高中数学-抛物线的简单几何性质412.pdf

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1、 1 抛物线的简单几何性质 一、复习 1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹（定点F不在定直线l上）当10 e时，轨迹是 ；当1e时，轨迹是 ；当1e时，轨迹是 2.抛物线的标准方程（1）开口向右 ；（2）开口向左 ；（3）开口向上 ；（4）开口向下 练习：到定点)5,3(与定直线02132 yx的距离相等的点的轨迹是（）A.圆 B.抛物线 C.线段 D.直线 二、抛物线的几何性质 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 离心率 1.通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，通径长AB 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出

2、反映抛物线基本特征的草图 p2越大，抛物线张口越 2 2.焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 若),(00yxM是抛物线)0(22ppxy上一点，则点M到焦点F的距离MF 注：抛物线的焦半径公式：（1）抛物线)0(22ppxy的焦半径MF （2）抛物线)0(22ppxy的焦半径MF （3）抛物线)0(22ppyx的焦半径MF （4）抛物线)0(22ppyx的焦半径MF 3.焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦 焦点弦长公式：小结：（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线（2）对称性：抛物线只有 条

3、对称轴，对称中心（3）顶点：抛物线只有 个顶点，个焦点，条准线（4）离心率：抛物线的离心率是确定的，等于 （5）通径：抛物线的通径为 ，p2越大，抛物线的张口越 （6）焦半径公式：（7）焦点弦：（8）光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射后变成了 光束 例 1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(MM(,)，求它的标准方程 3 点、直线与抛物线的位置关系 一、点),(00yxP与抛物线)0(22ppxy的位置关系：（1）点P在抛物线上 （2）点P在抛物线外 （3）点P在抛物线内 二、直线与抛物线的位置关系（1）相离：直线与双曲线 公共点（2）相切：直线与双曲线

4、 个公共点（3）相交：直线与双曲线 个公共点 三、直线与抛物线的位置关系的判定：联立直线l：mkxy与抛物线：)0(22ppxy的方程得0)22(222mxpkmxk（1）若0k，则方程仅有 解，直线与抛物线 （个交点）（2）若0k，则 当0时，方程有 解，直线与抛物线 （个交点）当0时，方程有 解，直线与抛物线 当0时，方程有 解，直线与抛物线 注：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的 条件 例 2.已知抛物线的方程为xy42，直线l过定点)1,2(P，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线xy42：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点 4 练习：（1）过点)1

5、,0(M且和抛物线C：xy42仅有一个公共点的直线有 条（2）过点)2,1(P且和抛物线C：xy42仅有一个公共点的直线有 条（3）过点)2,2(Q且和抛物线C：xy42仅有一个公共点的直线有 条 四.弦长问题 设斜率为k的直线与抛物线)0(22ppxy交于),(),(2211yxByxA两点，则弦长 AB 斜率为k的直线上两点间的距离公式 弦长公式 例 3.斜率为1的直线l经过抛物线xy42的焦点F，且与抛物线相交于BA,两点，求线段AB的长 例 4.倾斜角为的直线经过抛物线)0(22ppxy的焦点，与抛物线相交于BA,两点，求线段AB的长 5 结论：倾斜角为的直线经过抛物线)0(22ppx

6、y焦点F，与抛物线相交于点),(11yxA，),(22yxB，则（1）AF ，BF ，AB （2）BFAF11 （3）抛物线的焦点弦中最短的弦为抛物线的 ，最短为 （4）21xx ，21yy 例 5.设点),(),(2211yxByxA是抛物线)0(22ppxy上两动点，若4221pxx，直线AB是否过焦点F？例 6.设点),(),(2211yxByxA是抛物线)0(22ppxy上两动点，若221pyy，直线AB是否过焦点F？6 例 7.设点)0,(aM是抛物线)0(22ppxy的轴上一定点，过点M的直线交抛物线于),(),(2211yxByxA两点，那么21xx和21yy是否都为定值？例 8

7、.过抛物线)0(22ppxy的焦点F任作一条直线l，交抛物线于BA,两点，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切 注：（1）以椭圆焦点弦为直径的圆与相应准线相 （2）以双曲线焦点弦为直径的圆与相应准线相 （3）以抛物线焦点弦为直径的圆与相应准线相 思考：过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线与抛物线相交于点),(),(2211yxByxA，则221pyy，其几何意义是什么？结论：以抛物线焦点弦AB在准线上射影为直径的圆过抛物线的 7 例 9.以抛物线焦点弦AB在准线上射影BA为直径的圆与弦AB切于焦点F 例 10.过抛物线)0(22ppxy的顶点O作抛物线的两条弦OBOA,，若OBOA，求

8、证：直线AB过定点)0,2(p 例 11.过抛物线)0(22ppxy的顶点O作抛物线的两条互相垂直的弦OBOA,，过点O作ABOP 于点P，求点P的轨迹方程 8 例 12.过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线交抛物线于BA,两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴 变式：过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线交抛物线于BA,两点，过点B作抛物线准线的垂线于点D，求证：DOA,三点共线 五、中点弦问题 例 13.已知抛物线xy22，过)1,2(Q作直线与抛物线交于BA,两点，求弦AB中点P的轨迹方程 9 注：抛物线中点差法结论：（1）设抛物线p

9、xy22的弦AB中点为),(00yxP，则ABk （2）设抛物线pyx22的弦AB中点为),(00yxP，则ABk 练习：求以)1,1(为中点的抛物线xy82的弦所在的直线的方程 例 14.求证：抛物线pxy22在点),(00yxP处的切线方程 例 15.过抛物线pxy22外一点),(00yxP作抛物线的切线PBPA,，求证：切点弦AB所在直线的方程为)(00 xxpyy 1 0 例 16.过抛物线pxy22准线上任意一点P作抛物线的切线PBPA,，求证：切点弦AB过抛物线的焦点 例 17.设AB为抛物线pxy22的焦点弦，抛物线在BA,处的切线相交于点P，求证：点P在准线上 说明：该性质对椭圆、双曲线也成立 1 1 六、对称问题 例 18.在抛物线2xy 上存在两个不同的点NM,关于直线l：29kxy对称，求实数k的取值范围 练习.在抛物线2xy 上存在两个不同的点NM,关于直线l：)3(xky对称，求实数k的取值范围