内切球与外接球常见解法.pdf

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1、内切与外接 1 球与柱体 1.1 球与正方体 例 1 棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D的 8 个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A22 B1 C212 D2 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,a b c其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22labcR 例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分

2、的体积为()A.103 B.4 C.83 D.73 1.3 球与正棱柱 精选文库 2 例 3 正四棱柱1111ABCDABC D的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体2222233aRraRrCE，=，解得：66,.412Ra ra 例 4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ()精选文库 3 A.32 63 B

3、.2+2 63 C.4+2 63 D.4 32 63 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 例 5 在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且AMMN,若侧棱 2 3SA,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是_ 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例

4、6 在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC=3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A B.3 C.4 D.43 接球的球心,则2SCR.例 7 矩 形ABCD中，4,3,ABBC沿AC将 矩 形ABCD折 成 一 个 直 二 面 角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积是()精选文库 4 A.12125 B.9125 C.6125 D.3125 3 球与球 对多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 7 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 r 的最大值为（）4 球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位 置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：.例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四