第3炼-利用数轴解决集合运算问题888.pdf

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1、 精选 第 3 炼 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：:ABI 在数轴上表示为,A B表示区域的公共部分:ABU 在数轴上表示为,A B表示区域的总和:UC A 在数轴上表示为U中除去A剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行

2、数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界

3、点重合时是否符合题意。二、例题精析：例 1：（2009 安徽）集合21213,03xAxxBxx，则ABI=_ 思路：先解出,A B的解集，11,2,3,2AB U，精选 作出数轴，则ABI即为它们的公共部分。11,2AB I 答案：11,2AB I 例 2：设集合23,|8,Sx xTx axaSTRU，则a的取值范围是_ 思路：可解出,15,S U，而T集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S的范围，由于STRU，而数轴上有一部分区域没有被S包含，那说明T集合负责补S空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：185aa 即可，解得：31a 答案

4、：31a 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T区间的端点（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a 或1a ，则端点处既不在S里，也不在T里，不符题意。例 3：对于任意的xR，满足222240axax恒成立的所有实数a构成集合A，使 不 等 式43xxa的 解 集 是 空 集 的 所 有 实 数a构 成 集 合B，则RAC B I_ 思路：先利用已知条件求出,A B，再利用数轴画出RAC BI的范围即可 解：由222240axax 恒成立，可得：当20a

5、即2a 时，变为：40 恒成立 当2a 时，若要恒成立，则 22022421620aaaa 2,2A 43xxa解集为空等价于：,43xR xxa 精选 min43axx 设 27,4431,3472,3xxf xxxxx x min1f x 1a 即,1B 1,RC B 1,2RAC BI 小炼有话说：本题更多考察的地方在于,A B集合的求解。A集合要注意20a的情况，而不能默认为二次不等式，B集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。例 4：已知集合0)12(,31122mmxmxxBxxxA，若AB I，则实数

6、m的取值范围为 思路：先解出,A B的解集，AB 意味着,A B有公共部分，利用数轴可标注集合B两端点的位置，进而求出m的范围 解：113xx 当1x 时，31132xxx 312x 当11x 时，11323xx 恒成立 当1x 时，31132xxx 312x 3 3,2 2A 22(21)0 xmxmm 10 xmxm 1mxm AB QI 312m 且32m 5 3,2 2m 精选 例 5：已知2|521,|AxxxBx xaxxa，当“xA”是“xB”的充分不必要条件，则a的取值范围是_ 思路：,A B为两个不等式的解集，因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，所以A是B的真子集。考虑解

7、出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a的范围即可 解：2505211013521xxxxxxx 1,3A 2210 xaxxaxaxa 10 xxa 由A是B的真子集可得：3a 答案：3,a 小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：p是q的充分不必要条件p对应集合P是q对应集合Q的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理B，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理A之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。例 6：已知函数 221,02()1,20 xxg xaxf xx

8、x，对122,2,2,2xx ，使得 12g xf x成立，则实数a的取值范围是_ 思路：任取12,2x ，则 1g x取到 g x值域中的每一个元素，依题意，存在2x使得 12g xf x，意味着 g x值域中的每一个元素都在 f x的值域中，即 g x的值域为 f x的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a的范围 解：20,2x 时，20,3f x 22,0 x 时，24,0f x 24,3f x 精选 对于 g x，分三种情况讨论 当0a 时，21,21g xaa 2141213aaa 0,1a 当0a 时，1g x，符合题意 当0a 时，21,21g xaa 21412

9、13aaa 1,0a 综上所述：1,1a 答案：1,1a 例 7：已知集合|21,|Ax xxBx axb 或，若,2,4ABR ABUI，则ba_ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围。从而确定出,a b的值，如图所示：可得1,4ab，所以4ba 答案：4 例8：设22|210,|0,|20AxxxxBx xaxbABx xU，|13ABxxI，求,a b 思路：A集合的不等式解集为 2,11,U，集合B为一 元 二 次 不 等 式 的 解 集，由 题 意 可 知B，设20 xaxb的两根为1212,x xxx，则12,Bx x，在数轴上作图并分析后两个条件：|20A

10、Bx xU说明B将A集合覆盖数轴的漏洞堵上了，|13ABxxI说明B与A的公共部分仅有1,3，左侧没有公共部分，从 精选 而12,Bx x的位置只能如此（如图），可得：121,3xx，由韦达定理可得：2,3ab 例 9：在R上定义运算:2xxyy，若关于x的不等式(1)0 xxa 的解集是|22,xxxR 的子集，则实数 a 的取值范围是（）A22a B12a C31a 或11a D31a 思路：首先将(1)0 xxa 变为传统不等式：1001xxxaxa，不等式含有参数a，考虑根据条件对a进行分类讨论。设解集为A，因为2,2A ，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当A时，则1a ；当A 时

11、，根据a的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a的范围即可 解：1000211xxxxaxaxa 设解集为A 当A时，则1a 当A 时：若101aa 时，0,12,2Aa 12a 1a 11a 若101aa 时，1,02,2Aa 12a 3a 31a 综上所述：3,1a 答案：D 例 10：已知(01)f xmxxnnm，若关于x的不等式 0f x 的解集中的整数恰有 3 个，则实数m的取值范围是（）A.36m B.13m C.01m D.10m 精选 解：所解不等式为mxxn，可以考虑两边平方后 去 掉 绝 对 值，因 式 分 解 可 得：110mxnmxn，由题意中含 3 个整数解可得：

12、解集应该为封闭区间，所以x的系数均大于零，即10110mmm ，另一方面，解集区间内有 3 个整数，从端点作为突破口分析，两 个 端 点 为,11nnxxmm，因 为01nm，所以0,11nxm，进而结合数轴分析可得三个整数解为0,1,2，所以另一个端点的取值范围为3221311nmnmm ，而01nm，所以只要有交集，则可找到符合条件的,n m，结合数轴可得：211mm，求出1,3m 答案：1,3m 三、近年模拟题题目精选：1、（2016四川高三第一次联考）已知集合|2,|1,MxxxRNxxa aR，若NM，则a的取值范围是（）A.01a B.1a C.1a D.01a 2、（2014 吉

13、林九校二模，1）已知|12,|3MxxNx x ，则RC MN I（）A.2,3 B.2,3 C.,12,3 U D.,12,3 U 3、（重庆八中半月考，1）设全集为R，集合12,01Ax xBxx，则AB I（）A.2,2 B.2,1 C.1,2 D.2,4、已知函数 22xf xx的定义域为M，ln1g xx的定义域为N，则 精选 RMC N U（）A.,2 B.2,C.2,D.,2 5、（2014，浙江）已知集合2|20,|12Px xxQxx，则RC PQ I（）A.0,1 B.0,2 C.1,2 D.1,2 6、（2014，山东）设集合|12,|2,0,2xAxxBy yx，则AB

14、 I（）A.0,2 B.1,3 C.1,4 D.1,3 7、设集合|237,|121AxxBx mxm，若ABAU，则实数m的取值范围是_ 8、已知全集UR，集合2|340,|28xAx xxBx，那么集合UC AB I（）A.3,4 B.4,C.3,4 D.3,4 9、若关于x的不等式22)12(axx的解集中整数恰好有 3 个，则实数a的取值范围是_.精选 习题答案：1、答案：B 解析：若0a，则N 符合题意，若0a，则1N 符合题意，当0a 时，解得：2,2,1,1MNaa，由NM可知：120112aaa ，综上可得：1a 2、答案：D 解析：,12,RC M U，在数轴上标出,RC M

15、 N的区域即可得出RC MNI 3、答案：C 解析：分别解出,A B中的不等式，:22,:1AxB x，所以1,2AB I 4、答案：A 解 析：f x的 定 义 域：2202,2xM，g x的 定 义 域：101,xN ，所以,1RC N ，,2RMC N U 5、答案：C 解析：解出P中不等式：0 x 或2x，所以0,2RC P，则1,2RC PQ I 6、答案：D 解析：集合A为解不等式：122121,3xxx ，集合B为函数的值域，由0,2x可知1,4y，所以1,3AB I 7、答案：3m 解 析：A集 合 为2,5，由ABAU可 知BA；当B 时，可 得1212mmm ，当B 时，结合数轴可得：12121232153mmmmmmm 即23m，综上可得：m的取值范围是3m 8、答案：C 解析：23404xxx或1x ,14,A U 精选 1,4UC A 283xx 3,B 3,4UC ABI 9、答案：25 49,916a 解析：因为不等式等价于014)4(2xxa，其中014)4(2xxa中的04 a，且有04a，故40 a，不等式的解集为axa2121，212141a则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以4213a，解得a的范围为)1649,925(