新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析335.pdf

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1、如图2.新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 1 在 ABC 中，C 90 已知AC 6,BC 8 求AB的长 已知 AB 17,AC 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理 2.2 2 a b c 解：AB AC2_BC 10 BC.AB2 AC2 8 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC+BC=AB即

2、AC+92=152,所以AC=144,所以AC=12.例题2如图（8），水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分 B C的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到 D点，并求水池的深度 AC.解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型,由题意可知 ACD中，/ACD=90,在Rt ACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定 理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC+CD=AEJ 设水深 AC=x 米，那么 AD=AB=AC+CB=0.5 2 2 2 x+1.5=(x+0.5)解之得x=2.故水深为2米.题型

3、三：勾股定理和逆定理并用一一 1 例题3 如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB-AB 4 那么 DEF是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没 1 有任何条件，我们也可以开创条件，由 FB-AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a,那么在 Rt AFD、Rt BEF和Rt CDE中,分别利用勾股定理求出 DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断厶 DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形 ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3 a,

4、BF=a 在 Rt CDE中，DE=cD+cE=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF=5a2,DF 2=25a2 在厶 DEF 中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF DEF是直角三角形，且/DEF=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度一一 例题4如图4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 丘，将厶ADE折 叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判

5、断垂直一一 例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和CD边，他测得AD=80cm,AB=60cm BD=100cm AD边与AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与CD边是否垂直？U3解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来 验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在 AB上截取AM=12cm在AD上截/取AN=9cm想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN测量MN的长度。如果MN=15则AM+AN=MN,所以AD边与AB边垂直；2 2 2 2 2 2 如果 MN=az 15,贝U 9+12=81+144=225,a工225,即9+12工

6、a，所以/A不是直角。利用勾股定理解决实际问题一一 例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要 移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯 5米，可想而知应该 是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图 6所示，A点表示控制 灯，BM表示人的高度，BC/MN,BCL AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可计算B C=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题：例1、如图，ABC是直角三角形，

7、BC是斜边，将 ABP绕点A 逆时针旋转后，能与 ACP重合，若AP=3求PP的长。变式1:如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2.3,PC=4,求厶ABC的边长.分析：利用旋转变换，将 BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形 变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，/BAC=90,E、F是BC上的点，且/EAF=45,试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由 题型七：关于翻折问题 例1、如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折 叠，点B恰好落在

8、CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中线，/ADC=45，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C 的位置，题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，=周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方 BC=4求BC的长.向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题图 1-19 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 A处。另一只爬到树顶 D后

9、 例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己 的正上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫 的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行 突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行 多少路程才能捕到害虫？（n 取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变 式：如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟?三、课后训练：一、填空题2.种

10、盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露 出4.6 cm,问吸管要做 _ cm。3.已知：如图，ABC中，/C=90，点O ABC的三条角平分线的交点，OD丄BC,OE丄AC,OF丄AB,点D、E、F分别是垂足，且 BC=8cm,CA=6cm，则点 O到三边 AB,AC和BC的距离分别等 于 cm 4 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的 直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 _ 米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dm 2d

11、m,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是 _.二、选择题 1.已知一个Rt的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2.Rt一直角边的长为11,另两边为自然数，米.B A 20 B A、56 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,售价a元，则购买这种草皮至少需要（B、48 C、40 D、32 6.A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 20m 150 30m 第6题图 贝U Rt的周长为（）A、121

12、B、120 C、132 D、不能确定 3.如果Rt两直角边的比为 5:12,则斜边上的高与斜边的比为（）A、60:13 B、5:12 C、12:13 D、60:169 4.已知 Rt ABC中，/C=90,若 a+b=14cm,c=10cm，则 Rt ABC的面积是（）2 2 2 2 A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5.等腰三角形底边上的高为 8,周长为32，则三角形的面积为（）已知这种草皮每平方米 第7题图 C 7.已知，如图长方形 ABCD中,AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠，使点 B与点D重合，折痕为 EF,则厶ABE 的面积为（）2 2 2 2 A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm&在 ABC 中，AB=15,AC=13，高 AD=12，则 ABC 的周长为 A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33 9.如图，正方形网格中的 ABC若小方格边长为 1,则厶ABC是（）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对