艺术生高考数学专题讲义：考点40圆的方程550.pdf

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1、 考点四十 圆的方程 知识梳理 1圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 2.圆的标准方程(1)以(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(2)特殊的，以(0，0)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为 x2y2r2 3.圆的一般方程 方程 x2y2DxEyF0 可变形为xD22yE22D2E24F4.(1)当 D2E24F0 时，方程表示以D2，E2为圆心，D2E24F2为半径的圆；(2)当 D2E24F0 时，该方程表示一个点D2，E2；(3)当 D2E24F0 时，该方程不表示任何图形 4.点与圆的

2、位置关系 点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2.5.解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 典例剖析 题型一 求圆的方程 例 1 若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 答案(x2)2

3、(y 3)24 解析 因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b 3 变式训练 (1)圆心在 y 轴上且经过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 (2)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为_ 答案(1)x2y210y0 (2)(x2)2y210 解析 (1)设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2.点(3，1)在圆上，9(1b)2b2，解得：b5.圆的方程为 x2y210y0.(2)

4、设圆心坐标为(a,0)，易知a5212a1232，解得 a2，圆心为(2,0)，半径为 10，圆 C 的方程为(x2)2y210.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解 题型二 点与圆的位置关系 例 2 已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点 P(3，2)满足 答案 在圆内 解析 因为(32)2(23)220，点 P 在圆 C 外部 题型三 二次方程表示圆的条件 例 3 方程 x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件的是 答案 m1 解析 由(4m)2445m0，得 m1.变式训练 方程 2x22y24x8y100 表示的图形是 答案 一个点 解析

5、 方程 2x22y24x8y100，可化为 x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程 2x22y24x8y100 表示点(1，2)解题要点 1.方程 x2y2DxEyF0 表示圆的条件是 D2E24F0 2.二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件：B0，AC0，D2E24AF0.，即方程中不含 xy 项，x2，y2前系数相同，且 D2E24AF0 题型四 与圆有关的最值问题 例 4 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x10.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值 解析(1)如图，方程 x2y24x10 表示以点(

6、2,0)为圆心，以 3为半径的圆 设yxk，即 ykx，则圆心(2,0)到直线 ykx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值 由|2k0|k21 3，解得 k23，kmax 3，kmin 3.(也可由平面几何知识，得 OC2，CP 3，POC60，直线OP 的倾斜角为 60，直线 OP的倾斜角为 120)(2)设 yxb，则 yxb，仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时，截距 b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|20b|2 3，即 b2 6，故(yx)min2 6.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接 OC，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C，则(x2y2)max|

7、OC|2(2 3)274 3，(x2y2)min|OB|2(2 3)274 3.解题要点(1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解否则可转化为函数求最值 (2)形如 uybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 当堂练习 1圆心在直线 2x3y10 上的圆与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为 答案 (x2)2(y1)22 解析 所求圆与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，

8、故线段 AB 的垂直平分线 x2 过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线 2x3y10 上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x2)2(y1)22 2已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方程为 答案 (x2)2(y2)21 解析 圆 C1：(x1)2(y1)21 的圆心为(1，1)圆 C2的圆心设为(a，b)，C1与 C2关于直线 xy10 对称，解得圆 C2的半径为 1，圆 C2的方程为(x2)2(y2)21.3.圆的圆心和半径分别 答案 解析 将圆配方得：，故

9、知圆心为(2，1)，半径为.4若坐标原点在圆(xm)2+(y+m)2=4 的内部，则实数 m 的取值范围是 答案 解析 原点 O 在圆(xm)2+(y+m)2=4 的内部，(0m)2+(0+m)24，得 2m24，解得m,即实数 m 的取值范围为：m 5方程 x2+y2x+y+m=0 表示一个圆，则 m 的取值范围是 答案 m 解析 方程 x2+y2x+y+m=0 即表示一个圆，m0，解得 m 课后作业 一、填空题 1以点 A(5，4)为圆心且与 x 轴相切的圆的标准方程是 答案 (x+5)2+(y4)2=16 解析 所求的圆以点 A(5，4)为圆心，且与 x 轴相切，所求圆的半径 R=4，圆

10、的标准方程为(x+5)2+(y4)2=16 2若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为 答案 解析 圆的标准方程为，表示圆心为，半径为 的圆 3若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 答案 (x2)2(y1)21 解析 设圆心坐标为(a，b)，由题意知 a0，且 b1.又圆和直线 4x3y0 相切，1，即|4a3|5，a0，a2.所以圆的方程为(x2)2(y1)21.4点(2a，a1)在圆 x2+y22y4=0 的内部，则 a 的取值范围是 答案 a1 解析 由题意，4a2+(a1)22(a1)40，即 5a24a10,解之得：

11、a1 5圆的圆心坐标是 答案 (2，3)解析 将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，3).6圆 x2+y2=16 上的点到直线 xy=3 的距离的最大值为 答案 4+解析 圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.7若方程 x2+y2x2y+c=0(cR)是一个圆的一般方程，则 c 的范围是 答案 c 解析 化为标准方程为：，由题意得，8若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 答案 (x2)2(y1)21 解析 由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a0 且 b0)，由已知有：，所以所求圆的方程为

12、：(x2)2(y1)21 9圆的方程过点和原点，则圆的方程为 答案 解析 设圆的一般方程为，将三点代入得：，解得，所以圆的方程为.10方程 x2y26x0 表示的圆的圆心坐标是_；半径是_ 答案 (3，0)，3 解析 (x3)2y29，圆心坐标为(3，0)，半径为 3.11从直线 xy30 上的点向圆 x2y24x4y70 引切线，则切线长的最小值为 答案 解析 把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心 A 与直线 xy30 垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接 AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形 ABC 为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆

13、心到直线 x y30 的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长由于圆心(2，2)，半径为 1，那么可知圆心到直线的距离为 ，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为 二、解答题 12求下列各圆的标准方程：(1)圆心在 y=x 上且过两点(2，0)，(0，4)(2)圆心在直线 2x+y=0 上，且与直线 x+y1=0 切于点(2，1)解析 (1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，圆心在上，又圆过(2，0)，(0，4)，由联立方程组，可得.所求圆的方程为.(2)圆与直线相切，并切于点 M(2，1)，则圆心必在过点 M(2，1)且垂直于的直线：上，即圆心为 C(1，2)，r=，所求圆的方程为：13求经过三点 A(1，1)，B(8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析 设所求圆的方程为 点 A(1，1)，B(8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 解得：D=8，E=6，F=0.于是得所求圆的方程为：,圆的半径 r=,圆心坐标是.