高中数学-集合论试题4(解析版)299.pdf

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1、试卷第 1 页，共 4 页 高一上数学周测 4 一、单选题 1已知集合21Axx，2,1,0B ，则AB（）.A2,1,0,1 B1,0,1 C1,0 D2,1,0 2已知命题p：有的长方形是正方形，则（）Ap：有的长方形不是正方形 Bp：所有长方形都不是正方形 Cp：所有的长方形都是正方形 Dp：不是长方形的图形都不是正方形 3已知函数2f x的定义域为3,4，则函数 31fxg xx的定义域为（）A1,43 B1,23 C1,63 D1,13 4把下列命题中的“”改为“”，结论仍然成立的是（）A如果=a b，0c，那么=abcc B如果=a b，那么=ab C如果=a b，cd，那么=ac

2、 bd D如果=a b，cd，那么adbc 5设已知函数 ,f xg x如下表所示：x 1 2 3 4 5 x 5 4 3 2 1 f x 5 4 3 2 1 g x 4 3 2 1 5 则不等式 f g xg f x的解集为（）A 1,3 B 5,3 C2,3,4 D5 6函数2()32f xxx的单调递减区间为（）A3(,)2 B3(,)2 C(,1)D(2,)7一只蚂蚁从正方形的一个顶点A出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到A点，假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图象为（）ABCD 试卷第 2 页，共 4 页 8已知0a，0b，21ab，则212

3、baab的最小值为（）A132 B252 C610 D310 二、多选题 9设集合|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，则（）AMN BMNP CMP DPMN 10下列对应中是函数的是（）Axy，其中21yx，1,2,3,4x，|10,Nyx xx Bxy，其中2yx，0,x，Ry Cxy，其中 y为不大于 x 的最大整数，Rx，Zy Dxy，其中1yx，Nx，Ny 11已知函数 f x的定义域是0,，且 f xyf xfy，当1x 时，0f x，21f，则下列说法正确的是（）A 10f B函数 f x在0,上是减函数 C 111123202120222022202220

4、2132ffffffff D不等式132ffxx的解集为4,12已知a，b均为正实数，且1ab，则（）Aab的最大值为14 B2bab的最小值为2 2 C221155ab的最小值为15 D2221abab的最小值为14 三、填空题 13命题“12x，230 xa”为真命题的一个充分不必要条件是_ 14已知函数 fx对于任意的x都有 21 2fxxf x ，则 f x _.15在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 3002m的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长 x（单位 m）的取值范围是_.试卷第 3 页，共 4 页 16定义区间（,a b），（,a b，,a b的长度均为dba，

5、多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）3，5）的长度 2 15 33d，设 ,1f xxxg xx，其中x表示不超过x的最大整数，例如1.3=1，-1.4=-2；3=3，x=x-x.若用d表示不等式 f xg x解集区间的长度，则当x-2021，2021时，d=_；四、解答题 17已知非空集合121,25Px axaQxx.(1)若3a，求RPQ；(2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18设2(1)2ymxm xm.(1)若不等式2y 对一切实数 x恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)在（1）的条件下，求2251mmm的最小值；19已知函数 1axbf

6、xx，且 14f，22f (1)求 f x的解析式；(2)判断 f x在1,上的单调性，并用定义证明 试卷第 4 页，共 4 页 20已知函数 221xfxx(1)求函数 yf x的值域；(2)当1 1,xm n0,0mn时，函数 10g xt f xt 的值域为23,23mn，求实数 t的取值范围 212020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产

7、品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为 150 万元，每生产 1 万台需另投入 380 万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x万元，且25002,020()21406250370,20 xxR xxxx.(1)写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入成本）(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.22已知函数 22122f xxxaa，22122g xxxaa，Ra设函数 ,f xf xg xM xg xg xf x.(1)若1a，求 M x的最小值；(2)若 M x的最小值小于52

8、，求a的取值范围 答案第 1 页，共 13 页 参考答案：1C【分析】直接根据交集的概念运算可得结果.【详解】因为21Axx，2,1,0B ，所以AB 1,0.故选：C 2B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p：存在一个长方形，该长方形是正方形，p：所有长方形都不是正方形.故选：B.3C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数2f x的定义域为3,4，所以 fx的定义域为1,6.又因为310 x，即13x，所以函数 g x的定义域为1,63.故选：C.4D【分析】对于，利用不等式的性质判断得解；对于，举反例判断得解.【详解】解：把下

9、列命题中的“=”改为“”,对于，如果,0ab c，那么abcc，若0c 时，abcc不成立，所以该命题错误；对于，如果ab，那么|ab，如 1,2ab，命题不成立，所以该命题错误；对于，如果,ab cd，那么ac bd，取1,0ab，0,1cd，此时acbd，所以此时命题错误；对于，如果,ab cd，那么adbc，根据不等式的性质可知：acbd，即adbc正确，所以该命题成立.故选：D 5C【分析】代入1,2,3,4,5x，根据表格，依次验证即可 答案第 2 页，共 13 页【详解】由题意，当1x 时，(1)(5)1,(1)(5)4f gfg fg，不满足 f g xg f x；当2x 时，(

10、2)(1)5,(2)(4)3f gfg fg，满足 f g xg f x；当3x 时，(3)(2)4,(3)(3)2f gfg fg，满足 f g xg f x；当4x 时，(4)(3)3,(4)(2)1f gfg fg，满足 f g xg f x；当5x 时，(5)(4)2,(5)(1)5f gfg fg，不满足 f g xg f x；故不等式 f g xg f x的解集为2,3,4 故选：C 6C【分析】根据二次根式的定义，结合二次函数的单调性、复合函数的单调性进行求解即可.【详解】函数232yxx的对称轴为：32x，所以有2320132xxxx，故选：C 7A【分析】设蚂蚁的速度为v，正

11、方形的边长为a，则40atv，分别求出蚂蚁位于线段AB、BC、CD，AD时，s关于t的表达式，利用排除法即可求解.【详解】设蚂蚁的速度为v，正方形的边长为a，则40atv，当蚂蚁位于线段AB上，即0atv 时，svt，其图象为线段；当蚂蚁位于线段BC上，即2aatvv 时，22Savta，其图象为曲线；当蚂蚁位于线段CD上，即23aatvv 时，223Saavt，其图象为曲线；当蚂蚁位于线段AD上，即34aatvv 时，4Savt，其图象为线段；结合选项可知：选项 A 符合题意，故选：A.答案第 3 页，共 13 页 8D【分析】根据条件得12ab，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.

12、【详解】因为21ab，所以12ab 即21111121111122224224422babaabababababababba 51151152344442baabababab 5323102b aa b，当且仅当5221baabab，即2 10534103ab时，等号成立.所以min231120baab 故选:D.9BD【分析】112233|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，对 A，由1212162652kkkk，等式不成立即可判断；对 BCD，当3k为奇数时，令3221kk，则323265kk；当3k为偶数时，令132kk，则313262kk即可判断【详解】112233

13、|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，对 A，由1212162652kkkk，等式不成立，故MN，A 错；对 BCD，当3k为奇数时，可令3221kk，则323265kk；当3k为偶数时，可令132kk，则313262kk.答案第 4 页，共 13 页 故MNP，且PNM，BD 对 C 错；故选：BD 10AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于 A，对集合1,2,3,4中的每个元素 x，按照21yx，在|10,Nx xx中都有唯一元素 y与之对应，A 是；对于 B，在区间0,内存在元素 x，按照2yx，在 R 中有两个 y 值与这对应，如1x

14、，与之对应的1y ，B 不是；对于 C，对每个实数 x，按照“y为不大于 x 的最大整数”，都有唯一一个整数 y与之对应，C是；对于 D，当1x 时，按照1yx，在N中不存在元素与之对应，D 不是.故选：AC 11ABD【分析】利用赋值法求得 10f，判断 A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断 B;利用 f xyf xfy，可求得 C 中式子的值，判断 C；求出1112422fff，将132ffxx转化为11134fffxx，即可解不等式组求出其解集，判断 D.【详解】对于 A，令1xy，得 11121ffff，所以 10f，故 A 正确；对于 B，令10yx，

15、得 110ffxfx，所以 1ff xx，任取12,0,x x，且12xx，则 2212111xf xf xf xffxx，因为211xx，所以210 xfx，所以 21f xf x，所以 f x在0,上是减函数，故 B 正确；对于 C，111123202120222022202132ffffffff 11112022202132111102022202132ffffffff，故C 错误；答案第 5 页，共 13 页 对于 D，因为 21f，且 1ff xx，所以 1212ff，所以1112422fff，所以132ffxx等价于11134fffxx，又 f x在0,上是减函数，且 f xyf

16、xfy，所以113410103x xxx，解得4x，故 D 正确,故选:ABD 12ACD【分析】对 A，利用基本不等式即可解得；对 B，将 2 换成2 ab，进而利用基本不等式得到答案；对 C，将原式化简为2221215525a babab，进而根据1ab代换，然后得到答案；对 D，将原式变化为22221 121abab，进而化简，然后设2,1satb，而后用114st进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为a，b均为正实数，且1ab，对 A,2124abab，当且仅当12ab时取“=”，正确；对 B，22222222 22abbbbabaabababab，当且仅当221,22baa

17、bab时取“=”，错误；对 C，2222222221111121555255525aba baba babab 2221211115525555a babab，当且仅当15ab 时取“=”，正确；对 D，2222221 1412412212121abababababab 41221ab，设2,14satbst ，答案第 6 页，共 13 页 则上式1 41141412525224444tst sstststst，当且仅当21=2,33stab时取“=”，正确；故选：ACD.13,2（答案不唯一）【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即

18、可求解.【详解】由“12x，230 xa”为真命题，等价于23ax在1,2上恒成立，所以2min3ax，1,2x即可.设2()3f xx，1,2x，则 由二次函数的性质知，对称轴为0 x，开口向上，所以()f x在1,2上单调递增.当1x 时，()f x取得最小值为2(1)3 13f，即3a，所以3a的一个充分不必要条件是,3的真子集，则2a 满足条件.故答案为：,2（答案不唯一）.14213x 【分析】由 21 2fxxf x 可得 21 2f xfxx，联立消去fx整理求解.【详解】21 2fxxf x ，则 21 2f xfxx 联立 212212fxfxfxxf xx ，消去fx整理得

19、：213f xx 故答案为：213x.1510，30【分析】设矩形的另一边长为y，由三角形相似得出 x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.【详解】解：设矩形的另一边长为y，由三角形相似得404040 xy且0,0,40,40 xyxy，答案第 7 页，共 13 页 所以40 xy，又矩形的面积300 xy，所以40300 xx，解得1030 x，所以其一边长 x（单位 m）的取值范围是10，30.故答案为：10，30.162023【分析】根据 1xxx将 f xg x化为 211xxx，对 1x 按三种情况进行分类讨论求得不等式的解集，从而可求得d.【详解】因为 x表示

20、不超过x的最大整数，所以 01xx，即 1xxx，不等式 f xg x即 1xxxx等价于 21x xxx，即 21111xxxxx（*），当 10 x ，即2x 时，不等式（*）化为 1xx，即 1xx，不成立.当 10 x ，即12x时，不等式（*）恒成立.当 10 x ，即1x 时，不等式（*）化为 1xx恒成立.所以不等式 f xg x在区间2021,2021上的解集为2021,2，220212023d .故答案为：2023【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.17(1)24xx(2)02aa 【分析】（1）根据补集及交集运算法则计算出答案；（2）根据

21、“xP”是“xQ”的充分不必要条件，得到非空集合 P是 Q 是真子集，得到不等式组，求出实数a的取值范围.（1）因为 P是非空集合，所以211aa，即0a.当 a=3 时，P=x|4x7，R4Px x或7x，25Qxx，所以R24PQxx.答案第 8 页，共 13 页（2）“xP”是“xQ”的充分不必要条件，即非空集合 P是 Q 是真子集，所以12215121aaaa 或12215121aaaa ，解得：02a，即实数 a的取值范围为 02aa.18(1)1,3(2)4 【分析】（1）不等式2y 对一切实数 x 恒成立，即2(1)0mxm xm恒成立，分0m 和0m 两种情况讨论，即可得解；（

22、2）22142541111mmmmmmm，利用基本不等式即可得出答案.（1）解：不等式2y 对一切实数 x恒成立，即2(1)0mxm xm恒成立，当0m 时，0 x 不恒成立；当0m 时，则有220140mmm，解得13m，综上所述，实数 m 的取值范围为1,3；（2）解：2214254412141111mmmmmmmmm，当且仅当411mm，即1m 时，取等号，所以2251mmm的最小值为 4.19(1)2101xf xx；(2)单调递增，证明见解析.答案第 9 页，共 13 页【分析】（1）由题可得 +1=422+2=23a bfa bf即可求出,a b，得到 f x的解析式；（2）根据单

23、调性的定义即可判断证明.（1）由题意，得 +1=422+2=23a bfa bf，即+=82+=6a ba b,解得：=2a，10b 故 2101xf xx（2）方法一：f x在1,上单调递增 证明：1x，21,x ，且12xx，则 21122121212121212101210112210210111111xxxxxxxxf xf xxxxxxx 由211xx，得210 xx，210 x ，10 x，所以 210f xf x，即 21f xf x故 f x在1,上单调递增 方法二：f x在1,上单调递增 证明：1x，21,x ，且12xx，则 211221212121212121212101

24、210121021011111211xxxxxxf xf xxxxxyxxxxxxxxx 由211xx，得210 x ，10 x，所以0yx故 f x在1,上单调递增 20(1),1(2)0,1t 【分析】（1）分离常数后，根据2x在定义域内的取值范围求出函数的值域；答案第 10 页，共 13 页（2）由题意判断函数 g x的单调性，结合题意可知,m n是方程2123ttxx 的两个不相等的正根，进而2310txxt有两个不相等的正根，利用根与系数的关系即可求解（1）2221110 xf xxxx，又20 x，所以210 x，则211,1x，故值域为,1（2）2211111tg xt fxtt

25、xx 在0,上单调递增，因为1 1,0,0 xmnm n时，值域为23,23m，所以123123gmmgnn ，22123123ttmmttnn ，所以,m n是方程2123ttxx 的两个不相等的正根，所以2310txxt有两个不相等的正根，所以 94 101030ttttt且0t，解得：01t，所以0,1t 21(1)22120150,0206250101990,20 xxxSxxx 答案第 11 页，共 13 页(2)当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 【分析】（1）分020 x和20 x 两种情况，由利润=销售收入成本，知()(380150)SxR

26、 xx，再代入()R x的解析式，进行化简整理即可，（2）当020 x时，利用配方法求出S的最大值，当20 x 时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可（1）当020 x时，()(380150)SxR xx 25002380150 xxx 22120150 xx，当20 x 时，()(380150)SxR xx 62503702140380150 xxx 6250101990 xx，所以年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式为 22120150,0206250101990,20 xxxSxxx（2）当020 x时，2221201502(30)1650Sxxx

27、，所以函数S在(0,20上单调递增，所以当20 x时，S取得最大值 1450，当20 x 时，62506250101990(10)1990Sxxxx 62502 10199050019901490 xx ，当且仅当625010 xx，即25x时取等号，此时S取得最大值 1490，因为14901450，所以当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 22(1)52(2)1,1 答案第 12 页，共 13 页【分析】（1）当1a 时，求出 M x的解析式，作出 M x的图象，由图可知 M x的最小值；（2）求出 M x的解析式，且 f x，g x图象的对称轴分别为直线

28、1x，1x 讨论21a，121a ，21a得出 M x的单调性，即可求出 M x的最小值，解出 M x的最小值小于52时a的取值范围，即可得出答案.（1）由题意可得，当 f xg x时，2222112224022fxg xxxaaxxaaxa，当 f xg x时，2222112224022fxg xxxaaxxaaxa，所以 ,2,2.fxxaM xg xxa 当1a 时，2213,2,211,2.2xxxM xxxx 作出 M x的图象，如图 1：由图可知 M x的最小值为 512f （2）222212,2,212,2,2xxaa xaM xxxaa xa 且 f x，g x图象的对称轴分别

29、为直线1x，1x 如图 2，当21a，即12a 时，M x在,1 上随x的增大而减小，在1,上随答案第 13 页，共 13 页 x的增大而增大，所以 2min1122M xfaa，由215222aa，解得31a，故112a 如图 3，当121a ，即1122a时，M x在,2a 上随x的增大而减小，在2,a上随x的增大而增大，所以 2min23M xfaa，则2532a，解得303066a，故1122a 如图 4，当21a，即12a 时，M x在,1上随x的增大而减小，在1,上随x的增大而增大，所以 2min1122M xgaa，由215222aa，解得13a，故112a 综上，a的取值范围为1,1