基与维数的几种求法.pdf

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1、线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间 V 中，如果有n个向量n,1满足:(1)n,2,1线性无关。(2)V中任一向量总可以由n,21,线性表示。那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimvn，并称n,2,1为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例 1 设0VX AX，A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组0AX 的任一基础解系都是V的基，且V的维数为nr。例 2 数域P上全体形如0aab的二阶方阵，对矩阵的加法及数

2、与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解 易证0100,1001 为线性空间0,aVa bpab的一组线性无关的向量组，且对V中任一元素0aab有00100+1001aabab 按定义0100,1001 为V的一组基，V的维数为 2。方法二 在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例 3 假定 nR x是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：211,1,1,1nxxx构成 nR x的基。证明 考察1121110nnkkxkx 由1nx的系数为0得0nk，并代入上式可得2nx的系数10nk 依此类推便有110nnk

3、kk，故11,1,1nxx线性无关 又 nR x的维数为n,于是11,1,1nxx为 nR x的基。方法三 利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例 4 设0110A，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式 fA组成的空 间 0110VfAA与 复 数 域C作 为 实 数 域R上 的 线 性 空 间VabiRa,b同构，并非求它们的维数。证明 V中任一多项式可记为=,f AaEbA a bR，建立V到V的如下映射 11111111:,abifAa Eb A a bR 易证是V到V上的单射，满射即一一映射。再设222,ab i 22,a bR KR，则有

4、121212121212aabbiaaEbbA 111111kkakbika Eka Akx 故是V到V的同构映射，所以V到V同构 另外，易证V的一个基为1，i，故dim2V VV dim2V 方法四 利用以下结论确定空间的基：设12,n 与12,n 是n维线性空间V中两组向量，已知12,n 可由12,n 线性表出：11112121nnaaa 21212222nnaaa 1122nnnnnnaaa 令111212122212nnnnnnaaaAaaaaaa 如果12,n 为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，12,n 也是V的一组基。例 5 已知231,x xx是 4p x的一组基，证明 231

5、,1,1,1xxx也是 4p x的一组基。证明 因为 2311 1 000 xxx 2311 1 100 xxxx 22311 1210 xxxx 32311 1 331xxxx 且11110123000120001A 所以 231,1,1,1xxx也为 4p x的一组基。方法五 如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例 6 设 2R x表示次数不超过 2 的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,1xx xx x为这空间的一组基。证明 2212310kxxkxxkx 则121233000kkkkkk 解得3210kkk 于 是22,

6、1xx xx x线 性 无 关，它 们 皆 可 由2,1xx线 性 表 示，因 此22,1xx xx x与2,1xx等价，从而 2R x中任意多项式皆可由22,1xx xx x线性表示，故22,1xx xx x为 2R x的基。方法六 利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个mn矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：00rIB，其中rI表示r阶单位矩阵。依据这两个定理，我们可以很方便地求出12VV的一个基，从而确定了维数。例 7 设112212,VLVL 是数域F上四维线性空间的子空间，且12121,2,1,0,1,

7、1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.求12VV的一个基与维数。解 若12rVV，则存在1212,x xyyF，使 11221122rxxyy（1）即有112211220 xxyy（2）若1212,线性无关，（2）仅当2120 xxyy时成立 那么12VV是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12VV是直和 若存在不全为零的数1212,x xy y使（2）成立，则12VV有可能是非零子空间 若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。以1212,为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵A。11211001211101041103001301170000AA 行初等变换 2121

8、43 1212435,2,3,4r 是12VV的一个基 12dim1VV 同时知，12,是1V的一个基，1dim2V 12,是2V的一个基，2dim2V 1212,是12VV的一个基，12dim=3VVA秩 方法七 在线性空间V中任取一向量，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例 8 求112()VL，与212()VL，的交的基和维数。设12(1,2,1,0)(11,1,1)，12(21,0,1)(11,3,7)，解 任取12VV，则11122Vxx，且21122Vyy，1122112xxyy（注：此时虽然已

9、表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V、2V中的表示，并非本题所求，即要在空间21VV 中将线性表出）11221120 xxyy，求1212,x xy y 121212121222122020300 xxyyxxyyxxyxyy 解得1212(,)(,4,3,)x xy ykkk k 1212(4)(3)(5,2,3,4)kkk 故12VV是一维的，基是(5,2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维 数 公 式：如 果1,2V V是 有 限 维 线 性 空 间V的 两 个 子 空 间，那 么 121212dimdimdimdi

10、mVVVVVV 例 9 已知123,1,2,1,0,1,0,2121,0,1,3,2,3,1,6求由向量12,生成的4p的子空间112,VL 与向量1,2 生成的子空间212,VL 的交与和空间的维数的一组基。解 因为121212,VVL ，对以1212,为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003AB 秩A秩3B，所以12VV的维数是3 且1212,为极大线性无关组，故它们是12VV的一组基。又由12,线性无关知1V的维数为2，同理2V的维数也为2，由维数公式知12VV的维数为2231。从矩阵B易知12122,故123,3,2,3是12,V V公

11、有的非零向量，所以它是交空间12VV的一组基。方法九 由替换定理确定交空间的维数。替 换 定 理：设 向 量 组12,r 线 性 无 关，并 且12,r 可 由 向 量 组12,s 线性表出，那么 1 rs 2必要时可适当对12,s 中的向量重新编号，使得用12,r 替换12,r 后所得到的向量组121,rrs 与向量组12,s 等价。特别，当rs时，向量组12,s 与向量组12,s 等价。例 10 已知向量组12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,设它们是向量组1,23,的线性组合，又设向量组12,mr rr与向量组123,等价，试求12,mr rr生成的空间的交空间的基和维数。解 201304110701031003100310120212021202263306200000 显然1234,线性相关，123,线性无关 由替换定理知123,与123,等价，进而知12,mr rr与123,等价 于是12,mL r rr维数为 3，基为123124,;,L 维数为 2，基为12,因此，12412,mLL r rr 故124,L 与12,mL r rr的交空间的基为12,维数为 2