中考数学重难点(函数图象的点)因动点产生的相似三角形问题(精选大题6例)(1).pdf

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1、 1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 上海 24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，ABC与AOM相似 请打开超级画板文件名“13 上海 24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，ABC与AOM相似点击按钮

2、的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨 1第（2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小 2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOM 3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOM相似 满分解答（1）如图 2，过点A作AHy轴，垂足为H 在 RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH3所以A(1,3)因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x 2)，代 入 点A(1,3)，可 得33a 图 2 所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx（2）由2232 333(1)3333yxxx，2 得抛物线的顶点M的坐标为3(1,

3、)3所以3tan3BOM 所以BOM30所以AOM150（3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，2 3AB，2 33OM 所以ABO30，3OAOM 因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150 ABC与AOM相似，存在两种情况：如图 3，当3BAOABCOM时，2 3233BABC 此时C(4,0)如图 4，当3BCOABAOM时，332 36BCBA此时C(8,0)图 3 图 4 考点伸展 在本题情境下，如果ABC与BOM相似，求点C的坐标 如图 5，因为BOM是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角为30的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点

4、C的坐标为(4,0)图 5 3 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于 2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；

5、如果不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于 2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在OQAB的时刻，也存在OQAB的时刻 思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等 2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上 满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐

6、标为(0,4b)（2）如图 2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x,x)如图 3，联结 OP 4 所以S四边 形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx 2b 解得165x 所以点P的坐标为(16 16,55)图 2 图 3（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1,0)，OA1 如图 4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA 当BAQAQAOA，即2QABA OA时，BQAQOA 所以2()14bb解得84 3b 所以符合题意的点Q为(1,23)如图 5，以OC为直径的圆与直

7、线x1 交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA 当BAQAQAOA时，BQAQOA此时OQB90 所以C、Q、B三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA 此时Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置 如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾 5 例 3 2012 年

8、黄冈市中考模拟第 25 题 如图 1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1 过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是BFC在

9、无限远处也不等于 45 观察右图，可以体验到，CBF保持 45，存在BFCBCE的时刻 思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程 满分解答（1）将M(2,2)代入1(2)()yxxmm，得124(2)mm 解得m4 6（2）当m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx 所以C(4,0)，E(0,2)所以SBCE116 2622BC OE （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线

10、段EC上时，BHEH最小 设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEOCPCO 因此234HP解得32HP 所以点H的坐标为3(1,)2（4）如图 3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F 由于BCEFBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCE BF时，BCEFBC 设点F的坐标为1(,(2)()xxxmm，由FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm 解得xm2所以F(m2,0)由COBFCEBF，得244mmBFm所以2(4)4mmBFm 由2BCCE BF，得222(4)4(2)4mmmmm 整理，得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45交抛

11、物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以BEBCBCBF，即2BCBE BF时，BCEBFC 在 RtBFF中，由FFBF，得1(2)()2xxmxm 解得x2m所以F(2,0)m所以 BF2m2，2(22)BFm 由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的m为22 2 考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长 7 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶

12、点M的坐标；（2）将图 1 中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36 时点A1的坐标；（3）在图 1 中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线

13、PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF与GQE相似 8 思路点拨 1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确

14、的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方 满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18）（2）梯 形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx，由此得 到1223sxx由于213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS 当S=36 时，212114,2.xx

15、xx 解得126,8.xx 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G 在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得 9 的t的值也是相同的 事实

16、上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图 1 动感体验 10 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左

17、侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PAM与OAC相似的三个情景 双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最大 思路点拨 1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA 满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C的 坐标（0

18、，2），解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx 如图 2，当点P在x轴上方时，1x4，)4)(1(21xxPM，xAM 4 如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意 如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x 此时点P的坐标为（2，1）如图 3，当点P在点A的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4 xAM 解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意 如图 4，当点P在点B的左侧时，x1，)

19、4)(1(21xxPM，xAM 4 解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点O重合，不合题意 11 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy 设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点 E 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212 因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m 当2m时，DCA的面积最大，此时

20、点D的坐标为（2，1）图 5 图 6 考点伸展 第（3）题也可以这样解：如图 6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积 设点D的横坐标为（m，n）)41(m，那么 42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS 由于225212mmn，所以mmS42 12 例 6 2008 年苏州市中考第 29 题 13 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“08 苏州 29”，拖动表示a的点在y轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E1和E3时，直线 NE1、NE3和直线AB交于同一个点G，此时POBPGN当抛物线经过点E2和E4时，直线NE2、

21、NE4和直线AB交于同一个点G，可以体验到，这个点G在点N右侧较远处 思路点拨 1求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值 2以DN为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a 3 当E在x轴上方时，GNP45，POBPGN，把PB PG转化为14PO PN 4当E在x轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102 满分解答（1）1OH，33k，2 33b （2）由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得 点M的坐标为(1,0)，点N的坐标为(5,0)因此MN的中点D的坐标为（2，0）

22、，DN3 因为AOB是等腰直角三角形，如果DNE与AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形 如图 2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，3）将E1（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得13a 此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333yxxxx 将E2（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得31a 此时抛物线的解析式为353431)5)(1(312xxxxy 如果DN为斜边，那么点E的坐标为E311(3,1)22或E4)211,213(14 将E311(3,1)22代入(1)(5)ya xx，求得29a 此时抛物线的解析式为222810(1)(5)999

23、9yxxxx 将E4)211,213(代入(1)(5)ya xx，求得92a 此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922xxxxy 图 2 图 3 对于点E为E1（2，3）和E311(3,1)22，直线NE是相同的，ENP45 又OBP45，PP，所以POBPGN 因此2101472PNPOPGPB 对于点E为E2（2，3）和E4)211,213(，直线NE是相同的 此时点G在直线5x的右侧，3314PG 又334PB，所以21034143343314PGPB 考点伸展 在本题情景下，怎样计算PB的长？如图 3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC233，PF2233，PA332(23)31223PF，所以31PB