高考数学一轮复习题——第3节二项式定理115.pdf

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1、第 3 节 二项式定理【选题明细表】知识点、方法 题号 求二项展开式中特定项或系数 1,2,12,13,15 求三项式、两个因式之积的展开式中的特定项或系数 4,6,10 二项式系数的性质、系数和 3,5,7,8,11 二项式定理的简单应用 9,14,16 基础对点练(建议用时:25 分钟)1.(2018河北省“五个一名校联盟”第二次考试)（-x4）3的展开式中的常数项为(D)(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6 解析:Tr+1=（）3-r(-x4)r=(-1)r()3-rx6r-6.令 6r-6=0,得 r=1.所以常数项为 T2=(-1)()2=-6.故选 D.2.在（x2-）n的展

2、开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为(D)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)rx2n-3r,所以(-1)r=15 且 2n-3r=0,所以 n 可能是 6.故选 D.3.(2018广州市一模)已知（2x2-）n的二项式系数之和等于 128,那么其展开式中含 项的系数是(A)(A)-84(B)-14(C)14 (D)84 解析:由二项式系数之和等于 128,得 2n=128,解得 n=7.二项展开式的通项 Tr+1=(2x2)7-r（-）r=x14-3r,令 14-3r=-1,得 r=5,展开式中含 项的系数为 27-5(-1)5=-84,

3、选 A.4.(2017湖南长沙三模)在(x2-4)（x+）9的展开式中 x5的系数为(D)(A)36 (B)-144 (C)60 (D)-60 解析:因为(x2-4)（x+）9=(x2-4)(x9+x7+x5+x3+x-9),故展开式中 x5的系数为-4=84-144=-60,故选 D.5.二项式（2x-）n的展开式中所有项二项式系数和为 64,展开式中的常数项为 60,则 a 的值为(B)(A)2 (B)1(C)-1 (D)1 解析:因为展开式的二项式系数和为 64,所以 2n=64,即 n=6,所以展开式的常数项为(2x)2（-）4=154a4=60,所以 a=1.故选 B.6.(2018

4、武汉市调研)在（x+-1）6的展开式中,含 x5项的系数为(B)(A)6 (B)-6 (C)24 (D)-24 解析:由（x+-1）6=（x+）6-（x+）5+（x+）4+-（x+）+,可知只有-（x+）5的展开式中含有 x5,所以（x+-1）6的展开式中含x5项的系数为-=-6,故选 B.7.(2018河北邯郸二模)在（x+）n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则 x3的系数为(C)(A)15 (B)45 (C)135 (D)405 解析:令（x+）n中 x 为 1,得各项系数和为 4n,又展开式的各项的二项式系数和为 2n,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,所以

5、=64,解得 n=6,所以二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=3r,令 6-r=3,求得 r=2,故展开式中 x3的系数为 32=135,故选 C.8.(2018东北三校联合模拟)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|等于(A)(A)0(B)1(C)32 (D)-1 解析:由二项展开式的通项公式 Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,可知 a1,a3,a5都小于 0.则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5.在原二项展开式中令 x=1,可得 a0

6、+a1+a2+a3+a4+a5=0.故选 A.9.已知 nN*,则 24n除以 15 的余数为(A)(A)1(B)2(C)3(D)4 解析:法一 24n=16n=(15+1)n=15n+15n-1+15n-2+15+=15(15n-1+15n-2+)+1 因为 15n-1+15n-2+是正整数,所以 24n除以 15 的余数为 1.故选 A.法二 当 n=1 时,24n=16,易知 16 除以 15 的余数为 1.故选 A.10.(2018湖南省湘东五校联考)若(x+a)(1+2x)5的展开式中 x3的系数为 20,则 a=.解析:(x+a)(1+2x)5的展开式中 x3的系数为 22+a 2

7、3=20,所以40+80a=20,解得 a=-.答案:-能力提升练(建议用时:25 分钟)11.(2018山西省八校联考)已知(1+x)n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(A)(A)29 (B)210 (C)211 (D)212 解析:依题意得=.由组合数性质得 n=10.则奇数项的二项式系数和为 2n-1=29,故选 A.12.(2018杭州学军中学)二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为-,则x2dx 的值为(A)(A)(B)3(C)3 或 (D)3 或-解析:二项展开式的第二项为 T2=(ax)5,则由题意有 a5=-,解得 a=-1,所以x

8、2dx=-（-）=.故选 A.13.已知 f(x)=x+在区间1,4上的最小值为 n,则二项式（x-）n展开式中 x2的系数为 .解析:f(x)=1-=,x1,4.令 f(x)=0,解得 x=3.所以 x1,3时,函数 f(x)单调递减;x(3,4时,函数 f(x)单调递增.所以 x=3 时,函数 f(x)取得最小值 6.所以（x-）6的通项公式为 Tr+1=x6-r（-）r=(-1)rx6-2r,令 6-2r=2,解得 r=2,所以二项式（x-）n展开式中 x2的系数为=15.答案:15 14.已知2n+23n+5n-a 能被25 整除,则正整数a 的最小值是 .解析:2n+23n+5n-a

9、=46n+5n-a=4(5+1)n+5n-a=4(5n+5n-1+52+5+)+5n-a=452(5n-2+5n-3+)+25n+4-a.因为 5n-2+5n-3+及 n 都为正整数,所以 452(5n-2+5n-3+)+25n 是 25 的倍数.所以 4-a 也是 25 的倍数,又 a 为正整数,所以 a 的最小值为 4.答案:4 15.(2018福州市期末)设n为正整数,(x-)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 .解析:依题意得 n=8,所以展开式的通项 Tr+1=x8-r(-)r=x8-4r(-2)r,令8-4r=0,解得 r=2,所以展开式中的常数项为 T3

10、=(-2)2=112.答案:112 16.(2018广东湛江调研)若(2x-1)2 018=a0+a1x+a2x2+a2 018x2 018(xR),记 S2 018=,则 S2 018的值为 .解析:令 x=,得 0=a0+=a0+S2 018 令 x=0,得 1=a0,所以 S2 018=-a0=-1.答案:-1 好题天天练(建议用时:10 分钟)1.(2018江西上饶中学月考)设 x5=a0+a1(2-x)+a2(2-x)2+a5(2-x)5,那么的值为(B)(A)-(B)-(C)-(D)-1 解析:当 x=1 时,1=a0+a1+a2+a3+a4+a5;当 x=3 时,35=a0-a1

11、+a2-a3+a4-a5;x5=2-(2-x)5,则 a5=20(-1)5=-1.所以a0+a2+a4=122,a1+a3=-120,所以=-.故选 B.2.已知(xcos+1)5的展开式中x2的系数与(x+)4的展开式中x3的系数相等,则 cos=.解析:由二项式定理知(xcos+1)5的展开式中 x2的系数为 cos2,(x+)4的展开式中 x3的系数为,于是有 cos2=,解得 cos2=,所以可得 cos=.答案:3.若变量 x,y 满足约束条件n=2x+y-2,则 n 取最大值时,(2+)n二项展开式中的常数项为 .解析:画出不等式组表示的平面区域如图,由图象可知当动直线 y=-2x+n+2 经过点 A(2,4)时,n=2x+y-2 取最大值 6.当 n=6 时,二项展开式的通项公式为 Tr+1=(2)6-r()r=26-r,由题设-r=0 可得 r=2,所以展开式中的常数项是 24=240.答案:240