2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲第2课时定点定值范围最值问题配套练习文北师大版6127.pdf

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1、.第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 A.错误!B2,2 C1,1 D4,4 解析 Q,设直线l的方程为yk,代入抛物线方程,消去y整理得k2x2x4k20,由24k24k2640,解得1k1.答案 C 2已知P为双曲线C：错误!错误!1 上的点,点M满足|错误!|1,且错误!错误!0,则当|错误!|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为 A.错误!B.错误!C4 D5 解析 由错误!错误!0,得OMPM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|

2、OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点,而双曲线的渐近线为 4x3y0,所求的距离d错误!,故选 B.答案 B 3已知椭圆C的方程为错误!错误!1,如果直线y错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为 A2 B2错误!C8 D2错误!解析 根据已知条件得c错误!,则点在椭圆错误!错误!1上,错误!错误!1,可得m2错误!.答案 B 4若双曲线错误!错误!1的渐近线与抛物线yx22 有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A3,B C1,3 D 解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y错误!x,与抛物线方程联立消去y得x2错误!x20.渐近线与抛物线有交点,错误

3、!80,求得b28a2,c错误!3a,e错误!3.答案 A 5斜率为 1 的直线l与椭圆错误!y21 相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 A2 B.错误!C.错误!D.错误!解析 设A,B两点的坐标分别为,直线l的方程为yxt,由错误!消去y,得 5x28tx40,则x1x2错误!t,x1x2错误!.|AB|错误!|x1x2|错误!错误!错误!错误!错误!错误!,当t0 时,|AB|max错误!.答案 C 二、填空题 6 已知双曲线错误!错误!1的一条渐近线方程是y错误!x,它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同,则双曲线的方程为_ 解析 由条件知双曲线的焦点为,所以错误!解得a2,b2

4、错误!,故双曲线方程为错误!错误!1.答案 错误!错误!1 7已知动点P在椭圆错误!错误!1 上,若A点坐标为,|错误!|1,且错误!错误!0,则|错误!|的最小值是_ 解析 错误!错误!0,错误!错误!.|错误!|2|错误!|2|错误!|2|错误!|21,椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|错误!|min2,|错误!|min错误!.答案 错误!8 若双曲线x2错误!1的一条渐近线与圆x221 至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是_ 解析 双曲线的渐近线方程为ybx,则有错误!1,解得b23,则e21b24,e1,1e2.答案 1,2 三、解答题 9.如图,椭圆E：错误!错误!1b0的

5、离心率是错误!,点P在短轴CD上,且.错误!错误!1.求椭圆E的方程；设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点是否存在常数,使得错误!错误!错误!错误!为定值？若存在,求的值；若不存在,请说明理由 解 由已知,点C,D的坐标分别为,又点P的坐标为,且错误!错误!1,于是错误!解得a2,b错误!.所以椭圆E方程为错误!错误!1.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykx1,A,B的坐标分别为,联立错误!得x24kx20.其判别式280,所以,x1x2错误!,x1x2错误!.从而,错误!错误!错误!错误!x1x2y1y2 x1x2 x1x2k1 错误!错误!2.所以,当1 时,错误

6、!23.此时,错误!错误!错误!错误!3 为定值 当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,此时错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!213,故存在常数1,使得错误!错误!错误!错误!为定值3.10如图,设椭圆错误!y21 求直线ykx1 被椭圆截得的线段长；若任意以点A为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围 .解 设直线ykx1 被椭圆截得的线段为AM,由错误!得x22a2kx0.故x10,x2错误!,因此|AM|错误!|x1x2|错误!错误!.假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|AQ|.记直线AP,A

7、Q的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由知|AP|错误!,|AQ|错误!,故错误!错误!,所以1k错误!k错误!a2k错误!k错误!0.由于k1k2,k1,k20 得 1k错误!k错误!a2k错误!k错误!0,因此错误!错误!1a2,因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是 1a21,所以a错误!.因此,任意以点A为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点的充要条件为 1a错误!,由e错误!错误!得,所求离心率的取值范围是错误!.11 设双曲线C：错误!错误!1的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0,若x01,则双曲线C的离心率e的取值范围是 A.错误!B C D.错误!解

8、析 不妨联立y错误!x与y2x的方程,消去y得错误!x2x,由x01 知错误!1,即错误!1,故e22,又e1,所以 1e错误!,故选 C.答案 C 12已知双曲线错误!错误!1的离心率为 2,它的两条渐近线与抛物线y22px的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点 若AOB的面积为错误!,则抛物线的准线方程为 Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 解析 因为e错误!2,所以c2a,b错误!a,双曲线的渐近线方程为y错误!x,又抛物线的准线方程为x错误!,联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A错误!,B错误!,在AOB中,|AB|错误!p,点O到AB的距离为错误!,所以错误!错误!p错误!错误!

9、,所以p2,所以抛物线的准线方程为x1,故选 D.答案 D 13若点O和点F分别为椭圆错误!错误!1 的中点和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则错误!错误!的最小值为_.解析 点P为椭圆错误!错误!1 上的任意一点,设P,依题意得左焦点F,错误!,错误!,错误!错误!xy2x2x错误!错误!错误!2错误!.3x3,错误!x错误!错误!,错误!错误!2错误!,错误!错误!错误!2错误!,6错误!错误!2错误!12,即 6错误!错误!12,故最小值为 6.答案 6 14 已知椭圆C：错误!错误!1短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线 3x4y60 与圆x22a2相切 求椭圆C的方程；已知

10、过椭圆C的左顶点A的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点,且l1l2,求证：直线MN过定点,并求出定点坐标；在的条件下求AMN面积的最大值 解 由题意,得错误!错误!即C：错误!y21.由题意得直线l1,l2的斜率存在且不为 0.A,设l1：xmy2,l2：x错误!y2,由错误!得y24my0,M错误!.同理,N错误!.m1 时,kMN错误!,lMN：y错误!错误!.此时过定点错误!.m1 时,lMN：x错误!,过点错误!.lMN恒过定点错误!.由知SAMN错误!错误!|yMyN|错误!错误!8错误!错误!错误!.令t错误!2,当且仅当m1 时取等号,SAMN错误!,且当m1 时取等号 max错误!.