADM=SAME，SNDM：S四边形 ANME=1：5 11（8 分）（2013福建校级自主招生）若关于x 的分式方程在实数范围内无解，则实数 a=1 【解答】解：原方程化为整式方程得：1x3=a，整理得 x=2a，因为无解，所以 x+3=0，即 x=3，所以 a=2+3=1 第 11 页 12（8 分）（2005淮安）函数 y=的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线 y=x+1

18、沿 y 轴向上平移 2 个单位后，那么所得直线及函数 y=的图象的交点共有 2 个【解答】解：y=x+1 的 k=1，b=1，向上平移 2 个单位后，新直线的 k=1，b=1+2=3 新直线的解析式为：y=x+3 有交点，则，解得或 那么所得直线及函数 y=的图象的交点共有 2 个 故答案为：2 13（8 分）（2009漳州自主招生）如图所示，已知 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，D、E、F 分别是三边 AB、BC、AC 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为 【解答】解：如图，由勾股定理知，AC=5，作出ABC 关于 AB 对称的ABG，ABC 关于 AC 对称的ACH，则点

19、 E 关于 AB 的对称点为 S，关于 AC 的对称点为 W，当 S，D，F，W 在同一直线上，且点 S 及点 E 重合在点 B，点 W 在点 H 时，DE+EF+FD 有最小值，根 据三角形的面积公式可求得 AC 边上的高为，故 DE+EF+FD 的最小值=2=第 12 页 14（8 分）（2008毕节地区）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=1，BC=3，CD=4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高，则下列结论正确的有 （填序号之间不用符号，如）四边形 EHCF 为菱形；BCD=60；SBEH=SCEH；以 AB为直径的圆及 CD 相切于点 F【解答】解：正确 E

20、F=2，BH=AD=1 CH=2 即四边形 EFCH 是平行四边形 CF=2=EF 四边形 EHCF 为菱形；正确，在直角三角形 CDH 中，CH=2，CD=4，则CDH=30，BCD=60；正确，因为 BH=CH，所以 SBEH=SCEH；不正确，根据以上的证明只能得出以 AB 为直径的圆及 CD 相切于点 G，而不切于点 F，因为 EF=2，而圆的半径为根号 3，所以以 AB 为直径的圆不可能及点 F 相切 不正确，以 AB 为直径的圆 圆心是 E，半径是 AB 的一半 第 13 页 作 EGCD 于 G ECG=30 CE=2EG 在直角三角形 BCE 中，BCE=30 CE=2BE=A

21、B AB=2EG 以 AB 为直径的圆及 CD 相切于点 F；故答案为：三、解答题（共 3 小题，满分 42 分）15（12 分）（2007梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送 1 名带队教师及 7 名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐 4 人（不包括司机）其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有 42 分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是 60km/h，人步行的速度是 5km/h（上、下车时间忽略不计）（1）若小汽车送 4 人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到

22、达考场；（2）假如你是带队的教师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性【解答】解：（1）（分钟），4542，第 14 页 不能在限定时间内到达考场（2）方案 1：先将 4 人用车送到考场，另外 4 人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到及另外 4 人的相遇处再载他们到考场 先将 4 人用车送到考场所需时间为（分钟）0.25 小时另外 4 人步行了 1.25km，此时他们及考场的距离为 151.25=13.75（km），设汽车返回 t（h）后先步行的 4 人相遇，5t+60t=13.75，解得 汽车由相遇点再去考场所需时间也是 所以用这一方案送这

23、 8 人到考场共需 所以这 8 个人能在截止进考场的时刻前赶到 方案 2，8 人同时出发，4 人步行，先将 4 人用车送到离出发点xkm 的 A 处，然后这 4 个人步行前往考场，车回去接应后面的 4人，使他们跟前面 4 人同时到达考场，由 A 处步行前考场需，汽车从出发点到 A 处需先步行的 4 人走了，设汽车返回 t（h）后及先步行的 4 人相遇，则有，解得，所以相遇点及考场的距离为：由相遇点坐车到考场需：第 15 页 所以先步行的 4 人到考场的总时间为：，先坐车的 4 人到考场的总时间为：，他们同时到达则有：，解得 x=13 将 x=13 代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：（分钟）

24、3742，他们能在截止进考场的时刻前到达考场 17（14 分）（2006常德）把两块全等的直角三角形ABC 与 DEF叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角顶点 D 及三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4，把三角板 ABC 固定不动，让三角板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE及射线 AB 相交于点 P，射线 DF 及线段 BC 相交于点 Q（1）如图 1，当射线 DF 经过点 B，即点 Q 及点 B 重合时，易证APDCDQ此时，APCQ=8；（2）将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中 09

25、0，问 APCQ 的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设 CQ=x，两块三角板重叠面积为 y，求y 及 x 的函数关系式（图 2，图 3 供解题用）【解答】解：（1）A=C=45，APD=QDC=90，APDCDQ 第 16 页 AP：CD=AD：CQ 即 APCQ=ADCD，AB=BC=4，斜边中点为 O，AP=PD=2，APCQ=24=8；故答案为：8（2）APCQ 的值不会改变 理由如下：在APD 及CDQ 中，A=C=45，APD=18045（45+）=90，CDQ=90，APD=CDQ APDCDQ APCQ=ADCD=AD2=（AC）2=8（3）情形 1：当 045

26、时，2CQ4，即 2x4，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过 D 作 DGAP 于 G，DNBC 于 N，DG=DN=2 由（2）知：APCQ=8 得 AP=于是 y=ABBC CQDN APDG=8x（2x4）第 17 页 情形 2：当 4590时，0CQ2 时，即 0 x2，此时两三角板重叠部分为DMQ，由于 AP=，PB=4，易证：PBMDNM，即解得 MQ=4BMCQ=4x 于是 y=MQDN=4x（0 x2）综上所述，当 2x4 时，y=8x 当 0 x2 时，y=4x（或 y=）18（16 分）（2007威海）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（1，2），点 B 的

27、坐标为（3，1），二次函数 y=x2的图象记为抛物线 l1（1）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过点 A，但不过点 B，满足此条件的函数表达式有 个；写出向下平移且经过点 A 的表达式 ；（2）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过 A，B 两点，记为抛物线 l2，如图 2，求抛物线 l2的函数表达式及定点 C 的坐标，并求ABC 的面积；（3）在 y 轴上是否存在点 P，使 SABP=SABC？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）有多种答案，符合条件即可 例如 y=x2+1，y=x2+x，y=（x1）2+2 或 y=x22x+3，y=（x+1）2，y=（x1）2

28、第 18 页（2）设抛物线 l2的函数表达式为 y=x2+bx+c，点 A（1，2），B（3，1）在抛物线 l2上，解得，抛物线 l2的函数表达式为 y=x2 x+（3）y=x2 x+=（x）2+，C 点的坐标为（，）过 A，B，C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D，E，F，则 AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，EF=SABC=S梯形 ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB=（2+1）2（2+）（1+）=延长 BA 交 y 轴于点 G，设直线 AB 的函数表达式为 y=mx+n，点 A（1，2），B（3，1）在直线 AB 上，解得，直线 AB 的函数表达式为 y=x+G

29、点的坐标为（0，）设 K 点坐标为（0，h），分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则 KG=h 连接 AK，BK SABK=SBKGSAKG=3（h）1（h）=h SABK=SABC=，第 19 页 h=，解得 h=K 点的坐标为（0，）若 K 点位于 G 点的下方，则 KG=h 同理可得，h=K 点的坐标为（0，）（4）作图痕迹如图所示 以 A 为圆心，AB 为半径作弧可交抛物线 l2于一点；以 B 为圆心，AB 为半径坐标交抛物线于另一点；作线段 AB 的垂直平分线可交抛物线于两点，因此共有4 个符合条件的 P 点 参及本试卷答题与审题的教师有：MMCH；心若在；lanyan；zhjh；lanchong；ln_86；自由人；开心；Liuzhx；CJX；kuaile；hnaylzhyk；蓝月梦；zxw；hbxglhl；郝教师；wdxwwzy（排名不分先后）菁优网 2016 年 6 月 9 日