(完整版)线性代数历年考研试题之填空题.pdf

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1、线性代数历年考研试题精解-1-一、填空题 1.(1987,)已知三维线性空间的一组基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)aaa,则向量(2,0,0)u 在上述基底下的坐标是 .【考点】向量在基下的坐标.解 方法一:设1 12233ux ax ax a,得方程组1213232,0,0,xxxxxx解得1231,1,1xxx.方法二:11 1223312323(,)aux ax ax ax xxaa,解矩阵方程得1231,1,1xxx.【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的.2.(1988,)设4 4矩阵234234(,),(,)AB ,其中2

2、34,均为4 维列向量,且已知行列式4,1AB,则行列式AB .【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质.解 23423422288()40ABAB.【注意】ABAB.3.(1988,)1110110110110111 .【考点】行列式的计算.方法一:11101110111011101101001101110111310110101010100120111011100110003.方法二:4(4 1)21111111111010010333(1)1(1)(1)(1)31011010001111000D .【注】副对角行列式 线性代数历年考研试题精解-2-1(1)2212(1)n nnn.4.(19

3、88,)10001001001001000 .【考点】求逆矩阵.解 方法一:0001100010000001001001000100001001000010001001001000000100011000r,所以 100010001001000100100010010001000.方法二:利用分块矩阵求逆公式得到.【注】111OAOBBOAO.方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将 4 阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵(1,4)E.【注】1(,)(,)Ei jE i j.5.(1989,)设矩阵300100140,010003001AI,则逆矩阵1(2)AI .【考

4、点】分块矩阵求逆.解 11100100112120(2)01221001001BOBOAIAIOO.【注】(1)111AOAOOBOB;线性代数历年考研试题精解-3-(2)1dbabcaabcdcd.6.(1989)齐次线性方程组1231231230,0,0 xxxxxxxxx只有零解,则应满足的条件是 .【考点】齐次线性方程组解的理论.解 n个方程n个未知数的齐次线性方程组11n nnnAXO只有零解()0R AnA,即 21111(1)01111A.7.(1989)行列式1111111111111111xxxx .【考点】行列式的计算.解 1124111111111111111111111

5、1111111jcccxjxxxxxxDxxxxx 2131414 342100100(1)1.1001000ccccccxxxxx x xxx 8.(1990,)已知向量组 1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是 .【考点】向量组秩的计算.解 12341234123423451111()2.3456000045670000rAR A 线性代数历年考研试题精解-4-9.(1990 ,)若 线 性 方 程 组121232343414,xxaxxaxxaxxa 有 解,则 常 数1234,a a a a应 满 足 条件 .【考点】非

6、齐次线性方程组解的理论.解 非齐次线性方程组有解()()R AR B.1122331234411001100011001100011001100001001raaaaBA baaaaaaa,则 12340aaaa.10.(1991,)设 4 阶方阵5200210000120011A,则A的逆阵1A .【考点】分块矩阵求逆.解 1A111200522500211200331211110033OO.11.(1991)设A和B为可逆矩阵,OAXBO为分块矩阵,则1X .【考点】抽象分块矩阵求逆.解 设111212122XXXXX,由111221221212211122XXAXAXEOOAXXBXBX

7、OEBO,得 21122111112212211122,AXEAXOXO XBXAXOBXOBXE,所以111OBXAO.线性代数历年考研试题精解-5-12.(1991)n阶行列式0000000000000000ababaabba .【考点】行列式的计算.解 把行列式按第 1 列展开,得 110000000000000(1)(1)0000000000000nnnnabbababDababababaab .13.(1992,)设1 11 212 122212nnnnnnabababa ba ba bAa ba ba b,其中0,0(1,2,)iiabin,则矩阵A的秩()R A .【考点】矩阵秩

8、的计算.解 111 11 212000()1000iinarrai na ba ba bAR A.14.(1992 )设A为m阶 方 阵,B为n阶 方 阵,且,OAAa Bb CBO,则C .【考点】行列式的性质.解 (1)mmmnnnOAAOCBOOB从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mnmnAB(1)mnab.15.(1992)矩阵1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A的非零特征值是 .线性代数历年考研试题精解-6-【考点】特征值的计算.解 方法一:311111111(4)11111111AE,则4为所求.方法二:A为实对称矩阵且()1R A,则A只有一个非

9、零特征值;又A的主对角线元素之和为 4,则所求非零特征值为 4.【注】(1)若A为实对称矩阵,则()R AA的非零特征值的个数.事实上,由A为实对称矩阵,则存在可逆矩阵P,使得 112,nP APdiag ,其中12,n 为A的特征值,所以 12()(),nR AR 中非零的个数.(2)A的特征值之和等于A的对角线元素之和.16.(1993,)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1n,则线性方程组0Ax 的通解为 .【考点】齐次线性方程组解的结构.解 A的秩为1n,则线性方程组0Ax 的基础解系所含解向量的个数为()(1)1nR Ann.由A的各行元素之和均为零,知向量(1,1,1)T

10、是线性方程组0Ax 的一个非零解,故线性方程组0Ax 的通解为 (1,1,1),Txkk为任意常数.【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决.17.(1993,)设四阶方阵A的秩为 2,则其伴随矩阵*A的秩为 .【考点】A的秩与其伴随矩阵*A的秩的关系.解 *()234 1()0R AR A.【注】*,(),()1,()1,0,()1.nR AnR AR AnR An若若若 线性代数历年考研试题精解-7-18.(1994,)已知1 1(1,2,3),(1,)2 3,设TA,其中T是的转置,则nA .【考点】矩阵的基本运算.解 ()()()()()()()nTn

11、TTTTTTTA 111111232()()()32133312TTnTnTn.【注意】T为常数,而T 为方阵.19.(1994,)设0,1,2,iain,且121000000000000nnaaAaa,则1A .【考点】分块矩阵求逆.解 1111211211nnnnOaaaaOAaOaaOa 1111211000000000000nnaaaa.20.(1995,)设三阶方阵,A B满足关系式16A BAABA,且100310041007A,则B .【考点】解矩阵方程.线性代数历年考研试题精解-8-解 由16A BAABA得16()3,2,1BA EAdiag.【注】11111221nn,其中

12、12,n 全不为零.21.(1995,)设100220345A,*A为A的伴随矩阵,则*1()A .【考点】逆矩阵的性质.解 由*1*11001011()0553211052AAA AAA.【注意】当A可逆时,*1()AAA.22.(1996 ,)设A是4 3矩 阵,且A的 秩()2R A,而102020103B,则()R AB .【考点】矩阵秩的性质.解 由100B 知B可逆,则()()2R ABR A.【注】当,P Q可逆时,()()()()R PAQR PAR AQR A,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩.23.(1996)设 11232222212331111123111

13、111,11nnnnnnnxaaaaxAaaaaXBxaaaax ,其中(;,1,2,)ijaa ij i jn,则线性方程组TA XB的解是X .【考点】求解非齐次线性方程组.线性代数历年考研试题精解-9-解 由范德蒙行列式,得1()0Tijj i nAaa ,方程组有惟一解.显然(1,0,0)Tx 为方程组的解.24.(1996)五阶行列式 100011000110001100011aaaaDaaaaa .【考点】行列式的计算.解 100010001100110001100110001100110000100011aaaaaaaaDaaaaaaaa 54400001000()0100001

14、00001aaDaDaaa,则 5432543251()()()()1DaaaaDaaaaa 54321aaaaa.【注意】本题的递推公式为554()DaD,不是554DaD.25.(1997)设12243311At,B为三阶非零矩阵,且0AB,则t .【考点】矩阵秩的性质(或齐次线性方程组解的理论).解 方法一:由0AB,得()()3R AR B;又BO,得()1R B,则()230R AA.12212243011311003rAtt.则303tt .或 由72103Att .线性代数历年考研试题精解-10-方法二:由0AB 且BO,得0Ax 有非零解,所以()230R AA.以下同方法一.

15、26.(1997)已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,0),(0,4,5,2)t的秩为 2,则t .【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.解 12312111211200042204520030rAttt,则303tt .27.(1997)若二次型2221231231223(,)22f x xxxxxx xtx x是正定的,则t的取值范围是 .【考点】正定二次型(霍尔维茨定理).解 二次型的矩阵210112012tAt为正定122320,2110,2211102ttA .【注意】与具体的二次型的正定性有关的问题,一般都是用霍尔维茨定理直接解决.28.(1997)设n阶矩阵011111011

16、1110111110111110A,则A .参考 1988,.答案:1(1)(1)nn.29.(1998)设A为n阶矩阵,*0,AA为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则*2()AE必有特征值 .【考点】特征值的性质.答案:2()1A.【注】(1)若为可逆矩阵A的特征值,则A为*A的特征值,且有相同的特征向量.(2)若为矩阵A的特征值,则10()mmaaa 为 线性代数历年考研试题精解-11-10()mmAa Aa Aa E 的特征值,且有相同的特征向量.30.(1998,)设矩阵,A B满足*28A BABAE,其中100020,001AE为单位矩阵,*A为A的伴随矩阵,则B .

17、【考点】解矩阵方程.解 由*282828A BABAEA BAABAAA BABE 1(2)88(2)(2,4,2)AA E BEBAA Ediag.【注意】如果矩阵方程中含有*1,AA,利用 *AAA AA E 及 11AAA AE 消去矩阵方程中的*1,AA,以简化计算量.31.(1998)设,A B均为n阶矩阵,2,3AB,则*12A B .【考点】矩阵运算的性质.解 211*1*12222/3nnnnA BABAB.【注】1*11;.nnnkAkAk AAAAA 32.(1999)设n阶矩阵A的元素全为 1,则A的n个特征值是 .参考 1992.答案:1,0,0.nn 33.(1999

18、,)设101020101A,而2n 为正整数,则12nnAA .【考点】矩阵幂的计算.解 212222(2).nnnAAAAAAAO 34.(1999)已知ABBA,其中120210002B,则A .【考点】解矩阵方程.线性代数历年考研试题精解-12-解 由111021()102002ABBAAB BE.35.(2000)已知方程组12312112323120 xaxax 无解,则a .【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 方法一(一般方法):非齐次线性方程组无解()()R AR B.12111211(|)232301112000(1)(3)3rBA baaaaaa,所以当1a 时,()2,(

19、)3R AR B,方程组无解.方法二(特殊方法):n个方程n个未知量的非齐次线性方程组无解或无穷多解0A.2121232230112Aaaaaa 或3a.当1a 时,()2,()3R AR B,方程组无解;当3a 时,()()2R AR B,方程组有无穷多解.36.(2000)设10002300,04500067AE为 4 阶单位矩阵,且1()()BEAEA,则1()EB .【考点】矩阵运算及其性质.解 11()()()()BEAEAEBEEAEA 1100012001()()2()().023020034EA EBEEBEA 线性代数历年考研试题精解-13-37.(2000 )若 四 阶 矩

20、 阵A与B相 似,A的 特 征 值 为1 1 1 1,2 3 4 5,则 行 列 式1BE .【考点】相似矩阵与特征值的性质.解 方法一:A与B相似,则A与B有相同的特征值,即B的特征值为1 1 1 1,2 3 4 5,1B的特征值为2,3,4,5,1BE的特征值为1,2,3,4,所以11 2 3 424BE .方法二:A与B相似,则A与B有相同的特征值,即B的特征值为1 1 1 1,2 3 4 5,从而B可对角化,即存在可逆矩阵P,使得11 1 1 1(,)2 3 4 5P APdiag ,则 111111111()BP PBEPPEPPPEPPE P 1111()24BEPE PE.38.

21、(2000)设(1,0,1)T,矩阵,TAn为正整数,则naEA .【考点】矩阵幂的计算.解 方法一:111101()()2()2000101nTnTnTnA,则 2(2)nnaEAaa.方法二:A的特征值为2,0,0T,则naEA的特征值为2,naa a,所以 2(2)(2)nnnaEAaaaaa.【注】若12(,)Tna aa,则TA的特征值为211,0,0niina.39.(2000)已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,E为四阶单位矩阵,则BE .参考 37.(2000).答案24.40.(2001)设矩阵A满足24AAEO,其中E为单位矩阵,则1()AE .【考点】抽象

22、矩阵的逆矩阵.解 由21224()().22AEAEAAEOAEEAE 【注意】设()0A,其中()A为A的多项式,求1()kAlE的方法是:将()0A化成 线性代数历年考研试题精解-14-()()kAlE h AE 的形式,从而1()().kAlEh A 41.(2001)设方程组123111111112axaxax有无穷多个解,则a .参考 35.(2000).答案:2.a 42.(2001,)设矩阵111111111111kkAkk,且秩()3A,则k .【考点】含有参数的矩阵的秩的讨论.解 11101010011000(1)(3)kkkAkkkk,显然3k 时()3R A.或 3(3)

23、(1)01Ak kk或3k .当1k 时()1R A;当3k 时()3R A.43.(2001)设行列式3040222207005322D,则第四行各元素余子式之和的值为 .【考点】行列式按行(或列)展开定理.解 4142434441424344304022222807001111MMMMAAAA .【注意】已知行列式,求其余子式(或代数余子式)的线性组合的值时,一般用上面所介绍的方法.44.(2002)已知实二次型 222123123121323(,)()444f x xxa xxxx xx xx x 经正交变换xPy可化成标准形216fy,则a .【考点】二次型的标准形理论.线性代数历年考

24、研试题精解-15-解 方法一:二次型的矩阵222222aAaa.由题意知()1R A.2202200(2)(4)raAaaaa,显然,当2a 时,()1R A.或 21(4)(2)022Aaaa或4a .当2a 时()1R A;当4a 时()2R A.【注意】若二次型Tfx Ax的标准形为2221122nnfyyy,则 12(),nR A 中不为零的个数.方法二:二次型的矩阵222222aAaa.由题意知,A的特征值为6,0,0,则 6002aaaa.【注意】二次型Tfx Ax经正交变换xPy化成标准形2221122nnfyyy,则12,n 为二次型矩阵A的特征值;若二次型Tfx Ax经可逆变

25、换xPy化成标准形2221122nnfyyy,则12,n 不一定是二次型矩阵A的特征值.即相似矩阵有相同的特征值,但合同矩阵不一定有相同的特征值.45.(2002)矩阵022222222的非零特征值是 .【考点】特征值的计算.解 2(4)040AE.46.(2002)设三阶矩阵122212304A,三维列向量(,1,1)Ta.已知A与线性相关,则a .【考点】矩阵的乘法和向量组线性相关的概念.线性代数历年考研试题精解-16-解 2334(,23,34)111TaaaAaaaaa.【注意】两个向量线性相关的它们对应的分量成比例.47.(2002)设矩阵211,3223ABAAE,则1B .【考点

26、】矩阵的运算.解 21()(2)20BAEAE.48.(2002)设向量组123(,0,),(,0),(0,)acb ca b线性无关,则abc必满足关系式 .【考点】向量组线性无关的判别定理.解 123002000acbcabcabcab.【注】n维向量组12,n 线性相关1212(,),0nnRn .49.(2003 )从2R的 基1211,01 到 基1211,12 的 过 渡 矩 阵为 .【考点】过渡矩阵的概念.解 设A为所求的过渡矩阵,则 112121212AA.【注】设A由基12,n 到基12,n 的过渡矩阵,则 1212,nnA ,即将向量组12,n 由12,n 线性表示的系数矩

27、阵.50.(2003)设为3维列向量,T是的转置,若111111111T,则T .【考点】矩阵的乘法.解 设2222223TTxxxyxzyxyyyzxyzzxzyzy .51.(2003 )设 三 阶 方 阵,A B满 足2A BABE,其 中E为 三 阶 单 位 矩 阵,若线性代数历年考研试题精解-17-101020201A,则B .【考点】矩阵的运算.解 02()()()A EA BABEAEAE BAEAE BE 112AEBB.52.(2003 ,)设n维 向 量(,0,0,),0Taaa;E为n阶 单 位 矩 阵,矩 阵1,TTAEBEa,其中A的逆矩阵为B,则a .【考点】可逆矩

28、阵的概念及矩阵运算的性质.解 11()()(21)TTTEABEEEaaa 011(21)2101TOaTaOaaaa .53.(2003)设,A B均为三阶方阵,E为三阶单位矩阵,已知2022,040202ABAB B,则1()AE .【考点】矩阵的运算.解 100122()(2)2()0102100BEABABAE BEEAE.54.(2004,)设矩阵210120001A,矩阵B满足*2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B .【考点】矩阵的运算.解 *12(2)21.9ABABAEAE BAEAE B AB 55.(2004)二次型222123122331(,)()(

29、)()f x xxxxxxxx的秩为 .【考点】二次型秩的概念.线性代数历年考研试题精解-18-解 方法一:二次型的矩阵211121()2()2112AR AR f.【注】二次型的秩等于二次型矩阵的秩.方法二:作可逆线性变换11222222222312121233,3,()2()22yxxyyxxfyyyyyyyx,则()2R f.【注】可逆线性变换不改变二次型的秩.56.(2004)设1010100,001ABP AP,其中P为三阶可逆矩阵,则200422BA .【考点】矩阵的运算.解 24 1,1,1AdiagAE,则 2004212004212222223,3,1BAP APAP PAEAdiag.57.(2004)设3 3()ijAa是实正交矩阵,且111,(1,0,0)Tab,则线性方程组Axb的解是 .【考点】正交矩阵的性质及非齐次线性方程组解的理论.解 10A 线性方程组Axb有惟一解.设12132122233132331aaAaaaaaa,由TAAE,得 1213213121222312223231323313233311100010001aaaaaaaaaaaaaaaa,则12131aa为线性方程组Axb的解,故2212131213110aaaa,所以线性方程组Axb的解为100 .