高考数学一轮复习题——第6节二次函数与幂函数276.pdf

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1、第 6 节 二次函数与幂函数 【选题明细表】知识点、方法 题号 幂函数的图象与性质 1,2,3,4,5,6,12 二次函数 7,8,9,10,11,13,14 二次函数、幂函数的综合 15 基础对点练(建议用时:25 分钟)1.(2018安徽合肥三模)已知-1,2,3,若 f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上单调递增,则实数的值是(B)(A)-1,3(B),3(C)-1,3(D),3 解析:因为 f(x)在(0,+)上单调递增,所以0,排除选项 A,C;当=时,f(x)=为非奇非偶函数,不满足条件,排除 D.故选 B.2.(2018四川南充 3 月适应考)若函数 f(x)是幂函数,且满足=3

2、,则 f()等于(A)(A)(B)3(C)-(D)-3 解析:由题意,设 f(x)=x(为常数)因为满足=3,所以=3,所以=log23,所以 f(x)=,所以 f()=.故选 A.3.(2018陕西西安高新一中期中)如图是y=xa,y=xb,y=xc,在第一象限的图象,则 a,b,c 的大小关系为(D)(A)cba(B)abc(C)bca(D)ac1,0c1,aca.故选 D.4.(2018四川遂宁期末)已知幂函数 f(x)=x的图象经过函数g(x)=mx-2-(m0 且 m1)的图象所过的定点,则 f()的值等于(B)(A)1(B)3(C)6(D)9 解析:在 g(x)=mx-2-中,令

3、x=2,得 g(2)=,所以函数 g(x)的图象所过的定点为(2,).由题意知,点(2,)在幂函数 f(x)=x的图象上,所以=2,解得=-1.所以 f(x)=x-1,所以 f()=()-1=3.故选 B.5.(2018福建厦门大学附中期中)若幂函数 f(x)=(m,nN*,m,n互质)的图象如图,则(C)(A)m,n 是奇数,且 1(C)m 是偶数,n 是奇数,且 1 解析:由图知幂函数f(x)为偶函数,且 1,排除B,D;当m,n是奇数时,幂函数 f(x)非偶函数,排除 A.故选 C.6.(2018湖北部分重点中学二联)已知幂函数f(x)=(mZ)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+)上为

4、减函数,则m的值为 .解析:m2-4m 为偶数,且小于 0,即 m2-4m0,解得 0m0,则函数f(x)=4x-2x+1-3(xA)的最小值为(D)(A)4(B)2(C)-2 (D)-4 解析:因为集合 A=x|-2x2,f(x)=(2x)2-22x-3,设 2x=t,则 t0)对于一切实数都有 f(2+x)=f(2-x),则(A)(A)f(2)f(1)f(4)(B)f(1)f(2)f(4)(C)f(2)f(4)f(1)(D)f(4)f(2)0 时,f(2)f(1)f(4),故选 A.10.(2018江南十校期中)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数,若对任意实数 x1,x2都

5、有 f(),则 f(x)图象可能是(C)解析:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数,则 b=0,图象关于 y 轴对称,所以排除 A,D;对任意实数 x1,x2都有 f(),所以函数 f(x)为上凸函数,结合二次函数的性质可得实数 a0,即排除 B.故选 C.11.(2018全国大联考江苏卷)已知函数 f(x)=x2-2|x|+2 的定义域为a,b(ab),值域为2a,2b,则 a+b 的值为 .解析:因为 f(x)=x2-2|x|+2=(|x|-1)2+11,所以 2a1,a,所以 f(x)=x2-2|x|+2=x2-2x+2.当 ab1 时,由题意,得 即 两式相减并化简得(a+b

6、)(a-b)=0,又因为 ab1,所以此时不存在满足条件的 a,b;当 a1b 时,函数 f(x)的最小值为 f(1),所以 2a=f(1)=1,所以 a=,若 b-11-a,则 f(b)=2b,b2-4b+2=0,b=2+或 b=2-(舍去),此时存在满足条件的 a=,b=2+;当 1ab 时,即 a,b 为方程 x2-4x+2=0 的两个根,与 1ab 矛盾,所以不存在满足条件的 a,b.综上,满足条件的 a,b 唯一,所以 a+b=+2+=+.答案:+12.(2018北京11中期末)已知函数f(x)=(2m2+m)xm是定义在0,+)上的幂函数,则 f(4x+5)x 的解集为 .解析:由

7、题意得 2m2+m=1,所以 m=,或 m=-1(舍去).所以x,所以或 所以 0 x5 或-x1)的定义域和值域都为1,a,则 b=.解析:f(x)=x2-2ax+b(a1)的对称轴方程为 x=-=a1,所以函数 f(x)=x2-2ax+b 在1,a上为减函数,又函数在1,a上的值域也为1,a,则即 由得 b=3a-1,代入得 a2-3a+2=0,解得 a=1(舍),a=2.把 a=2 代入 b=3a-1 得 b=5.答案:5 14.(2018河南天一大联考)函数 f(x)=x2-2x+5 在区间0,t+1上的最大值为 5,最小值为 4,则 t 的取值范围为 .解析:f(x)=x2-2x+5

8、 的对称轴是 x=1,当 t+11,t0 时,函数的最大值是 f(0)=5,最小值是 f(t+1)=t2+4=4t=0,故此时 t=0.当 t+11,t0 时函数的最大值为 f(0)或 f(t+1),故只需要 f(t+1)5t1,最小值是在对称轴处取得,f(1)=4.故此时 0t1.综上得到 t 的取值范围为0,1.答案:0,1 15.(2018湖北华中师大附中期中)已知幂函数 f(x)=(p2-3p+3)满足 f(2)f(4).(1)求函数 f(x)的解析式;(2)若函数 g(x)=f2(x)+mf(x),x1,9,是否存在实数 m 使得 g(x)的最小值为 0?若存在,求出 m 的值;若不

9、存在,说明理由;(3)若函数 h(x)=n-f(x+3),是否存在实数 a,b(ab),使函数 h(x)在a,b上的值域为a,b?若存在,求出实数 n 的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为 f(x)是幂函数,所以 p2-3p+3=1,解得 p=1 或 p=2,当 p=1 时,f(x)=x-1,不满足 f(2)f(4),当 p=2 时,f(x)=,满足 f(2)f(4),所以 p=2,所以 f(x)=.(2)令 t=f(x)=,x1,9,则 t1,3,设(t)=t2+mt,t1,3,当-1,即 m-2 时,由题意得(t)min=(1)=m+1=0,解得 m=-1;当 1-3,即-6m-

10、2 时,由题意得(t)min=(-)=-=0,解得 m=0(舍去);当-3,即 m-6 时,由题意得(t)min=(3)=3m+9=0,解得 m=-3(舍去).综上,存在 m=-1 使得 g(x)的最小值为 0.(3)由题意得 h(x)=n-f(x+3)=n-,所以 h(x)在定义域内为单调递减函数;若存在实数 a,b(ab),使函数 h(x)在a,b上的值域为a,b,则 由-,得-=a-b=(a+3)-(b+3),所以+=1,将整理代入得,n=a+=a+1-,令 t=,因为 ab,所以 t0,),又 n=t2-t-2=(t-)2-,故在区间0,)上单调递减,所以-n-2.所以存在实数 a,b

11、(a0,因为 c2+2bc+4c=c(c+2b+4)(+2b+4)=(b2+4b)2,又因为-4b0,所以 b2+4b-4,0),所以(b2+4b)2(0,16,所以 c2+2bc+4c(b2+4b)21,所以 c2+2bc+4c(0,1).故选 D.2.(2017上海长宁区一模)已知函数 f(x)=x2+2x+1,如果使 f(x)kx对任意实数x(1,m都成立的m的最大值是5,则实数k=.解析:设 g(x)=x2+(2-k)x+1.设不等式 g(x)0 的解集为x|axb.则=(2-k)2-40,解得 k4 或 k0,又因为函数 f(x)=x2+2x+1,且 f(x)kx 对任意实数 x(1,m恒成立,所以(1,ma,b,所以 a1,bm,所以 g(1)=4-k4,m 的最大值为 b,所以有 b=5.即 x=5 是方程 g(x)=0 的一个根,把 x=5 代入得 k=.答案: