高中数学-向量与立体几何习题5475.pdf

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1、课时作业(五)1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是上底面 A1B1C1D1的中心，则 AC1与 CE 的位置关系是()A重合 B垂直 C平行 D无法确定 答案 B 2已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 是等腰直角三角形，ABAC2，CC12，AA1与 AB，AC 都成 60角，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为()A.14 B.155 C.105 D.16 答案 D 3.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，AM12MC1，点 N 为 B1B 的中点，则|MN|等于()A.216 B.66 C.156 D.153 答案 A 4.如图所示，在正方体

2、 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 DD1的中点，N 是 A1B1的中点，则直线 ON 与 AM 的位置关系是()A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法判断 答案 B 5对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有OPxOAyOBzOC(x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由题意，OA，OB，OC构成空间的一个基底，OPxOAyOBzOC(x，y，zR)，则 P，A，B，C 四点共面等价于 xyz1.若 x2，y3，z2，则

3、 xyz1，所以P，A，B，C 四点共面若 P，A，B，C 四点共面，则 xyz1，不能得到“x2，y3，z2.所以“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件 6.如图，在大小为 45的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是()A.3 B.2 C1 D.3 2 答案 D 解析 BF，FE，ED构成空间的一个基底，因为BDBFFEED，所以|BD|2|BF|2|FE|2|ED|22BFFE2FEED2BFED111 23 2，故|BD|3 2.7已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，

4、N 分别是 AB，CD 的中点，则 MN_AB(填“”或“”)答案 8已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VAVBVCVD，若VP13VC，VM23VB，VN23VD，则 VA 与平面 PMN 的位置关系是_ 答案 平行 解析 设VAa，VBb，VCc，则a，b，c构成空间的一个基底，VDacb.由题意知PM23b13c，PN23VD13VC23a23b13c.因此VA32PM32PN，所以VA，PM，PN共面又 VA平面 PMN，所以 VA平面 PMN.9.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 DD1的中点，O 是底面 ABCD 的中心求证：B1O平面 PAC.解析

5、 如图，连接 BD，则 BD 过点 O，令ABa，ADb，AA1c，设|a|b|c|1，ACABADab，OB1OBBB112DBBB112(ABAD)BB112a12bc.ACOB1(ab)12a12bc 12|a|212ab12ab12|b|2acbc12120.ACOB1，即 ACOB1.又APAD12DD1b12c，OB1AP12a12bc b12c 12ab12|b|2cb14ac14bc12|c|212120，OB1AP，即 OB1AP.又 ACAPA，AC，AP平面 PAC，OB1平面 PAC.10在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 E，F，G，H 分别是 CC1，BC，

6、CD 和 A1C1的中点 证明：(1)AB1GE，AB1EH；(2)A1G平面 EFD.证明(1)如图，设正方体棱长为 1，ABi，ADj，AA1k，则i，j，k构成空间的一个单位正交基底.AB1ABBB1ik，GEGCCE12i12k12AB1，AB1GE.EHEC1C1H12k12(ij)12i12j12k，AB1EH(ik)12i12j12k 12|i|212|k|20，AB1EH.(2)A1GA1AADDGkj12i.DFDCCFi12j，DEDCCEi12k.A1GDFkj12i i12j 12|j|212|i|20，A1GDF.A1GDEkj12i i12k 12|k|212|i|

7、20，A1GDE.又 DEDFD，DE，DF平面 EFD，A1G平面 EFD.11在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，H 分别在棱 BB1，BC，BA 上，且满足BM34BB1，BN12BC，BH12BA，O 是平面 B1HN、平面 ACM 与平面 B1BDD1的一个公共点，设BOxBHyBNzBM，则 xy3z()A.105 B.125 C.145 D.165 答案 C 解析 BH，BN，BM构成空间的一个基底，如图，设 Q 为 AC 与 BD 的交点，P 为 BQ 的中点，连接 MQ，B1P，O 为 MQ 与 B1P 的交点 过P 作 PTMQ 交 BB1于 T.则

8、 T 为BM的中点，所以 MT12BM1234BB112344MB132MB1.所以B1O23OP，因此BO35BB125BP3543BM2512(BHBN)45BM15BH15BN，因为BOxBHyBNzBM，所以 z45，x15，y15，所以 xy3z145.12.【多选题】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于 1，BAA1CAA160.设AA1a，ABb，ACc，则()A.BC1abc B|BC1|2 CBC1A1B1 D异面直线 AB1与 BC1所成角的正切值为 5 答案 BCD 解析 以a，b，c为空间的一个基底，BC1BB1B1C1BB1A1C1A1B1AA1

9、ACABacb，A 不正确 因为 ab|a|b|cosBAA111cos 6012，同理可得 acbc12，所以|BC1|（acb）2a2c2b22ac2ab2cb111111 2，B 正确因为A1B1ABb，所以A1B1BC1b(acb)babcb2121210，C 正确因为AB1ab，所以|AB1|（ab）2a2b22ab111 3，因为AB1BC1(ab)(acb)a2acabbacbb211212121211.所以 cosAB1，BC1AB1BC1|AB1|BC1|13 266，sinAB1，BC11662306，tanAB1，BC1 5.所以异面直线 AB1与 BC1所成角的正切值为

10、 5，D 正确 13.【多选题】如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC2，BAA123，CAA13，ABAC1，AA12，点 O 是 B1C 与 BC1的交点则下列结论正确的是()A.AO12(ABACAA1)B|AO|32 CAOBC D平面 ABC平面 B1BCC1 答案 AD 解析 AOABBOAB12(BCBB1)AB12(ACABAA1)12(ABACAA1)，A 正确设ABa，ACb，AA1c，则a，b，c构成空间的一个基底|AO|212（abc）214(a2b2c22ab2bc2ac)14(1140212cos 3212cos 23)32，所以|AO|62，B 不正确因

11、为BCba，所以AOBC12(abc)(ba)10，C不正确 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，则AE12(ABAC)12(ab)因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC.又AEBB112(ab)c12(12cos 2312cos 3)0，所以AEBB1.因为 BCBB1B，BB1，BC平面 B1BCC1，所以 AE平面 B1BCC1.又 AE平面ABC，所以平面 ABC平面 B1BCC1，D 正确 14 空间四边形 OABC 的各边及对角线长均为 2，E 是 AB 的中点，F 在 OC 上，且OF2FC.(1)用OA，OB，OC表示EF_；(2)向量OE与向量BF所成角的余

12、弦值为_ 答案(1)12OA12OB23OC(2)5 2142 解析(1)OA，OB，OC构成空间的一个基底，因为 E 是 AB 的中点，F 在 OC 上，且OF2FC，所以OE12(OAOB)，OF23OC，于是EFOFOE 23OC12(OAOB)12OA12OB23OC.(2)由(1)得OE12(OAOB)，BFOFOB23OCOB，因此|OE|12|OAOB|124422212 3，|BF|23OCOB49444322122 73，又因为OEBF12(OAOB)23OCOB53，所以向量OE与向量BF所成角的余弦值 cos OE，BFOEBF|OE|BF|5332 735 2142.1

13、5在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 M 满足AMxAByAC(xy1)AD，点 N 满足BNBA(1)BC，当 AM，BN 最短时，AMMN等于()A43 B.43 C13 D.13 答案 A 16.在如图所示的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知 ABAA1AD，BADDAA160，BAA130，N 为 A1D1上一点，且 A1NA1D1.若 BDAN，则 的值为_ 答案 31 1.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33 答案 C 解析 设BAa，B

14、Cb，BB1c，则|a|2，|b|c|1，AB1ca，BC1bc，ab|a|b|cosABC21cos 1201，acbc0，|AB1|ca|5，|BC1|bc|2，AB1BC1(ca)(bc)bcc2abac01(1)02，所以 cosAB1，BC1AB1BC1|AB1|BC1|25 2105.所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为105.2.如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则 OA 与 BC 所成角的余弦值为()A.32 25 B.2 26 C.12 D.32 答案 A 解析 因为OABA86cos 6024，OAAC84c

15、os 13516 2.设异面直线 OA与 BC 的夹角为，则 cos|OABC|OA|BC|OA（BAAC）|OA|BC|2416 28532 25.3.【多选题】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是()AAC16 6 BAC1DB C向量B1C与AA1的夹角是 60 DBD1与 AC 所成角的余弦值为63 答案 AB 解析 设AA1a，ABb，ADc，则a，b，c是空间的一个基底因为以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60，所以AA1ABAA1ADADA

16、Babaccb66cos 6018，|AC1|2(AA1ABAD)2(abc)2a2b2c22ab2bc2ac3636363218216，则|AC1|abc|6 6，A 正确.AC1DB(abc)(bc)abacb2bccbc20，B 正确连接 A1D，显然AA1D 为等边三角形，则AA1D60.因为B1CA1D，且向量A1D与AA1的夹角是 120，所以B1C与AA1的夹角是120，C 不正确因为BD1cab，ACbc，所以|BD1|（cab）26 2，|AC|（bc）26 3，BD1AC(cab)(bc)36，所以 cosBD1，ACBD1AC|BD1|AC|366 26 366，D 不正

17、确 4.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BC1与 B1C 相交于点 O，A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则线段 AO 的长度为()A.292 B.29 C.232 D.23 答案 A 5正四面体 ABCD 中，M，N 分别为棱 BC，AB 的中点，则异面直线 DM 与 CN 所成角的余弦值为_ 答案 16 6.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC2，AA13，E 为 CC1上的点，且 CE1，求异面直线 AB1，BE 所成角的余弦值 解析 AB1BE(ABBB1)(BCCE)ABBCABCEBB1BCBB1CE00033.依题意，易知|AB1|10，|BE|5，所以 cosAB1，BEAB1BE|AB1|BE|310 53 210.即异面直线 AB1，BE 所成角的余弦值为3 210.