八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题.pdf

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1、题-1 八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球 文：付雨楼、段永建 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2 a2 b2 c2，即 2R.a2 b2 c2，求 出 R 例 1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面 积是（C）A.16 B.20 C.24 D.32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 解：（1）V a2h 16，a 2，4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24，S 24，选 C;（2）4R2 3 3 3 9，S 4 R2 9

2、（3）在正三棱锥 S ABC 中，M、N 分别是棱 SC BC 的中点，且 AM MN,若侧棱 SA 2则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 _。36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：题-1 如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于 H，连接 SH，则 H 是 底面正三角形 ABC 的中心，SH 平面 ABC，SH AB，AC BC，AD BD，CD AB，AB 平面 SCD，C 2 AB SC，同理：BC SA,AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,AM MN,SB/MN,AM SB,AC SB,SB 平面 SAC,SB SA

3、,SB SC,SB SA,BC SA,SA 平面 SBC,SA SC,故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2 3)2(2.3)2(2 3)2 36，即 4R2 36,正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36 (5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3，那么它的外接球的 表面积是 _ 方形，则该几何体外接球的体积为 _ (4)在四面体 S ABC 中，SA 平面ABC,BAC 120,SA AC 2,AB 1,则该四面体 的外接球的表面积为(D)A.11 B.7(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1

4、的正 解析:(4)在 ABC 中，BC2 AC2 2 AB 2 AB BC cos120 BC 7,ABC 的外接球直径为 2r BC 7 sin BAC C 径 AD，连接 PD，则 PD 必过球心 0;第二步：为 ABC 的外心，所以0。！平面 ABC，算出小圆的半 径OQ r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c(a,b,c R），则 ab 12 bc 8，abc ac 6 24,2，(2R)2 b2 c2 29，S 4 R2 29，(6)(2R)2 a2 b2 c2 3 R2 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：

5、如图 5，PA 平面 ABC 解题步骤:第一步：将 ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点,圆的直 作小(2R)2(2r)2 SA2 2 4 空，S 3 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2(2r)2 2R,PA2(2r)2;abc 1 A SinA sinB sinC)，1 2；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2(2r)2 2R,PA2(2r)2;R2 r2 OOi2 R _r2 00；2.题设：如图 6，7，8，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条 侧棱相等 三棱锥 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点

6、 P 点也是圆锥 的顶点 解题步骤:第一步：确定球心 0 的位置，取 ABC 的外心0i，则P,0,0i三点共线;第二步：先算出小圆0i的半径AOi r，再算出棱锥的高POi h(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：0A2 01A2 0102 R2(h R)2 r2，解出 R 方法二：小圆直径参与构造大圆。例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C A.3 B.2 C.旦 D.以上都不对 3 解：选 C,(.3 R)2 1 R2,3 2.3R R2 1 R2,4 2.3R 0,类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)1.题设：如图 9-1，平面 PAC 平面 ABC，且

7、AB BC(即 AC 为小圆的直径)2 3，S 4 R 16 3 第一步：易知球心 0 必是 PAC 的外心，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC 2r；底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点 解题步骤:第一步：确定球心 0 的位置，取 ABC 的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆Oi的半径AOi r，再算出棱锥的高POi h(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2 R2(h R)2 r2，解出 R 4.如图 9-3，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC(即 AC 为小圆的直径)，且 PA AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R

8、)2 PA2(2r)2 2R PA2(2r)2;R2 r2 OO12 R.r2 OO12 例 3(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1,底面边长为2.3，则该球 的表面积为 _。(2)正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，贝吐匕 第二步：在 PAC 中，可根据正弦定理 a sin A b sin B c sin C 2R，求出 R 2.如图 9-2，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC(即 AC 为小圆的直径)3.如图 9-3，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC(即 AC 为小圆的直径)，且 P 的射影是 ABC 的外心 三

9、棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 三棱 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的 球的体积为 _ 解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R 7,S 4 R2 49 该三棱锥外接球的体积为 (4)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 0 的求面上,为球 O 的直径,且 SC 2，则此棱锥的体积为()A 类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)题设：如图 10-1，图 10-2，图 10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱(2)方法一：找球心的位置，易知 r 1，h 1，h r，故球心在正方形的中心 ABCD 处,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 SAC 的外接圆，

10、此处特殊,Rt SAC 的斜边 是球半径，2R 2，R 1，V 4(3)在三棱锥 P ABC 中，PA PB PC.3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为60，则 A.B.-3 C.4 D.解：选D,圆锥代B,C在以r 于的圆上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC A.B 1“1 3 2、6、2 _ Sh-6 解：OO1.R2 r2 6 u，h 解析：折叠型，法一：EAB 的外接圆半径为A、3，OO1 1，的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心 0 的位置，Oi是 ABC 的外心，则OOi平面 ABC;1 1 第二步：算出小圆的半径AOi r，O。！-AAi-h(AA h也是圆柱

11、的高)；2 2 第三步：勾股定理：OA2 O,A2 OQ2 R2(-)2 r2 R r2(-)2，解出 R 2 2 例 4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都 在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为 3，则这个球的体积为 _ 8 解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为r，则 a R 1，球的体积为V 则此球的表面积等于 底面积为S 6专(2)2字，V柱釧护(V(2)直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB AC AA 2,BAC 120，解：BC 2-.3，2r 丄亠 4，r 2，R 5，S sin 1

12、20 20(3)已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相 垂直，EA EB 3,AD 2,AEB 60，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为。16 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图 11）H2 第二步：过H1和H2分别作平面 BCD 和平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连 接 OE,OC;第三步：解 OEH1，算出0比，在Rt OCH1中，勾股定理：OH；CH；OC2 例 5 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，PAC 和厶 ABC 均为边长为 2 的正三角 形，则三棱锥P ABC 外接球的半径为

13、解析：2r1 2r2 4,R D 2，O2H 1，si n60 丁3 V3 V3R.13 2;法二：0,M O2D 13 R2 3 13-13 4,R 2,S 16（4）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4,AC 6,A,AA!3 4则直三棱柱 ABC A1B1C1的 外接球的表面积为 160 3 解析：BC2 16 36 28，2：丿 7 BC 2 7，2r 4.7 3，r 28 3 40 T，第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD 画在小圆上，找出 BCD 和 ABD 的外心H1和 R2 O2H 2 r；类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱

14、分别相等，求外接球半径（AB CD,AD BC,AC BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;列方程组,_ .2 2 2 第三步：根据墙角模型，汀洁 b2 c2 2 2 2 2 2 严，R,x 8 Z，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法(1)题.15 法二：O2H O1H AH R2 AO2 AH2 O1H2 OO2 15 第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，AD BC x，AB CD y，AC BD z，b2 b2 2 2,2 2(2R)a b c z2 补充：VA BCD abc abc 4 6 3abc 1 图 12 设底面边长为a，则2R-2，a 3

15、，sin 60 则 a2 b2 9，2 2 2 2 2 2 2(a b c)9 4 16 29，2(a b c)9 4 16 29，例 6(1)棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(2)个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三 个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(A.B _3 4 _3 12 解：(1)截面为 PCO1，面积是2；(2)高 h R 1，底面外接圆的半径为 直径为 2R 三棱锥的体积为V 1sh-3 3 4(3)在三棱锥 A BCD 中,AB CD 2,AD BC 3

16、,AC BD 4,则三棱锥 A BCD 外接 球的表面积为 29。解析：如图 12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c，.22,2 2 b c 4，c a 16 O2(1)题解答图 29，S?125 A.空 125 125 12(4)如图所示三棱锥 A BCD，其中AB CD 5,AC BD 6,AD BC 7,则该三棱锥外 接球的表面积为 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c，2 2 2 2 2 2 2 2(a2 b2 c2)25 36 49 110，a2 b2 c2 55，4R2 55，S 55【55;对称几

17、何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为.2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：APB ACB 90，求三棱锥 P ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 0，连接 1 OP,OC，则OA OB OC 0P 丄AB，0 为三棱锥 P ABC 外接球球心，然后在 OCP 2 中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要 不是平角球半径都为定值。ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则四面体 ABCD 的外接球

18、的体积为(332 廳8 3 4-3 V 332 例 7(1)在矩形 ABCD 中，AB 4，BC 3，沿 AC 将矩形 R 第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V ABC VO ABC VO PAB VO PAC VO PBC 解：（1）2R AC 5,R-,V-R3-125，选 C 2 3 3 8 6（2）在矩形 ABCD 中，AB 2,BC 3，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC，所得三棱 锥 A BCD 的外接球的表面积为 解析：（2）BD 的中点是球心 0，2R BD.13，S 4 R2 13；类型八、锥体的内切球问题 1.题设：如图 14,三棱锥 P ABC 上正三棱锥，

19、求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;1 第二步：求DH BD，PO PH r，PD 是侧面 ABP 的高；3 第三步：由 POE 相似于 PDH，建立等式：-0E 0，解出r DH PD 2.题设：如图 15,四棱锥 P ABC 上正四棱锥，求其外接球的半 径 第一步：先现出内切球的截面图，P,0,H三点共线；1 第二步：求FH BC，PO PH r，PF 是侧面 PCD 的高;2 第三步：由 POG 相似于 PFH，建立等式：罟解出 3.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积

20、之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;D 习题：1.若三棱锥 S ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球 半径为（）【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为 3 的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的 外接球体积等于.2 4 2R 4，外接球半径 sin 60 3 8 32 3 3 3 27，4.三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，PAC 边长为 2 的正三角形，AB BC，第三步：解出r 3VP ABC SO ABC SO PAB SO PAC SO PBC A.3 B

21、.6 C.36 D.9 解：【A】(2R)2.4 16 16 6，R 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥S ABC中，侧棱SA 则该三棱锥的外接球体积等于 平面ABC，底面ABC是边长为.3 的正三角形，SA 2 3，32.3 解析：2r 3 sin 60 2 2 4 2，(2R)4 12 16，R 4，R 2，外接球体积 3 32 8 解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S ABC的直径为 R 23，或R2（R 3 1,R，外接球体积V 4R3 第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V ABC VO ABC VO PAB VO PAC VO PBC 则三棱锥 P ABC 外接球的半径为 解析：PAC 的外接圆是大圆，2R sin 60.3 5.三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC,AC PA PC 3,AB BC，则三 棱锥 P ABC 外接球的半径为 解析：cos P PA2 PC2 AC2 2PA PC sin2 sin 2R 4、2 9 9 2.2 9、2 9.2 8 6.三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC,AC PA PC,AB BC 则三棱锥 P ABC 外接球的半径为 解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心 O,球半径为 R 1