艺术生高考数学专题讲义：考点41直线与圆、圆与圆的位置关系416.pdf

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1、 考点四十一 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 1直线与圆的位置关系(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，无公共点 2.直线与圆的位置关系的判断方法 设直线 l：AxByC0(A，B 不全为 0)，圆为(xa)2(yb)2r2(r0)，d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr 0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)圆心距 O1O2d，则 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：

2、两圆方程联立组成方程组的解的情况 两圆公切线的条数 相离 dr1r2 无解 4 外切 dr1r2 一组实数解 3 相交|r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 2 内切 d|r1r2|(r1r2)一组实数解 1 内含 0d0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)将两圆方程相减，得到关于 x 和 y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程 典例剖析 题型一 判断直线与圆的位置关系 例 1 直线 yax1 与圆 x2y22x30 的位置关系是_ 答案 相交 解析 直线 yax1 恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x1)2y24 的内部，故直线与圆相交 变式训练 已知点 M(a，b

3、)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 D 的位置关系是_ 答案 相交 解析 由点 M 在圆外，得 a2b21，圆心 D 到直线 axby1 的距离 d1a2b21r，则直线与圆 O 相交 解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用 d 与 r 的关系(2)代数法：联立方程随后利用 判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 题型二 直线与圆相交弦长问题 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为_ 答案 2

4、555 解析 因为圆心(2，1)到直线 x2y30 的距离 d|223|535，所以直线 x2y30 被圆截得的弦长为 24952 555.变式训练 已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a的值是_ 答案 4 解析 由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1，1)，半径 r 2a.圆心到直线 xy20 的距离为 d|112|2 2.由 r2d2422，得 2a24，所以 a4.解题要点 与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解 题型三 直线与圆相切问题 例 3 过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的

5、切线，则切线方程为_；答案 x2 或 4x3y40 解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 d|k142k|k212|3k|k211，解得 k43，所求切线方程为43xy42430，即 4x3y40.综上，所求切线方程为 x2 或 4x3y40.变式训练 过坐标原点且与圆 x24xy220 相切的直线方程为_ 答案 yx 解析 圆的标准方程为(x2)2y22.则圆心(2,0)，半径 r 2.设直线方程为 ykx.则|2k

6、|k21 2，解得 k1，所以直线方程为 yx.例 4 过点 P(4，1)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为_ 答案 3xy40 解析 方法 1：如图所示，A 点的坐标为(1，1)，ABPC，kPC13，kAB3，直线 AB 的方程为 y13(x1)，即 3xy40.方法 2：把点 P 代入切点弦公式，得方程为：(41)(x1)1y1，即方程为 3xy40.解题要点 过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外 如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心

7、到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题 过圆(xa)2(yb)2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为 x0 xy0yr2.题型四 圆与圆的位置关系问题 例 5 圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为_ 答案 相交 解析 两圆圆心分别为(2，0)和(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 421 17 32d32，两圆相交 变式训练 过两圆 x2y26x4y0 及 x2y

8、24x2y40 的交点的直线方程是_ 答案 xy20 解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为 x2y26x4y(x2y24x2y4)0，即 xy20 解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于 x 和 y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程 当堂练习 1设直线 l 过点 P(2，0)，且与圆 x2y21 相切，则 l 的斜率是_ 答案 33 解析 设 l：yk(x2)，即 kxy2k0，又 l 与圆相切，|2k|1k21，k33 2直线 xy30 被圆(x2)2(y2)22 截得的弦长等于_ 答案 6 解析 圆心为(2，2)，圆心到直线的距离为

9、|223|222，圆的半径为2，由勾股定理求出弦长的一半为62，所以弦长为6 3.直线 xky10 与圆 x2y21 的位置关系是_ 答案 相交或相切 解析 直线 xky10 过定点(1，0)，而点(1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交 4圆 x2y24x0 在点 P(1，3)处的切线方程为_ 答案 x 3y20 解析 设所求切线方程为 y 3k(x1)x2y24x0ykxk 3x24x(kxk 3)20 该二次方程应有两个相等实根，则 0，解得 k33 y 333(x1)，即 x 3y20 5直线 yxb 与曲线 y 1x2有两个公共点，则 b 的取值范围是_ 答案 1b 2 解析 曲线为

10、x2y21(y0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知 1b 2 课后作业 一、填空题 1将圆 x2y22x4y10 平分的直线是_ 答案 xy10 2过两圆 x2y23x2y0 及 x2y22x6y40 的交点的直线方程是_ 答案 x4y40 解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为 x2y23x2y(x2y22x6y4)0，即 x4y40 3已知直线 l：yk(x1)3与圆 x2y21 相切，则直线 l 的倾斜角为_ 答案 56 解析 由题意知，|k 3|k211，k33.直线 l 的倾斜角为56.4若圆心在 x 轴上，半径为 5的圆 C 位于 y 轴左侧，且被直线

11、 x2y0 截得的弦长为 4，则圆 C 的方程是_ 答案(x 5)2y25 解析 设圆心为(a,0)(a0)，因为截得的弦长为 4，所以弦心距为 1，则 d|a20|12221，解得 a 5，所以，所求圆的方程为(x 5)2y25.5 若过点 P(1，3)作圆 O：x2y21 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则弦长|AB|_ 答案 3 解析 如图所示，PA，PB 分别为圆 O：x2y21 的切线，OAAP.P(1，3)，O(0,0)，|OP|132.又|OA|1，在 RtAPO 中，cosAOP12.AOP60，|AB|2|AO|sinAOP 3.6过点(1,1)的直线与圆(x2)2(y3

12、)29 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为_ 答案 4 解析 点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦 AB 的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|2r2d22954.7已知圆 C：x2y24x0，l 是过点 P(3,0)的直线，则_ 答案 l 与 C 相交 解析 3204391230)的公共弦长为 2 3，则 a_.答案 1 解析 方程 x2y22ay60 与 x2y24.相减得 2ay2，则 y1a.由已知条件22 321a，即 a1.二、解答题 12一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，求此圆的方程 解析 所求圆的圆心在

13、直线 x3y0 上，且与 y 轴相切，设所求圆的圆心为 C(3a，a)，半径为 r3|a|.又圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心 C(3a，a)到直线 yx 的距离为 d|3aa|1212.有 d2(7)2r2.即 2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.13已知：圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a0.(1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2 2时，求直线 l 的方程 解析 将圆 C 的方程 x2y28y120 配方得标准方程为 x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|42a|a212.解得 a34.(2)过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质，得|CD|42a|a21，|CD|2|DA|2|AC|222，|DA|12|AB|2.解得 a7 或 a1.故所求直线方程为 7xy140 或 xy20.