高中数学-向量与立体几何习题4482.pdf

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1、课时作业(四)1下列说法中，正确的是()A任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B空间的基底有且只有一个 C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D基底a，b，c中的基向量与基底e，f，g的基向量对应相等 答案 C 解析 只有不共面的三个非零向量才能构成空间向量的基底，基底不唯一，因此选项 A、B、D 均不正确，C 正确故选 C.2设命题 p：a，b，c 是三个非零向量，命题 q：a，b，c为空间的一个基底，则命题 p是命题 q 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 三个非零向量可能共面；空间的一个基底一定是由非零向量构成

2、的 3【多选题】设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间的一个基底的有()Aa，b，x Bx，y，z Cb，c，z Dx，y，abc 答案 BCD 解析 如图所示，令 aAB，bAA1，cAD，则 xAB1，yAD1，zAC，abcAC1，由于 A，B1，C，D1四点不共面，可知向量 x，y，z 也不共面，同理 b，c，z 和 x，y，abc 也不共面 4如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AA1a，ABb，ADc，则BD1()Aabc Babc Cabc Dabc 答案 B 解析 BD1BDDD1ADABAA1cba.5.在四棱锥

3、PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD 的中点，若PAa，PBb，PCc，则BE()A.12a12b12c B.12a32b12c C.12a32b12c D.12a12b32c 答案 C 解析 连接 BD，BEPEPB12PDPB12(PBBD)PB12(BDPB)12(BABCPB)12(PAPBPCPBPB)12PA32PB12PC12a32b12c.6如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 GN2MG，现用向量OA，OB，OC表示向量OG，设OGxOAyOBzOC，则 x，y，z 的值

4、分别为()Ax13，y13，z13 Bx13，y13，z16 Cx13，y16，z16 Dx16，y13，z13 答案 C 解析 连接 ON，GN2MG，OGOMMGOM13MN OM13(ONOM)23OM16(OBOC)13OA16OB16OC.x13，y16，z16.故选 C.7如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，用AC，AB1，AD1作为基向量，则AC1_ 答案 12(AD1AB1AC)解析 2AC12AA12AD2AB(AA1AD)(AA1AB)(ADAB)AD1AB1AC，AC112(AD1AB1AC)8已知e1，e2，e3为空间一基底，pxe1ye2e3，qye12xe2

5、e3，若 pq，则 x_，y_ 答案 0 0 解析 e1，e2，e3为基底，要使 xe1ye2e3ye12xe2e3，只有 x0，y0.9如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABa，ADb，AA1c，E 为 A1D1的中点，F 为 BC1与 B1C 的交点 (1)用基底a，b，c表示向量DB1，BE，AF；(2)化简DD1DBCD，并在图中标出化简结果 解析(1)DB1DCCB1DCBB1BCabc.BEBAAA1A1Ea12bc.AFABBFa12(bc)a12b12c.(2)DD1DBCDDD1(CDDB)DD1CBDD1D1A1DA1.如图，连接 DA1，则DA1即为所求 1

6、0已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，M，N 分别为 PC，PD上的点，PM2MC，N 为 PD 的中点，求满足MNxAByADzAP的实数 x，y，z 的值 解析 如图，取 PC 的中点为 E，连接 NE，则MNENEM.由题意易知 EN12CD12BA12AB，EMPMPE23PC12PC16PC，连接 AC，则PCPAACABADAP.MN12AB16PC12AB16(ABADAP)23AB16AD16AP.x23，y16，z16.11若向量MA，MB，MC的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量MA，MB，MC成

7、为空间的一个基底的是()A.OM13OA13OB13OC B.MAMBMC C.OMOAOBOC D.MA2MBMC 答案 C 解析 A 中点 M，A，B，C 共面；B、D 中MA，MB，MC可能共面故选 C.12【多选题】如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 A1C1的中点，O1为 AC 的中点，ABa，ADb，AA1c，则()A.AC1abc B.AO12a12bc C.B1O112a12bc D.C1O112a12bc 答案 AB 解析 由题意知，a，b，c构成空间向量的一个基底，AC1AA1A1C1AA1(A1B1A1D1)AA1(ABAD)c(ab)，A 正确；因为

8、O 为 A1C1的中点，所以AOAA1A1OAA112A1C1AA112(A1B1A1D1)AA112(ABAD)c12(ab)c12a12b，B 正确；连接 BD，B1O1B1BBO1B1B12BDB1B12(ADAB)AA112(ADAB)c12(ba)，C 错误；C1O1OA12a12bc，D 错误 13设i，j，k是空间向量的单位正交基底，a3i2jk，b2i4j2k，则向量 a 与b 的位置关系是_ 答案 ab 解析 因为 ab6i28j22k26820.所以 ab.14在空间四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的中点分别为 L 和 M，则ABCBADCD_LM.答案 4 解析

9、 如图，取 CD 的中点 E，连接 EL，EM，则LEEMLM.又LEEM12AD12CB12(ADCB)，ADCB2LM，同理ABCD2LM.ABCBADCD4LM.15【多选题】若a，b，c是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是()Aa，2b，3c Bab，bc，ca Cabc，bc，c Da2b，2b3c，3a9c 答案 ABC 16.如图，在三棱锥 PABC 中，点 G 为ABC 的重心，点 M 在 PG 上，且 PM3MG，过点 M 任意作一个平面分别交线段 PA，PB，PC 于点 D，E，F，若PDmPA，PEnPB，PFtPC，求证：1m1n1t为定值，并求出该定

10、值 证明 连接 AG 并延长交 BC 于点 H，连接 DM(图略)由题意，可令PA，PB，PC为空间的一个基底，PM34PG34(PAAG)34PA3423AH 34PA12ABAC234PA14(PBPA)14(PCPA)14PA14PB14PC.D，E，F，M 四点共面，存在实数，使得DMDEDF，即PMPD(PEPD)(PFPD)，PM(1)PDPEPF(1)mPAnPBtPC，由空间向量基本定理，知14(1)m，14n，14t，1m1n1t4(1)444，为定值 1【多选题】给出下列命题，其中是真命题的是()A若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可

11、以作为空间的一个基底 B已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C已知 A，B，M，N 是空间中的四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则 A，B，M，N 四点共面 D若 a，b 是两个不共线的向量，而 cab(，R 且 0)，则a，b，c构成空间的一个基底 答案 ABC 2 已知点 G 是正方形 ABCD 的中心，点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，则PAPBPCPD等于()A4PG B3PG C2PG D.PG 答案 A 3.如图，四棱锥 POABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设OAa，OCb，OPc，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示BF，BE，AE，EF.解析 BF12BP12OP12OB12OP12(OAOC)12a12b12c；BEOEOB12(OPOC)(OAOC)OA12OC12OPa12b12c；AEOEOA12(OPOC)OAa12b12c；EF12CB12OA12a.