高中数学-对数函数与幂函数试卷11与解析89.pdf

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1、试卷第 1 页，共 4 页 2022 学年度高一数学练习卷（11）一、单选题（共 40 分）1已知函数 3f xxmmx在区间 1,3上的最大值是 4，则实数m的取值范围是（）A,3 B1,3 C,1 D3,2已知偶函数()f x在区间0,上单调递减，则满足(21)(1)fxf的实数 x的取值范围是（）A,1 B1,C0,1 D1,12 3 已知函数()yf x是定义在 R 上的奇函数，且满足(2)()0f xf x，当 1,0 x 时，()21xf x，则13()2f=（）A8 21 B2 21 C21 D212 4 函数()yf x是 R 上的奇函数，当0 x 时，()2xf xx，则当0

2、 x 时，()f x（）A2xx B2xx C2xx D2xx 5若点(,27)m在幂函数()(2)nf xmx的图象上，则函数()g xnxxm的值域是（）A0,2 B0 C 2,2 D2,3 6已知函数 2f xxxa，下列命题中错误的是（）Aa R，使得 f x是偶函数 Ba R，f x都不是 R 上的单调函数 C0a，使得 f x有三个零点 D若 f x的最小值是54，则1a 7设函数 fx的图象关于点 1,1对称，则下列函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x 8若定义在R上的函数 f x满足 232f xfxxx，则 f x的单调递增区间为（）A

3、,10 和 0,1 B,5 和 0,1 C10,0和1,D5,0和1,试卷第 2 页，共 4 页 二、多选题（共 20 分）9 对于定义域为I函数()f x，若满足12,x xI，12xx，都有 121222fxfxxxf，我们称()f x为“下凸函数”，比如函数2()f xx即为“下凸函数”对于“下凸函数”，下列结论正确的是（）A一次函数()f xkxb有可能是“下凸函数”B二次函数2()f xaxbxc为“下凸函数”的充要条件是0a C函数()(0)kf xxxx为“下凸函数”的充要条件是0k D函数21()(0)f xxxx是“下凸函数”10 f x是定义在R上的函数，若 2f xx是奇

4、函数，f xx是偶函数，函数 ,0,141,1,f xxg xg xx，则下列选项正确的有（）A 22f B21216N212kgkkg C2022202522g D当1,2x时，24128g xxx 11给出以下四个命题中正确的（）A若集合,Ax y，20,Bx，AB，则1x，0y B函数 1f xx的单调递减区间是,00,C 21,11,1a xxf xxa xx在R上是增函数，则实数a的取值范围是122a D若 f xyf x f y，且 11f，则 242018202020201320172019ffffffff 12已知函数()=eexxf x，则下列说法错误的是（）A()f x有最

5、大值 B()f x有最小值 C00 x，使得 00fxf x Dx R，都有()()fxf x 试卷第 3 页，共 4 页 三、填空题（共 20 分）13已知函数 222f xm xmxmm，33g xx，若对于任意的xR，0f x 和 0g x 至少有一个成立，则实数m的取值范围是_ 14已知1()393xf xx则此函数的定义域是_.15已知函数2()57(0)mf xmmxx是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m _ 16已知函数 223,22xfxxxg xfm，若对122,4,1,2xx，使得 12f xg x，则实数m的取值范围为_ 四、解答题 （共 70 分）17（10 分）(

6、1)求值：113202581(e)9274；(2)化简3322411423a babba ba 18 已知命题:p二次函数221yxax在(,0上单调递减；命题:q不等式21xax 对xR恒成立.(1)若 q为真命题，求实数 a 的取值范围：(2)若 pq 中有且只有一个为真命题，求实数 a 的取值范围.（12 分）19近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入 500 万元，每生产 x百台检测仪器还需要投入 y万元，其中0100 x，Nx，且23

7、14,05080002207500,50100,40 xxxyxxx每台检测仪售价 2 万元，且每年生产的检测仪器都可以售完(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润 L x（万元）关于年产量 x（百台）的函数关系式；(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值 （12 分）试卷第 4 页，共 4 页 20已知函数2()1f xxa x(1)当2a 时，求()f x的值域；(2)若存在xR，使得不等式()22f xx成立，求 a的取值范围；(3)讨论函数()f x在0,上的最小值 （12 分）21若函数2()21(0)g xaxaxb a 在区间2,3上有最大值 4 和最小值 1，设()()g x

8、f xx；(1)求 a、b 的值；(2)关于 x 的方程2(|1|)30|1|fxkkx有且仅有两个不同的实根，求实数 k的取值范围 22 已知函数 2xfxab的图像过原点，且无限接近直线1y 但又不与该直线相交 (1)求该函数的解析式；(2)若不等式 141xmf x对任意的2,2x 恒成立，求 m 的取值范围（12 分）答案第 1 页，共 14 页 参考答案：1C【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为 4 即可得出m的取值范围.【详解】当13x时，313x，当1m时，33()f xxmmxxx在1,3上单调递减，在 3,3上单调递增，当1x或3x 时，max()4f

9、x，满足题意；当3m时，33()2f xxmmmxxx在 1,3上单调递增，max()228f xm，不符合题意；当13m时，maxmax4f xxm，不符合题意.综上，实数m的取值范围为1m.故选：C 2C【分析】根据题意得21(1)fxf，进而得211x，再解不等式即可.【详解】因为偶函数 f x在区间0,上单调递减，且满足21(1)fxf，所以不等式等价于21(1)fxf，即211x，所以1211x ，解得01x，即x的取值范围是(0,1).故选：C.3D【分析】先证明函数()yf x是周期为 4 的函数，再利用函数的周期性和奇偶性得解.【详解】因为(2)()0f xf x，所以(2)(

10、)f xf x，所以(4)(2)()f xf xf x，所以()yf x是周期为 4 的函数，答案第 2 页，共 14 页 所以131351()(4)()()2222ffff，因为()yf x是奇函数，所以112()()1.222ff 故选：D 4C【分析】根据函数的奇偶性即可求解.【详解】解：由题意得：当0 x 时，0 x，()2xfxx 函数()yf x是 R 上的奇函数，故()()2xf xfxx 故选：C 5B【分析】先由幂函数的定义知函数 f x的系数为1,可求出m的值，再把点(,27)m代入函数的解析式中求出n的值，然后把,m n的值代入函数 g x中，求出函数 g x的定义域，进

11、而可求出值域.【详解】由已知可得 2127nmf mm，解得3m，3n，故()33g xxx，对于函数()g x，有303 0 xx，解得3x，故函数()g x的定义域为3，因此函数()g x的值域为0.故选：B.6D【分析】A 选项，可举出0a 时，f x是偶函数；B 选项，得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论；C 选项，可举出14a 时，满足要求；D 选项，分类讨论得到若 f x的最小值是54，则1a，D 错误.【详解】当0a 时，2f xxx，定义域为 R，且 22fxxxxxf x ，故此时 2f xxx为偶函数，A 正确；答案第 3 页，共 14 页 当x

12、a 时，2f xxxa，开口向上，对称轴为12x，当xa 时，2f xxxa，开口向上，对称轴为12x ，即 222,xxa xaf xxxaxxa xa ，且22aaaa，22aaaa，即在分段处函数值相等，由于 2f xxxa的对称轴在 2f xxxa 的对称轴的左侧，故a R，f x都不是 R 上的单调函数，B 正确；当a0时，222,xxa xaf xxxaxxa xa ，若1 40a，即14a 时，当14x 时，令2104xx，解得：1124x，当14x 时，令2104xx，解得：12124x，均符合要求，综上：此时函数有 3 个零点，故 C 正确；由 B 选项可知 f x的最小值在

13、12x 或12x 处取到，222,xxa xaf xxxaxxa xa ，当12a 时，函数最小值在12x 处取到，由11152424fa，解得：2a（舍）或 1，故1a 满足题意；当12a 时，函数最小值在12x 处取到，由11152424fa ，解得：1a 或 2（舍），故1a 满足题意，当1122a时，函数最小值在12x 或12x 处取到，由于此时115244fa 恒成立，115244fa 恒成立，故都不合要求，舍去；综上：若 f x的最小值是54，则1a，D 错误.故选：D 答案第 4 页，共 14 页【点睛】二次函数20yaxbxc a相关知识点总结，对称轴为2bxa，顶点坐标为24

14、,24bacbaa，若240bac，二次函数与x轴有两个交点，若240bac，二次函数与x轴有 1 个交点，若240bac，二次函数与x轴有 0 个交点.7C【分析】根据奇函数图象关于0,0对称，可通过函数平移变换得到所求函数.【详解】由题意知：将 f x图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点0,0对称，则所得函数为奇函数，11f x为奇函数.故选：C.8B【分析】当0 x 可求得 212f xxx；当0 x 时，0 x，由已知关系式可得 232f xfxxx，进而得到 2152f xxx；由二次函数性质可得单调递增区间.【详解】当0 x 时，232f xf xxx，

15、则 212f xxx，fx在 0,1上单调递增；当0 x 时，0 x，212fxxx，2222313232522f xfxxxxxxxxx ，fx在,5 上单调递增；综上所述：f x的单调递增区间为,5 和 0,1.故选：B.9BCD【分析】对于 A，计算可得 121222fxfxxxf，判断 A;对于 B,C,采用作差法，计算1212()()()22f xf xxxf的结果，根据结果可判断函数为“下凸函数”的充要条件；对于 D，计算1212()()()22f xf xxxf，说明结果大于 0，即可判断.答案第 5 页，共 14 页【详解】12,Rx x，22xx,对于一次函数()f xkxb

16、，1212()22xxk xxfb，121112()222f xf xkxbkxbk xxb，即 121222fxfxxxf，故()f xkxb不可能是“下凸函数”，A 错误；对于二次函数2()f xaxbxc，对任意12,Rx x，12xx，222121211212122()()()()22222f xf xxxaxbxcaxbxcxxxxfabc 22211221121()()4(21)2xxaxaxaxxa，当二次函数2()f xaxbxc为“下凸函数”时，满足 121222fxfxxxf，即1221()0,04axax，反之当0a 时，121222fxfxxxf成立，故二次函数2()f

17、 xaxbxc为“下凸函数”的充要条件是0a，B 正确；对于()(0)kf xxxx，对任意12,(0,)x x，12xx，121212121212()()2()2222kkxxf xf xxxxxxxkfxx 12121212212(12()2)2xxkkkkxxxxx xxx，当函数()(0)kf xxxx为“下凸函数”时，满足 121222fxfxxxf，即1212122)(02,0 xxkx xxkx，反之当0k 时，121222fxfxxxf成立，故函数()(0)kf xxxx为“下凸函数”的充要条件是0k，C 正确；对于函数21()(0)f xxxx，12,(0,)x x，22xx

18、,22122121212121211()()2()()2222xxf xf xxxxxxxfxx 22212121212112()2222xxxxxxxx 22121212121212121111()()()04242(4)xxxxxxx xxxx xxx，答案第 6 页，共 14 页 故1212()()()22f xf xxxf，所以函数21()(0)f xxxx是“下凸函数”，D 正确，故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，解答时要理解新定义的含义，明确如何判断一个函数是否符合该定义，解答的关键是作差，求得1212()()()22f xf xxxf的结果，从而作出判断.10AC

19、D【分析】由题意可得 2f xxx，把 2 代入求得 2f可判断 A；当1,2x时，41g xf x，2,3x时，162g xf x，由此可知12114N22kkgg kk，进而可判断 BCD【详解】因为 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，所以 22fxxf xxfxxf xx，解得 2f xxx，对于 A：22222f，故 A 正确；由 ,0,141,1,f xxg xg xx，当1,2x时，10,1x，所以 4141g xg xf x，当2,3x时，11,2x，20,1x，所以 41162g xg xf x，又2111111422224gf ，012315375414,444,4164

20、,222222gggggg 则有12114N22kkgg kk，22114N22kkgg kk，答案第 7 页，共 14 页 所以2124N212kgkkg，故 B 错误；对于 C：1012 11011202220252 1012111012442222ggg ，故 C 正确；对于 D：由 B 可知 22414114128g xf xxxxx，故 D 正确；故选：ACD 11AC【分析】对于 A，根据集合相等以及元素的互异性，可得答案；对于 B，根据反比例函数的单调性，可得答案；对于 C，根据一次函数和对勾函数的单调性，结合分段函数的单调性，可得答案；对于 D，由题意，整理可得 111f nf

21、f n，化简求和，可得答案.【详解】对于 A，由AB，则20 xxy，易知0 x，解得1,0 xy，故 A 正确；对于 B，1f xx的单调递减区间为,0和0,，故 B 错误；对于 C，由题意，可得2021 1 1aaa ，解得112a，易知函数1yxax在1,上单调递增，故 C 正确；对于 D，由题意，当*2,nnN时，11f nf nf，则 111f nff n，即 24201820201320172019ffffffff1 10102020，故 D 错误.故选：AC.12ABC【分析】根据函数的单调性得到 f x的最值情况，即可判断 AB 选项；根据 fxf x、0=0f和函数的单调性判

22、断 CD 即可.【详解】根据 eexxf x得 f x在定义域内单调递增，所以 fx没有最大值也没有最答案第 8 页，共 14 页 小值，故 AB 错；xxxxfxf x eeee，故 D 正确；0=0f，fx在定义域内单调递增，所以当00 x 时，00f x，又 fxf x，所以不存在00 x，使 00fxf x，故 C 错.故选：ABC.133,0【分析】先判断函数()g x的取值范围，然后根据()0f x 和()0g x 至少有一个成立则可求得m的取值范围.【详解】33g xx，当1x时，()0g x，又Rx，()0f x 或()0g x，2022f xm xmxmm在1x时恒成立，即2

23、022m xmxmm在1x时恒成立，显然0m 不成立，则二次函数222ym xmxmm图象开口只能向下，且与x轴交点都在(1,0)的左侧，202211mmmm，即0311mmm，解得30m，实数m的取值范围是3,0 故答案为：3,0 142x x 且3x 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数1()393xf xx有意义，则满足39030 xx，解得2x 且3x，即函数的定义域为|2x x 且3x.故答案为：|2x x 且3x.153 答案第 9 页，共 14 页【分析】根据幂函数的定义得到2571mm，求出m值，进行检验即可.【详解】根据其为幂函数，则2

24、571mm，解得2m 或3，当2m 时，221()f xxx，则其定义域关于原点对称，21xffxx，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示：故2m 舍去，当3m 时，33()1f xxx，则其定义域关于原点对称，31fxf xx，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示：故答案为：3.161,2【分析】将恒成立存在问题转化为最值问题，得到 12minminf xg x，然后利用换元法和单调性求最值即可.【详解】因为对12,4x，21,2x，使得 12f xg x，则 12minminf xg x，223xxxf，在1,上单调递增，所以 1min23f xf，令12,42xt，则

25、2232yttm，在,1上单调递减，1,上单调递增，所以当答案第 10 页，共 14 页 1t 时取得最小值，2min22g xm，所以322m，解得12m.故答案为：1,2.17(1)2(2)8133a b 【分析】运用指数运算规则即可.【详解】（1）11320258152e122927433；（2）原式112108322813323333331127411333342213a baba ba ba ba bbba ba babaa；综上，（1）原式=2，（2）原式=8133a b.18(1)22a (2)20a 或2a 【分析】（1）将题目转化为210 xax 在xR恒成立，利用二次函数图

26、像得到其0 解出即可.（2）首先求出 p 为真即0a，结合（1）然后分 p真 q 假和 p假 q 真，两种讨论即可.【详解】（1）若 q为真命题，即21xax 对xR恒成立；整理得210 xax 在xR恒成立，则240a，解得22a，即若 q 为真命题 a 的范围是22a；（2）若命题 p 为真，根据二次函数单调性与对称轴关系则0a，由已知命题 pq 中有且只有一个为真，则 p 真 q 假，所以022aaa 或，解得2a.p 假 q 真，所以022aa，解得20a.答案第 11 页，共 14 页 故 a的取值范围为：20a 或2a.19(1)23186500,050,N()8000(20)70

27、00,50100,N40 xxxxL xxxxx;(2)5400 万元.【分析】（1）根据利润=销售收入固定成本一投入成本，即可得到年利润 L x（万元）关于产量 x（百台）的函数关系式；（2）当050 x时，利用二次函数的性质，求出()L x的最大值，当50100 x 时利用导数求得()L x的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.【详解】（1）由题意知，当050 x时，221()200350031865004L xxxxxx ，当50100 x，80008000()2002207500500(20)70004040L xxxxxx,综上，23186500,050,N()8000(20

28、)7000,50100,N40 xxxxL xxxxx;（2）当050 x时，22()31865003(31)2383L xxxx ，所以当25x 时，()L x取得最大值 2383，当50100 x，8000()(20)700040L xxx，28000()20(40)L xx，令28000()200,60(40)L xxx，当5060 x时，()0,()L xL x递增，当60 x 时，()0,()L xL x递减，故当60 x 时，()L x取得最大值8000(20 60)7000540060(6040)L，因为54002383，故当60 x（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最

29、大值为 5400 万元.20(1)1,(2),2 (3)答案见解析,【分析】（1）分段函数分别求值域即可；（2）分离参数a，结合基本不等式，即可求得a的范围；答案第 12 页，共 14 页（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.【详解】（1）当2a 时，22222,1()2122,1xxxf xxxxxx,1x时，2()(1)3f xx，当1x时()f x有最小值 1，1x时，2()(1)1f xx，此时 1f x，故()f x的值域为1,（2）由()22f xx得：2(1)1 10 xa x （*）当1x时，（*）显然不成立 当1x时，max111axx 又11121211xxxx 当且仅

30、当111xx即0 x 或2x 时等号成立 则1121xx，即max1121xx ，所以 a 的取值范围为,2.（3）由题知22,1(),01xaxa xyf xxaxax,当2a 时，12a，12a 当1x时，()f x的最小值为224aafa,当01x时，(0)fa,24aaa即8a 时，2min()24aaf xfa 24aaa即82a 时，min()(0)f xfa 当2a时，12a，2()f xxaxa在1,上的最小值为(1)1f,当20a 时，102a，(0)1fa，所以min()(0)f xfa,答案第 13 页，共 14 页 当02a时，012a，224aafaa，所以2min(

31、)24aaf xfa,当2a 时，12a，(1)1fa，所以min()(1)1f xf.综上可知：当8a 时，2min()24aaf xfa 当80a 时，2min()24aaf xfa 当02a时，2min()24aaf xfa 当2a 时，min()(1)1f xf 21(1)10ab(2)14,029 【分析】(1)根据二次函数的单调性及最值列出方程组即可求解；(2)将方程化为2|1|(32)|1|(21)0,1xkxkx，换元转化为一元二次方程2(32)(21)0tktk，分类讨论方程根的个数即可.【详解】（1）2()(1)1g xa xba，对称轴1,0 xa，()g x在2,3上单

32、调递增，所以(2)11(3)314gbgab ，解得10ab.（2）由(1)知2211()2xxf xxxx，所以212(|1|)3|1|230|1|1|1|fxkkxkkxxx，整理得2|1|(32)|1|(21)0,1xkxkx，令|1|,1txx时，1tx 是减函数，且(0,),1tx时，1tx是增函数且(0,),1tx，则0t，所以(0,)t）时，|1|tx有两个实数解，0t 时，|1|tx无实数解 原问题转化为2(32)(21)0tktk（*）在(0,)上只有 1 个实根，答案第 14 页，共 14 页 2(32)4(21)0kk，0k 或49k ，0k 时，方程（*）的解为121t

33、t满足题意 49k 时，方程（*）的解为1213tt，满足题意，0，即49k 或0k 时，方程（*）有两个不等的实根12,t t，不妨设12tt，则120,0tt，210k 时，即12k 时，方程（*）的解为1210,2tt，满足题意 210k 即12k 时，1 212210,0t tktt 满足题意 综上，实数 k的取值范围是 14,029 22(1)21xf x (2)17,4m 【分析】（1）根据函数过原点得到0ab，根据函数接近直线1y 得到1b，得到函数解析式.（2）设2xt，将函数代入不等式得到1mtt，函数 1g ttt，根据函数的单调性结合定义域计算最大值即可.【详解】（1）函数 2xfxab的图像过原点，则 0020fabab，函数无限接近直线1y 但又不与该直线相交，则1b，故1a，21xf x.（2）141xmf x，即12141xxm，设2xt，1,44t，则21mtt，即1mtt，函数 1g ttt 在1,14上单调递减，在 1,4上单调递增，故 max117 1717max,4max,4444g tgg，故174m，即17,4m