艺术生高考数学专题讲义：考点60极坐标与参数方程62.pdf

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1、 考点六十 极坐标与参数方程 知识梳理 1极坐标系 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为；以极轴 Ox为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为，有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位 设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分

2、别为(x，y)和(，)，则 xcos ysin，2x2y2tan yx（x0）.3直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和 0；(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 M(b，2)且平行于极轴：sin b 4圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2acos.(3)圆心在点a，2处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin.5参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程 (2)如果知道变数

3、 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么xf（t），yg（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致 6直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 yy0k(xx0)xx0tcos yy0tsin(t 为参数)圆(xx0)2(yy0)2R2 xx0Rcos yy0Rsin(为参数且 02)椭圆 x2a2y2b21(ab0)xacos tybsin t(t 为参数且 0t2)抛物线 y22px(p0)x2pt2y2pt(t 为参数)双曲线 x2a2y2b2

4、1(a0，b0)xacos，ybtan(为参数)典例剖析 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例 1（2015 湖南文）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 C 的极坐标方程为 2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为_ 答案 x2y22y0 解析 将极坐标方程 2sin 两边同乘 得 22sin，x2y22y，故曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y0.变式训练 （2015 江苏）(本小题满分 10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin440，求圆 C 的半径 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立

5、直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222sin 22cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.解题要点 极坐标与直角坐标互化的注意点：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性 题型二 极坐标方程的应用 例 2（2015 新课标文）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

6、极坐标系(1)求 C1，C2的极坐标方程(2)若直线 C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 解析(1)因为 xcos，ysin，所以 C1的极坐标方程为 cos 2，C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2的半径为 1，所以C2MN 为等腰直角三角形，所以C2MN 的面积为12.变式训练 在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为3，3、4，6，求AOB(其中 O 为极点)的面积 解析 由题意知 A，B 的极坐标

7、分别为3，3、4，6，则AOB 的面积 SAOB 12OAOBsinAOB1234sin63.解题要点 1.弄清极坐标方程中的 和 的几何意义，利用数形结合思想解题 2.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 题型三 参数方程的应用 例 3(2014高考课标全国卷)已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值

8、解析(1)曲线 C 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d55|4cos 3sin 6|，则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.变式训练 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x14cosy24sin(为参数)，直线l 经过定点 P(3，5)，倾斜角为3.(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准

9、方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值 解析 (1)曲线 C 的标准方程：(x1)2(y2)216，直线 l 的参数方程：x312ty532t(t 为参数)(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的标准方程可得 t2(23 3)t30，设 t1，t2是方程的两个根，则 t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.解题要点 1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 2根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：过定点

10、M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2.(1)弦长 l|t1t2|；(2)弦 M1M2的中点t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.题型四 极坐标、参数方程的综合应用 例 4（2015 新课标文）(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin(t 为参数，t0)，其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2与 C3交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大

11、值 解析(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y2 2 3x0.联立 x2y22y0，x2y22 3x0，解得 x0，y0，或 x32，y32.所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线 C1的极坐标方程为(R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，)所以|AB|2sin 2 3cos|4sin3.当 56时，|AB|取得最大值，最大值为 4.变式训练 （2015 湖南理）已知直线 l：x532t，y 312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

12、 C 的极坐标方程为 2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|MB|的值 解析(1)2cos 等价于 22cos.将 2x2y2，cos x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x0.(2)将 x532t，y 312t代入式，得 t25 3t180.设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.解题要点 1.化归思想的运用，即涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，体现了 2.

13、数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 当堂练习 1在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是_ 答案 cos 1 解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为 x1，其极坐标方程为 cos 1.2直线 x1tsin70，y2tcos70(t 为参数)的倾斜角为_ 答案 20 解析 将直线参数方程化为标准形式：x1tcos20，y2tsin20(t 为参数)，则倾斜角为 20.3.极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是_ 答案 一个圆和一条射线 解析 原方程等价于 1 或，前者是半径为 1

14、 的圆，后者是一条射线.4（2015广东理）已知直线l的极坐标方程为2sin4 2，点A的极坐标为A2 2，74，则点 A 到直线 l 的距离为_ 答案 5 22 解析 依题已知直线 l：2sin4 2和点 A2 2，74可化为 l：xy10 和 A(2，-2)，所以点 A 到直线 l 的距离为 d|221|12125 22.5（2015 湖北理）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 l的极坐标方程为(sin 3cos)0，曲线C的参数方程为 xt1t，yt1t(t为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|_.答案 2 5 解析 直线

15、 l 的极坐标方程(sin 3cos)0 化为直角坐标方程为 3xy0，曲线 C 的参数方程 xt1t，yt1t两式经过平方相减，化为普通方程为 y2x24，联立 3xy0，y2x24解得 x22，y3 22或 x22，y3 22.所以点 A22，3 22，B22，3 22.所以|AB|222223 223 2222 5.课后作业 一、填空题 1极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为_ 答案(x12)2y214 解析 由 cos，得 2cos，x2y2x.2在极坐标系中，已知点 P2，6，则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是_ 答案 sin1 解析 点 P2，6的直角坐标为(3，1)，所求直

16、线平行于极轴，所求直线的斜率 k0.所求直线的普通方程为 y1，化为极坐标方程为 sin1.3参数方程 x2cos，ysin(为参数)和极坐标方程 6cos 所表示的图形分别是_ 答案 椭圆和圆 解析 参数方程 x2cos，ysin(为参数)的普通方程为x24y21，表示椭圆极坐标方程 6cos 的直角坐标方程为(x3)2y29，表示圆 4在极坐标系中，直线(3cossin)2 与圆 4sin 的交点的极坐标为_ 答案(2，6)解析(3cossin)2 可化为直角坐标方程 3xy2，即 y 3x2.4sin 可化为 x2y24y，把 y 3x2 代入 x2y24y，得 4x28 3x120，即

17、 x22 3x30，所以 x 3，y1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，6).5在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为_ 答案 2(R)和 cos2 解析 由题意可知，圆 2cos 可化为普通方程为(x1)2y21.所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x0 和 x2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为 2(R)和 cos2 6在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是_ 答案 (1，2)解析 由 2sin，得 22sin，化成直角坐标方程为 x2y22y，化成标准方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，2)7

18、在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线4与曲线 xt1，yt12(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为_ 答案 52，52 解析 由 xt1，yt12，得 y(x2)2，4化为直角坐标方程为 yx(x0)，由 yx，yx22，得 x25x40，x1x25，中点坐标为52，52.8以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 xt1，yt3(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程是4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为_ 答案 2 2 解析

19、 由题意得直线 l 的方程为 xy40，圆 C 的方程为(x2)2y24.则圆心到直线的距离 d 2，故弦长2r2d22 2.9（2015 北京理）在极坐标系中，点2，3到直线(cos 3sin)6 的距离为_ 答案 1 解析 在平面直角坐标系下，点2，3化为(1，3)，直线方程为：x 3y6，点(1，3)到直线的距离为 d|1 3 36|2|2|21.10（2015 重庆理）已知直线 l 的参数方程为 x1t，y1t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 240，3454，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_ 答案(2，)

20、解析 直线 l 的直角坐标方程为 yx2，由 2cos 24 得 2(cos2sin2)4，直角坐标方程为 x2y24，把 yx2 代入双曲线方程解得 x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)11（2015 广东文）(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为(cos sin)2，曲线 C2的参数方程为 xt2，y2 2t(t 为参数)，则 C1与 C2交点的直角坐标为_ 答案(2，4)解析 曲线 C1的极坐标方程为(cos sin)2，曲线 C1的直角坐标方程为 xy2.曲线 C2的参数方程为 xt

21、2，y2 2t(t 为参数)，则其直角坐标方程为 y28x，联立 xy2，y28x，解得 x2，y4，即 C1，C2的交点坐标为(2，4)二、解答题 12（2015 福建理）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x13cos t，y23sin t(t 为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2sin4m(mR)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值 解析 消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x1)2(y2)29.由 2s

22、in4m，得 sin cos m0.所以直线 l 的直角坐标方程为 xym0.依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即|12m|22，解得 m32 2.13（2015 陕西文）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x312t，y32t(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 解析 (1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32t，又 C(0，3)，则|PC|312t232t 32t212，故当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)