高中数学-椭圆与双曲线试题3256.pdf

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1、课时作业(三十二)1直线 l：kxyk0 与椭圆x24y221 的位置关系是()A相交 B相离 C相切 D不确定 答案 A 解析 kxyk0，yk(x1)，即直线过定点(1，0)，而(1，0)点在x24y221 的内部，故直线 l 与椭圆x24y221 相交 2已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D相切或相交 答案 C 3直线 yx 与椭圆x24y21 相交于 A，B 两点，则|AB|等于()A2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 答案 C 解析 应用弦长公式，得|AB|1k2|xAxB|.4已知椭圆 4x29y2144 内

2、一点 P(3，2)，过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为()A3x2y120 B2x3y120 C4x9y1440 D9x4y1440 答案 B 解析 设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又弦 AB 中点为 P(3，2)，所以 x1x26，y1y24.又因为 4x129y12144，4x229y22144，整理可得y1y2x1x223，即 kAB23，所以弦 AB 所在直线方程为 y223(x3)，即 2x3y120.故选 B.5已知 AB 为过椭圆x2a2y2b21(ab0)中心的弦，F2(c，0)是椭圆的右焦点，则ABF2的面积的最大值是()Abc

3、Bab Cac Db2 答案 A 解析 SABF212|OF2|yAyB|12c|yAyB|，当 AB 与 x 轴垂直时，|yAyB|最大，为 2b.SABF2的最大值为 bc.6已知过圆锥曲线x2my2n1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0 xmy0yn1.过椭圆x212y241 上的点 A(3，1)作椭圆的切线 l，则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为()Axy30 Bxy20 C2x3y30 D3xy100 答案 B 7已知直线 l：ykx1 与椭圆x22y21 交于 M，N 两点，且|MN|4 23，则 k_ 答案 1 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由yk

4、x1，x22y21，消去 y 并化简得(12k2)x24kx0，由 16k20，得 k0，所以 x1x24k12k2，x1x20.由|MN|4 23，得(1k2)(x1x2)2329，所以(1k2)(x1x2)24x1x2329，即(1k2)4k12k22329.化简得 k4k220，所以 k22(舍)或 k21，满足 0，所以 k1.8过点 M(1，1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_ 答案 22 解析 利用点差法，设而不求，建立方程组求解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12a

5、2y12b21，x22a2y22b21，得（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20.y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212.a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.9已知椭圆的短轴长为 2 3，焦点坐标分别是(1，0)和(1，0)(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线 yxm 与这个椭圆交于不同的两点，求 m 的取值范围 解析(1)2b2 3，c1，b 3，a2b2c24.椭圆的标准方程为x24y231.(2)联立方程组yxm，x24y231，消去 y 并整理得 7x28mx4m2

6、120.若直线 yxm 与椭圆x24y231 有两个不同的交点，则有(8m)228(4m212)0，即m27，解得 7m2，所以 m2n24，所以 n24m2，所以m29n24m294m241536m20，n0 且 mn)与直线 y1x 交于 M，N 两点，原点与线段 MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是()A.22 B.2 33 C.9 22 D.2 327 答案 A 解析 联立y1x，mx2ny21，得(mn)x22nxn10，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，则 x0 x1x22nmn，y01x01nmnmmn.所以 kOPy0 x0mn22.

7、13【多选题】椭圆 C：x24y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，以下说法正确的是()A椭圆 C 的离心率为12 B椭圆 C 上存在点 P，使得PF1PF20 C若过点 F2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，则ABF1的周长为 8 D若 P 为椭圆 C：x24y21 上一点，Q 为圆 x2y21 上一点，则点 P，Q 的最大距离为2 答案 BC 解析 对于 A，因为 a24，b21，所以 c2413，即 c 3，所以离心率 eca32，故 A 错误；对于 B，设点 P(x，y)为椭圆 C：x24y21 上任意一点，则点 P 的坐标满足x24y21，且2x2，又易得 F1

8、(3，0)，F2(3，0)，所以PF1(3x，y)，PF2(3x，y)，因此PF1PF2(3x)(3x)y2x21x2433x242，令PF1PF23x2420，可得 x2 632，2，故 B 正确；对于 C，由椭圆的定义可得|AF1|AF2|BF1|BF2|2a4，因此ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a8，故 C 正确；对于 D，设点 P(x，y)为椭圆 C：x24y21 上任意一点，由题意可得点 P(x，y)到圆 x2y21 的圆心的距离|PO|x2y244y2y243y2，因为1y1，所以|PQ|max|PO|max14013，故 D 不正确故选

9、 BC.14椭圆x216y2121 上的点到直线 x2y120 的距离的最大值为_，取得最大值时对应的点的坐标为_ 答案 4 5(2，3)解析 因为直线 x2y120 与椭圆x216y2121 相离，设与椭圆相切的直线 l 平行于直线 x2y120，设直线 l 的方程为 y12xt，由方程组y12xt，x216y2121，消去 y 得 x2txt2120，由 0，得 t4 或 t4.当 t4 时，直线 l 与直线 x2y120 的距离最大，此时 l 的方程为 y12x4，即 x2y80，此时直线 l 与直线 x2y120 的距离 d4 5，所以距离的最大值为 4 5.此时，式整理得 x24x4

10、0，得 x2，代入直线 l 方程得切点坐标为(2，3)15经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，则OAOB等于()A3 B13 C13或3 D13 答案 B 16已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 xy2 20 的距离为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线 yxm 相交于不同的两点 M，N，问是否存在实数 m 使|AM|AN|；若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 解析(1)依题意可设椭圆方程为x2a2y21(a1)，则右焦点 F(a21，0)由题设得|a212 2|23，解得 a

11、23.故所求椭圆的方程为x23y21.(2)设 P 为弦 MN 的中点，由yxm，x23y21，得 4x26mx3m230.由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以 0，即2m0，即 k54或 kb0)的离心率为33，若直线 ykx 与其一个交点的横坐标为 b，则 k 的值为()A1 B 2 C33 D 3 答案 C 解析 因为椭圆的离心率为33，所以ca33，即 c33a，c213a2a2b2，所以 b223a2.当 xb 时，交点的纵坐标为 ykb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程得b2a2k2b2b21，即23k21，解得 k213，所以 k33.故选 C.5若 P 满足x24y21(y0

12、)，则y2x4的最小值是_ 答案 4 76 解析 设 ky2x4，则 k 表示椭圆x24y21(y0)上的点(x，y)与定点 A(4，2)连线的斜率(如图)由 ky2x4，得 y2k(x4)由y2k（x4），x24y21，得(4k21)x216k(12k)x16(12k)240.由 0 得 12k216k30，k4 76.又y0，k4 76k4 76舍.故y2x4的最小值为4 76.6中心在原点，焦点坐标为(0，5 2)的椭圆被直线 3xy20 截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为_ 答案 y275x2251 解析 椭圆焦点在 y轴上，可设方程为y2a2x2b21(ab0)，设直线 3x

13、y20交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1x21，y1y23(x1x2)41，且y12a2x12b21，y22a2x22b21，得y12y22a2x12x22b20，则（y1y2）（y1y2）a2（x1x2）（x1x2）b2，所以y1y2a2x1x2b2，y1y2x1x2a2b2a2a2c2a2a2503，所以 a275，b225，所以椭圆方程为y275x2251.7过椭圆x25y241 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_ 答案 53 解析 如图，椭圆的右焦点为 F(1，0)，所以 lAB：y2x2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2x2，x25y241，得 3x25x 0，所以 x0 或 x53，所以 A(0，2)，B53，43，所以 SAOB12|OF|(|yB|yA|)12124353.8已知动点 P(x，y)在椭圆x225y2161 上，若 A 点坐标为(3，0)，|AM|1，且PMAM0，则|PM|的最小值是_ 答案 3 解析 易知点 A(3，0)是椭圆的右焦点 因为PMAM0，所以AMPM.所以|PM|2|AP|2|AM|2|AP|21，因为椭圆上右顶点到右焦点 A 的距离最小，故|AP|min2，所以|PM|min 3.