高考数学-线线、线面、面面平行的证明594.pdf

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1、1 专题 18 线线、线面、面面平行的证明问题 知识梳理 一、直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：l，m，且lml 3、图形：二、直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、符号语言：l，l，mlm.3、图形语言：三、平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)2、符号语言：a，b，abP，a，b 3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交

2、直线分别平行于另一个平面内的两2 条相交直线，则这两个平面平行 四、平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：，a，b，ab 3、图形：4、性质定理推论：推论 1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面 推论 2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 考向导航 3 例题精讲 考向 1 线线平行证明【例 1】如图，三棱锥PABC中，ABC为正三角形，点1A在棱PA上，1B、1C分别是棱PB、PC的中点，直线11AB与直线AB交于点D，直线11AC与直线AC交于点E，求证：/DE BC.【答案】证

3、明见解析 【解析】在三棱锥PABC中，因11,B C分别是棱 PB，PC 的中点，所以11/BCBC，又11BC 平面BCED，BC 平面BCED，所以11/BC平面BCED，又11BC 平面11BC ED，平面BCED 平面11BC EDDE，所以11/BCDE，所以/DE BC.【变式 1-1】在如图的几何体中，四边形ABCD是梯形，/AB CD，平面ABE与平面CDE交于EF，求证：/CD EF.【答案】证明见解析 【解析】因/ABCD，AB平面ABE，CD平面ABE，所以/CD平面ABE，又CD 平面CDE，平面ABE平面CDEEF，所以/CDEF【变式 1-2】在四棱锥 PABCD

4、中，底面 ABCD 为平行四边形 E，F 分别为 BC，4 AD 的中点，过 EF 的平面与平面 PCD 交于 M，N 两点，求证：/ABMN 【答案】证明见解析 【解析】底面 ABCD 为平行四边形，E，F 分别为 BC，AD 的中点，EF CD，EF AB又因EF 平面 PCD，CD 平面 PCD，所以EF 平面 PCD，又过 EF 的平面与平面 PCD 交于 M，N 两点，MN EF，AB MN【变式 1-3】在正四棱锥PABCD中，,E F分别是,AB AD的中点，过直线EF的平面分别与侧棱,PB PD交于点,M N，求证：/MNBD 【答案】证明见解析 【解析】在ABD中，因为 E，

5、F 分别是,AB AD的中点，所以EFBD 且12EFBD，又因为EF 平面PBD，BD 平面PBD，所以EF 平面PBD，又EF 平面,平面PBDMN，所以EFMN，所以/MNBD 考向 2 线面平行证明【例 2】如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 BC 的中点，连接 AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B平面 ADC1.5 【答案】证明见解析【解析】如图，连接 A1C，设 A1CAC1O，再连接 OD.因为三棱柱 ABCA1B1C1中，A1ACC1是平行四边形，所以 O 是 A1C 的中点，又 D 是 CB 的中点，所以 ODA1B.又 A1B平面 ADC1，OD平面 ADC

6、1，所以 A1B平面 ADC1.【变式 2-1】如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ADAB，/AB DC，2ADDCAPAB，点E为棱PC的中点，F在PA上满足2PFFA.（1）证明：/BE平面 PAD；（2）证明：/PC平面 FBD 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【解析】（1）取 PD 中点 G，连接 AG，EG，又点E为棱PC的中点，所以 GE/CD 且12GECD，又/AB DC，且2DCAB，所以 GE/AB，且 GE=AB，所以四边形 ABEG 为平行四边形，所以 BE/AG，又 BE平面 PAD，AG 平面 PAD，所以 BE/平面 PAD；（2

7、）连接 AC，交 BD 于点 H，因为 AB/CD，且 CD=2AB，则12AHHC，6 又 PF=2AF，所以 PCFH，又 FH平面 BDF，PC平面 BDF，所以 PC/平面 BDF.【变式 2-2】如图，O是长方体1111ABCDABC D底面对角线AC与BD的交点，求证：1/BO平面11AC D.【答案】证明见解析 【解析】如图，连接11B D交11AC于点1O，连接1DO，1111/B BD DB BD D，四边形11B BDD为平行四边形，11B DBD，由正方体的性质得1O，O分别为11,B D BD的中点，1111/O BDOO BDO，11O BOD为平行四边形，11/BO

8、O D，又1BO平面11AC D，1O D 平面11AC D，1/BO平面11AC D【变式2-3】已知正方形ABCD，如图1，E，F分别是AB，CD的中点，将ADE沿DE折起，如图2所示，求证：/BF平面ADE.【答案】证明见解析 【解析】因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EBFD 又/EBFD，所以四边形EBFD为平行四边形，所以/BFED，因为DE 平面ADE，而BF 平面ADE，7 所以/BF平面ADE.考向 3 面面平行证明【例 3】如图，三棱锥 PABC 中，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点证明：平面 GFE平面 PCB.【答案】证明见解析【解析】因为 E，F，G

9、分别是 AB，AC，AP 的中点，所以 EF/BC，GF/CP.因为 EF，GF平面 PCB，BC，CP平面 PCB.所以 EF/平面 PCB，GF/平面 PCB.又 EFGFF，所以平面 GFE/平面 PCB.【变式 3-1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，S 是 B1D1的中点，E，F，G 分别是 BC，DC 和 SC 的中点求证：平面 EFG平面 BDD1B1.【答案】证明见解析【解析】如图所示，连接 SB，SD，F，G 分别是 DC，SC 的中点，FGSD.8 又SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1.同理可证 EG平面 BDD1B1，又

10、EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1.【变式 3-2】如图，已知ABCD是矩形，ABPE是梯形，2BP，1ADAE，/AEBP，F，G分别是BC，BP的中点，求证：平面/AFG平面PEC.【答案】证明见解析【解析】因F，G分别是BC，BP的中点，则/FGCP，而FG 平面 CPE，CP 平面 CPE，则/FG平面 CPE，而1BGPGAE，且/AEBP，于是得四边形 AEPG 是平行四边形，即/EPAG，又AG 平面 CPE，EP 平面 CPE，从而是/AG平面 CPE，因AGFGG，,AG FG 平面 AFG，所以平面/AFG平面PEC.【变式 3-

11、3】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，2ABBEEC，G，F，M分别是线段BE，DC，AB的中点，求证：平面/GMF平面ADE.9 【答案】证明见解析【解析】因G，M分别是线段BE，AB的中点，则有/GMAE，又AE 平面 ADE，GM 平面 ADE，于是得/GM平面 ADE，在矩形 ABCD 中，由F，M分别是DC，AB的中点可得/MFAD，又AD 平面 ADE，MF 平面 ADE，因此，/MF平面 ADE，而GMMFM，,GM MF 平面 GMF，所以平面/GMF平面ADE.【题组 1 线线平行证明】1、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为 8 的正方形，点 G，E，F，H

12、 分别是棱 PB，AB，DC，PC 上共面的四点，/BC平面 GEFH，证明：/GHEF 【答案】证明见解析 1 0 【解析】/BC平面 GEFH，BC 平面 PBC，平面PBC平面GEFHGH，/BC GH.又/BC平面 GEFH，BC 平面 ABCD，平面ABCD平面GEFHEF，/BC EF，/BC GH，/BC EF，/EF GH.2、如图，在四面体ABCD中，E，F分别为DC，AC的中点，过EF的平面与BD，AB分别交于点G，H.求证：/EF GH 【答案】证明见解析.【解析】因为E，F分别为DC，AC的中点，所以/AD EF，因为AD 平面EFHG，EF 平面EFHG，所以/AD平

13、面EFHG，又平面EFHG 平面ABDHG，AD 平面ABD 所以/AD GH，因为/AD EF，/AD GH，所以/EF GH.3、如图，已知四面体ABCD中，EFGH 分别是边,AB BC CD DA上的点(与端点不重合)，/BD平面EFGH，且EHFG.（1）求证：/EHFG；（2）求证：/HG平面ABC.1 1 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为/BD平面EFGH，BD 平面ABD，平面EFGH平面ABDEH，所以/BD EH.又因为/BD平面EFGH，BD 平面BCD，平面EFGH平面BCDFG，所以/BD FG.所以/EH FG.（2）因为EHFG，/EH

14、 FG，所以四边形EHGF为平行四边形.所以/HG EF.又因为EF 平面ABC，所以/HG平面ABC.4、如图，梯形ABCD中，/BC AD，E 是PD的中点，过BC和点 E 的平面与PA交于点 F.求证：/BC EF.【答案】证明见解析 【解析】/BC AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，/BC平面PAD，BC 平面BCEF，平面 BCEF平面PADEF，/BCEF 1 2 5、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：/AP GH.【答案】证明见解析 【解析】如图，连接AC

15、，设AC交BD于点O，连接MO 四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点 又M是PC的中点，/MO PA.又MO 平面BDM，PA平面 BDM，/PA平面BDM 又PA平面PAHG，平面PAHG 平面BDMGH，/AP GH 【题组 2 线面平行证明】1、在三棱锥DABC中，O，E，F，分别是线段 AC，AD，BD 的中点，G 是 OC中点.求证：/FG平面 BOE.【答案】证明见解析 1 3 【解析】取 BC 中点 H，连 GH，FH，O，E，F，H 分别是 AC，AD，BD，BC 中点，/OE CD，/FHCD，/OE FH，OE 平面 BOE，FH 平面 BOE，/FH平面 BOE，,

16、G H分别是,OC BC的中点，/GH OB，OB平面 BOE，GH 平面 BOE，/GH平面 BOE，FHGHH，FH 平面 FGH，GH 平面 FGH，平面/BOE平面 FGH，FG 平面 FGH，/FG平面 BOE.2、如图，直三棱柱111ABCABC中，D、E分别是AB、1BB的中点，122AAACCBAB，证明：1/BC平面1ACD.【答案】证明见解析【解析】连接1AC交1AC于点O，连接OD，则O为1AC的中点，因为D为AB的中点，1 4 所以1/OD BC，又因为OD平面1ACD，1BC平面1ACD，所以1/BC平面1ACD.3、如图，在正方体1111ABCDABC D中，M，O

17、 分别是1A B，AC 的中点 求证：/OM平面11BB C C 【答案】证明见解析.【解析】连接11,AB BC.因为11ABB A为正方形，所以 M 是1A B的中点，所以1AMMB，又 O 是 AC 的中点，所以1/OMBC.因为OM 平面11BB C C，1BC 平面11BB C C，所以 OM平面11BBC C.4、如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形 EFGH，求证：CD平面 EFGH 1 5 【答案】证明见解析【解析】因为四边形 EFGH 为平行四边形，所以EFGH，因为GH 平面 BCD，EF 平面 BCD，所以EF 平面 BCD，又因为EF 平面 ACD，且平面

18、ACD平面 BCDCD，所以EFCD，又因为CD平面 EFGH，EF 平面 EFGH，所以CD平面 EFGH 5、如图，四棱锥ADBCE中，O 为底面平行四边形 DBCE 对角线的交点，F 为AE 的中点求证：AB平面 DCF 【答案】证明见解析 【解析】连接 OF，O 为底面平行四边形 DBCE 对角线的交点，则BOOE ABE中，BOOE，AFFE，则/AB OF 又AB 平面DCF，OF 平面DCF，则AB平面 DCF 1 6 【题组 3 面面平行证明】1、如图所示，四棱柱1111ABCDABC D的侧棱与底面垂直，12 2,2,ACAAADDCAC BD交于点E，且E，F分别为1,AC

19、 CC的中点，22BE，求证：平面11/BCD平面1ABD 【答案】证明见解析【解析】如图，连接1AD，设11ADADH，则H为1AD的中点，而E为AC的中点，连接EH，则EH为1ACD的中位线，所以1/EHCD，又EH 平面11BCD，1CD 平面11BCD，所以/EH平面11BCD，又因为四棱柱1111ABCDABC D的侧棱与底面垂直，所以11/BBDD，11=BBDD，所以四边形11BB D D为平行四边形，所以11/B DBD，BD 平面11BCD，11B D 平面11BCD，所以/BD平面11BCD，又因为BDEHE，,BD EH 面1ABD，所以平面11/BCD平面1ABD 2、

20、如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，2BCAD，P，Q 是 AB，CD 的中，点 M，N 分别是 SB，CB 的中点，求证平面 AMN/平面 SCD 1 7 【答案】证明见解析【解析】因为M、N分别是SB，CB的中点，所以/MN SC，因为MN 平面SCD，SC 平面SCD，所以/MN平面SCD，又/AD CN且ADCN，所以ADCN为平行四边形，所以/AN DC，因为AN 平面SCD，DC 平面SCD，所以/AN平面SCD，又ANMNN，,AN MN 平面AMN，所以平面/AMN平面SCD.3、已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F

21、，M 分别是 A1C1，A1D 和B1A 上任意一点求证：平面1/AEF平面1B MC.【答案】证明见解析【解析】根据正方体的性质可知11/AD BC，由于1A D 平面1B AC，1BC 平面1B AC，1 8 所以1AD/平面1B AC.同理可证得11/AC平面1B AC，由于1111ADACA，所以平面11/AC D平面1B AC，所以平面1/AEF平面1B MC.4、如图，在正方体1111ABCDABC D中，P，Q，R 分别为棱11DC，BC，11BC上异于顶点的点，M，N，K 分别为线段 AP，PQ，QR 的中点求证：平面/MNK平面ABCD 【答案】证明见解析 【解析】连接,AQ

22、 PR，在PAQ中，因为 M，N，分别为线段 AP，FQ 的中点 所以/MNAQ，又MN 平面 ABCD，AQ 平面 ABCD，所以/MN平面 ABCD，同理/NKPR，因为NK 平面1111DCBA，PR 平面1111DCBA，所以/NK平面1111DCBA，因为平面 ABCD/平面1111DCBA，NK 平面ABCD，所以/NK平面ABCD，又MNNKN，,MN NK 平面MNK，所以平面/MNK平面 ABCD 1 9 5、如图，四边形ABCD为矩形，,A E B F四点共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，90BAEAFB，求证：平面/BCE平面ADF.【答案】证明见解析.【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以/BCAD，又因为BC 平面ADF，AD 平面ADF，所以/BC平面ADF，因为ABE和ABF均为等腰直角三角形，且90BAEAFB，所以45BAFABE，所以/AFBE，又因为BE 平面ADF，AF 平面ADF，所以/BE平面ADF，又由BC 平面BCE，BE 平面BCE，且BCBEB，所以平面/BCE平面ADF