高考数学一轮复习题——第1节数列的概念与简单表示法389.pdf

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1、第 1 节 数列的概念与简单表示法 【选题明细表】知识点、方法 题号 观察法求通项公式 1 递推公式的应用 3,7,9,14 an与 Sn的关系 2,5 数列的单调性、最值 4,8,12 综合问题 6,10,11,13,15 基础对点练(建议用时:25 分钟)1.(2018南通模拟)如图,关于星星的图案中星星的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是(C)(A)an=n2-n+1 (B)an=(C)an=(D)an=解析:观察所给图案知,an=1+2+3+n=.故选 C.2.(2018济宁模拟)若 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn=,则 等于(D)(A)(B)(C)(D)30 解析:因为

2、当 n2 时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5(5+1)=30.故选 D.3.在数列an中,a1=2,an+1=an+lg(1+),则 an的值为(A)(A)2+lg n (B)2+(n-1)lg n(C)2+nlg n (D)1+nlg n 解析:因为 an+1-an=lg,所以 an=(an-)+(-)+(a2-a1)+a1=lg+lg+lg+2=lg()+2=lg n+2.故选 A.4.设 an=-3n2+15n-18,则数列an中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4 (D)0 解析:因为 an=-3(n-)2+,由二次函数性质得,当 n=2 或 3 时,an最大,此时 an=0

3、.故选 D.5.(2018辽宁省实验中学月考)设数列an的前 n 项和为 Sn,且Sn=2(an-1),则 an等于(C)(A)2n (B)2n-1 (C)2n (D)2n-1 解析:当 n=1 时,a1=S1=2(a1-1),可得 a1=2;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以 an=2an-1,所以数列an为等比数列,公比为 2,首项为 2,所以通项公式为 an=2n.故选 C.6.(2018阜阳模拟)已知函数 f(n)=n2+kn+2(nN*),若 f(n)f(4)恒成立,则实数 k 的取值范围是(C)(A)-9,-6 (B)(-9,-6)(C)-9,-7 (D)

4、(-9,-7)解析:f(4)=18+4k,f(n)f(4),即(4-n)kn2-16,n=1,2,3 时,k(-n-4)min=-7,当 n5 时,k(-n-4)max=-9.故选 C.7.(2018上海交大附中模拟)数列an满足 an=an-1-an-2(n3),a1=5,其前 n 项和记为 Sn,若 S8=9,那么 S100等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)5 解析:由题an为 5,a2,a2-5,-5,-a2,-a2+5,5,a2,即an为以 6 为周期的数列,S8=a2+5=9,a2=4,a3=-1,a4=-5.所以 S100=S166+a1+a2+a3+a4=3.8.(2018

5、河北省保定市模拟)已知函数 f(x)=若数列an满足 an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数 a 的取值范围是 .解析:因为an是递增数列,所以 解得即 2a0,所以 an+1-2an=0,即 an+1=2an(nN+),所以数列an是以 2 为公比的等比数列.因为 a1=2,所以 an=2n.答案:2n 能力提升练(建议用时:25 分钟)11.(2018南宁模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波

6、那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)(a2 015a2 017-)等于(B)(A)1 (B)-1 (C)2 017 (D)-2 017 解析:因为 a1a3-=12-12=1,a2a4-=13-22=-1,a3a5-=25-32=1,a2 015a2 017-=1.所以(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)(a2 015 a2 017-)=11 008(-1)1 007=-1.故选 B.12.(2018西安模拟)已知函数y=f(x)的定义域为R,当x 1,且对任意的实数x,yR,等式 f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列an满足 f(an+1)f()=1(nN*)

7、,且 a1=f(0),则下列结论成立的是(D)(A)f(a2 013)f(a2 016)(B)f(a2 014)f(a2 017)(C)f(a2 016)f(a2 015)解析:因为 f(x)f(y)=f(x+y),所以 f(0)f(0)=f(0),即 f(0)=1 或 f(0)=0,当 f(0)=0 时 f(x)=0 与 x1 矛盾,因此 f(0)=1,由 f(x)f(y)=f(x+y)可得 f(x)f(-x)=f(0)=1,当 x0 时,0f(x)x2,则 f(x2-x1)1,f(x1)f(x2-x1)=f(x2),所以 f(x2)f(x1),因此 y=f(x)为单调减函数,从而 f(an

8、+1)f()=1=f(0),所以an+1+=0.所以 an+2=-,an+3=an,所以 f(a2 013)=f(a2 016),f(a2 014)=f(a2 017),f(a2 016)=f(a3)=f(-2)f(-)=f(a2)=f(a2 015),f(a2 013)=f(a3)=f(-2)f(-)=f(a2)=f(a2 015).故选 D.13.(2018西安模拟)我们可以利用数列an的递推公式an=(nN+),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则 a64+a65=.解 析:由 题 得,这 个 数 列 各 项 的 值 分 别 为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5

9、,11,3,所以 a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.答案:66 14.根据下列条件,确定数列an的通项公式.(1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=(n+1)an;(3)a1=2,an+1=an+ln(1+).解:(1)因为 an+1=3an+2,所以 an+1+1=3(an+1),所以=3,所以数列an+1为等比数列,公比 q=3,首项 a1+1=2,所以 an+1=23n-1,所以 an=23n-1-1.(2)因为 an+1=(n+1)an,所以=n+1.所以=n,=n-1,=3,=2,a1=1.累乘可得 an=n(

10、n-1)(n-2)321=n!.故 an=n!.(3)因为 an+1=an+ln(1+),所以 an+1-an=ln(1+)=ln.所以 an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,a2-a1=ln,累加可得 an-a1=ln+ln+ln=ln n.又 a1=2,所以 an=ln n+2.15.已知数列an中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(nN+),求数列an的通项 公式.解:因为 an+1=2an+3n-1(nN+),a1=-1,所以 a2=0.当 n2 时,an=2an-1+3n-4,由-可得 an+1-an=2an-2an-1+3,即 an+1-an+3=2(an-an-1

11、+3),所以数列an-an-1+3为等比数列,首项为 4,公比为 2.所以 an-an-1+3=42n-2,所以 an-an-1=2n-3.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-3+2n-1-3+22-3-1=-3(n-1)-1=2n+1-3n-2.好题天天练(建议用时:10 分钟)1.(2018吉林百校联盟联考)设Sn为数列an的前n项和,a1=0,若an+1=1+(-1)nan+(-2)n(nN*),则 S100=.解析:当 n 为奇数时,an+1=(-2)n,则 a2=(-2)1,a4=(-2)3,a100=(-2)99,当 n 为偶数时,an+1=2an+(-2)n=2an+2n,则a3=2a2+22=0,a5=2a4+24=0,a99=2a98+298=0,又 a1=0,所以 S100=a2+a4+a100=.答案:2.(2018湖南益阳、湘潭调研)已知Sn为数列an的前n 项和,若a1=2且 Sn+1=2Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=log2an+1,求数列的前 n 项之和.解:(1)由题设得数列Sn是首项为 2,公比为 2 的等比数列.所以 Sn=S12n-1=2n,所以 an=(2)由(1)知 bn=log2an+1=log22n=n,所以=-,所以数列前 n 项之和为(1-)+(-)+(-)=.