中考数学重难点(函数图象的点)因动点产生的面积问题(精选大题7例)(1).pdf

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1、 1 因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线212yxbxc（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)（1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S 求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个 图 1 动感体验

2、请打开几何画板文件名“13 苏州 29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有 11 个 请打开超级画板文件名“13 苏州 29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有 11 个 思路点拨 1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC 2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD 3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算

3、，P在BC上方或下方 4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值 满分解答（1）b12c，点B的横坐标为2c（2）由2111()(1)(2)222yxcxcxxc，设 E1(,(1)(2)2xxxc 过点E作EHx轴于H 由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH 2 所以1(1)(2)xxxc 因此1 2xc 所以(12,1)Ecc 当C、D、E三点在同一直线上时，EHCODHDO所以1212ccc 整理，得 2c23c20解得c2 或12c（舍去）所以抛物线的解析式为213222yxx （3）当P在BC下方时，过

4、点P作x轴的垂线交BC于F 直线BC的解析式为122yx 设213(,2)22P mmm，那么1(,2)2F mm，2122FPmm 所以SPBCSPBFSPCF221()24(2)42BCFP xxFPmmm 因此当P在BC下方时，PBC的最大值为 4 当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5 综上所述，0S5 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有 11 个 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）当P在BC下方，S4 时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点 3 例 2

5、2012年菏泽市中考第 21 题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转 90，得到三角形ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰

6、梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍 思路点拨 1四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍，可以转化为四边形PBOB的面积是 ABO面积的 3 倍 2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形 3过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答（1）AOB绕着原点O逆时针旋转 90，点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,2)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(2,0)，设解析式为

7、ya(x1)(x2)，代入B(0,2)，得a1 所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2)x2x2（2）SABO1 如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3 如图 2，作PDOB，垂足为D 设点P的坐标为(x，x2x2)4 2321111()(22)22222PB ODSDO B OPDxxxxxx 梯形 2321113(2)(2)22222PDBSDBPDxxxxx 所以22+2PDBPB A DPB ODSSSxx 四边形梯形 解方程x22x23，得x1x21 所以点P的坐标为(1，2)图 2 图 3 图 4（3）如图 3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：

8、等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线 考点伸展 第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图 4 那样分割图形，这样运算过程更简单 11222PB OPSB O xxx 22112(2)222PBOPSBO yxxxx 所以22+2PB OPBOPB A DSSSxx 四边形 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E的坐标为(1，2)而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的 4 倍因此点E就是要探求的点P 5 例 3 2012

9、年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线yax2bx3 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为 3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及 sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河南 23”，拖动点P在直线AB下方的

10、抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD 达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是 910，也可以是 109 思路点拨 1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫 3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 4两个三角形的面积比为 910，要分两种情况讨论 满分解答（1）设直线112yx与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在 RtAEO中，OA2，OE1，所以5AE 所以2 5si

11、n5AEO 因为PC/EO，所以ACPAEO因此2 5sin5ACP 6 将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得4230,16433.abab 解得12a，12b （2）由211(,3)22P mmm，1(,1)2C mm，得221111(1)(3)42222PCmmmmm 所以222 52 5159 5sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm 所以PD的最大值为9 55（3）当SPCDSPCB910 时，52m；当SPCDSPCB109 时，329m 图 2 考点伸展 第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 而2

12、52 511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm，BM4m 当SPCDSPCB910 时，19(2)(4)(4)510mmm解得52m 当SPCDSPCB109 时，110(2)(4)(4)59mmm解得329m 7 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 如图 1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x0)交于点B(2，1)过点(,1)P p p(p1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x0)和myx(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2 上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存

13、在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11 南通 28”，拖动点P在射线 AB 上运动，可以体验到，当直线 MN 经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN 和AMP 是两个同高的三角形，MN4MP 存在两种情况 思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论 满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线myx上，所以m2设直线l的解析式为ykxb，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,21.kbkb 解得1,1.kb

14、所以直线l的解析式为1yx （2）由点(,1)P p p(p1)的坐标可知，点P在直线1yx上 x 轴的上方如图 2，当y2 时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形 8 由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图 2 图 3 图 4 （3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上 当SAMN4SAMP时，MN4MP 如图 3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此222()4(1)xx

15、xx 解得1132x或1132x（此时点P在x轴下方，舍去）此时1132p 如 图4，当M在NP的 延 长 线 上 时，xMxN 4(xMxP)因 此222()4(1)xxxx 解得152x或152x（此时点P在x轴下方，舍去）此时152p 考点伸展 在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图 5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点 P 的坐标为（3，2）情形二，如图 6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90的情况 图 5 图 6 9 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 如图 1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,

16、1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12yxb 交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 广州 25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小 双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在

17、OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换 思路点拨 1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长 2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积 3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形 4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理 满分解答 10(1)如图 2，当E在OA上时，由12yxb 可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b 此时SSODE112122OE OCbb 如图 3，当E在AB上时，把y1 代入12yxb 可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD5

18、2b 把x3代入12yxb 可知，点E的坐标为3(3,)2b，AE32b，BE52b此时 SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD 131 5133()()(52)1(22)222 22bbbb 252bb (2)如图 4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形 作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2 设菱形DMEN的边长为m在 RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以 12(2m)2m2解得54m 所以重叠部分菱形DMEN的面积为54 图 2 图 3 图 4 考点伸展 把本题

19、中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图 5），那么这个菱形的最小面积为 1，如图 6 所示；最大面积为53，如图 7 所示 11 图 5 图 6 图 7 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 如图 1，在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为 y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求出最大值（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上

20、移动，试问，是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由 图 1 备用图 动感体验 12 请打开几何画板文件名“10 扬州 28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分ABC的周长，拖动点 E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于 3，也就是说，存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分双击按钮“第（2）题”可以切换。思路点拨 1第（1）题求得

21、的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点 2第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论 3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断 满分解答(1)在 Rt ABC中，AC 3，BC 4，所 以AB 5 在 Rt ACD中，39cos355ADACA (2)如图 2，当F在AC上时，905x在 RtAEF中，4tan3EFAEAx所以21223yAE EFx 如图 3，当F在BC上时，955x 在 RtBEF中，3tan(5)4EFBEBx所以21315288yAE EFxx 当905x时，223yx的最大值为5425；当955x 时，231588

22、yxx 23575)8232x(的最大值为7532 因此，当52x 时，y的最大值为7532 图 2 图 3 图 4 (3)ABC的周长等于 12，面积等于 6 先假设EF平分ABC的周长，那么AEx，AF6x，x的变化范围为 3x5因此1142sin(6)(6)2255AEFSAE AFAxxx x 解方程2(6)35x x，得 13 1362x 因为1362x 在 3x5 范围内（如图 4），因此存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分 先假设EF平分ABC的

23、周长，那么AEx，BE5x，BFx1 因此21133sin(5)(1)(45)22510BEFSBE BFBx xxx 解方程23(45)310 xx整理，得2450 xx此方程无实数根 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 如图 1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图 2 所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点

24、P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标 14（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“09 兰州 29”，拖动点 Q 在 x 轴上运动，可以体验到，点 Q 运动的起点为（1，0）；当 P 在 AB 上时，OPQ的面积随 x 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点 P 与 OQ 的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ双击按钮“POPQ，P在AB上”和“PO

25、PQ，P在CD上”，可以准确显示POPQ 思路点拨 1过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础 2求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备 3不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是 345，灵活运用方便解题 4根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系 满分解答（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动 1 个单位长度（2）过点B作BEy轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H 在 RtABE中，BE8

26、，AE1046，所以AB10由ABEBCF，知BFAE4，CFBE6所以EF8614，CH8412因此点C的坐标为（14，12）（3）过点P作PMy轴于M，PNx轴于N因为PM/BE，所以APAMMPABAFBF，即1068tAMMP因此34,55AMtPMt于是3410,55PNOMt ONPMt 设OPQ的面积为S(平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010SOQ PNtttt，定义域为 0t10 因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t，所以当476t 时，OPQ的面积最大此时P的坐标为(9415，5310)15（4）当53t 或29513t 时,OP与PQ相等 图 3

27、 图 4 考点伸展 附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的 2 倍先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程POPQ 附加题也可以这样解：如图 4，在 RtAMP中，设AM3m，MP4 m，AP5m，那么OQ8m根据AP、OQ的长列方程组5,81,mtmt 解得53t 如图 5，在 RtGMP中，设GM3m，MP4 m，GP5m，那么OQ8m在 RtGAD中，GD7.5根据GP、OQ的长列方程组537.5,81,mtmt 解得29513t 如图 6，设MP4m，那么OQ8m根据BP、OQ的长列方程组51010,81,mtmt 解得53t，但这时点P不在BC上 图 5 图 6