极坐标系与参数方程一轮复习(你值得拥有).pdf

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1、.1/11 极坐标系与参数方程 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义：M是平面上一点,表示OM的长度,是MOx,则有序实数实数对(,),叫极径,叫极角；一般地,0,2),0.2、极坐标和直角坐标互化公式：cossinxy 或222tan(0)xyyxx,的象限由点(,)x y所在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 1圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是；2圆心在极轴上的点)0,(a处,且过极点 O的圆的极坐标方程是；3圆心在点)2,(a处且过极点的圆 O的极坐标方程是.2、直线的极坐标方程 1过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是；2过点)0,(a,且垂直于极轴的直线的极坐

2、标方程是；三、常见曲线的参数方程 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 过点),(00yx,倾斜角为 圆心在点(,)a b,半径为r 中心在原点,长、短轴分别为ba 22、中心在原点,长短轴分别为ba 22、)0(22ppxy 第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换.2/11 知识点 定义 1：设(,)P x y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy的作用下,点(,)P x y的对应点为(,)P x y.称为平面直角坐标系中的伸缩变换.定义 2：在平面内,将图形 F上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为 图形 F的平移.若以向量a表示移动的方向和长度,我们也称图形 F按向量

3、a平移 在平面直角坐标系中,设图形 F 上任意一点 P 的坐标为),(yx,向量),(kha,平移后的对应点为),(yxP.则有：),(),(),(yxkhyx 即有：xxhyyk ,在平面直角坐标系中,由xxhyyk 所确定的变换是一个平移变换.因为平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状和大小所以,在 平移变换作用下,曲线上任意两点间的距离保持不变.典例 120#高考#卷文 将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.写出 C 的参数方程；II设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线

4、段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 练习：1将点)2,2(P变换为点)1,6(P所用的伸缩变换公式是 A.yyxx231 B.yyxx321 C.yyxx213 D.yyxx23 2.在同一直角坐标系中,将直线22xy变成直线2 4xy,则满足图象变换的伸缩变换公式是_.3.在平面直角坐标系中将曲线1:22 yxC按照变换4:32xxyy得到的曲线C的方程为_.4.已知曲线1cos:()sinxCy为参数.若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的12,纵坐标压.3/11 缩为原来的32,得到曲线2C,则曲线2C的参数方程为_,普通方程为_.典例 2把圆221:(3)(1)4Cxy

5、先向下平移 1 个单位长度,再向右平移 3 个单位长度后得到圆2C,求圆2C的普通方程.练习：1.点)3,2(P先向左平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后得到点P的坐标是_.2.抛物线24xy先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是_.3.将曲线22:240C xyxy先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度后得到的曲线的方程是_.第二节 极坐标与直角坐标互化 知识点cossinxy 或222tan(0)xyyxx,的象限由点(,)x y所在象限确定.练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标 1(3,)4；22(2,)3；3(4,

6、)2；43(,)2；57(3,)6；65(1,)4；练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标 1(3,3)；25(0,)3；31(0,)2；4(3,0)；5(3,3)；6(2,2 3)；考点二：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 1cos2sin10:；234cos()304:；34sin()4:；42sin:；54cos2sin:；.4/11 64cos:；直线4:；8射线34:；222123cos4sin:；2221cos:；注意：极：直线0或射线0直：ykx或ykx0 x 或ykx0 x 练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为极坐标方程:12

7、0 xy:；231xy:；32214xy:；422326xy:；52260 xyx:；622(3)4xy:；高考再现 1 20#高考#卷文 在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为 极轴建立极坐标系.圆1C,直线2C的极坐标方程分别4sin,cos2 2.4 求1C与2C交点的极坐标;设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为3312xtatRbyt 为参数,求,a b的值.2.20#高考#卷文 在极坐标系中,曲线 C1与 C2的方程分别为22cossin与cos1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1与 C2

8、交点的直角坐标为_ 3 20#高考#卷文 在极坐标系中,点错误!到直线 sin错误!1的距离是_ 4.2015 年高考#卷文 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为2sin,则曲线 C 的直角坐标方程为_.第三节 参数方程与普通方程互化.5/11 知识点 常见曲线的参数方程 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 过点),(00yx,倾斜角为 圆心在点(,)a b,半径为r 中心在原点,长、短轴分别为ba 22、中心在原点,长短轴分别为ba 22、)0(22ppxy 把参数方程化为普通方程的常用方法：1代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然

9、后代入消去参数；2三角法：利用三角恒等式消去参数,如平方关系22sincos1；3整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.练习一：把下列曲线的直角坐标普通方程化为参数坐标方程 122:12516xyC,:C；222:134xyC,:C；322:2)(1)4Cxy（,:C；422:42110C xyxy,:C；522:40C xyy,:C；6直线l的倾斜角为34,且过点(4,2)P,则l：；7直线l过点(4,1)M,倾斜角为2,则l：；练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程普通方程 152:1 2xtCyt t：参数,:C ；.6/11 2112:()32xtCtyt 为参数:C

10、；3425:315xtCyt t：参数,:C ；423cos:33sinxCy ：参数,:C ；52cos:3sinxtCytt：参数,:C ；65cos:4sinxCy：参数,:C ；72:2xpCypp：参数,:C ；83sin4cos:4sin3cosxCy：参数,:C ；高考再现 1 20#高考#卷文 已知曲线C的极坐标方程为2cos.以极点 为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程_.2 20#高考#文 11 在平面直角坐标系xoy中,若直线121,:xslys和直线2,:21xatlyt平行,则常数 a 的值为_ 3 20#高考#卷文 15 圆锥曲线 的焦点坐标

11、是 _ 4.20#高考#卷文 在平面直角坐标系中,曲线 C：错误!的普通方程为_ 5 20#高考课标卷文 已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为2sin.22xtyt.7/11 把1C的参数方程化为极坐标方程;求1C与2C交点的极坐标.6 20#高考新课标卷 2文 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为2cos,错误!.求 C 的参数方程；II设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l：y错误!x2 垂直,根据中你得到的参数方程,确定

12、 D的坐标 7.2015 年高考#卷文 在平面直角坐标系x y中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线1C的极坐标方程为cossin2,曲线2C的参数方程为22 2xtyt t为参数,则1C与2C交点的直角坐标为 第四节 极坐标和参数方程的综合应用 考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题 常用参数方程和三角恒等变换的知识解决.步骤：1利用曲线的参数方程把曲线上的动点P的坐标设出来；2利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点P到直线l的距离d；3利用辅助角公式22sincossin()axbxabx其中tanba,把第2步求出的距离d的右边化为|sin()|Axkdt0t 的模式.4

13、利用三角函数的有界性求出距离d的最值.典例 1在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为3cos,()sinxy为参数,在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C的极坐标方程为sin()4 24.I求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；II设P为曲线1C上的动点,求点P到2C的距离的最小值,并求此时点P的坐标.8/11 变式：若把曲线1C的参数方程改为3cos,()3sinxy为参数,设P为曲线1C上的动点,求点P到2C的距离的最大值.练习：1 20#高考新课标卷 1文 已知曲线 C：错误!错误!1,直线 l：错误!写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程；II过曲

14、线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值 2.2015 年高考#卷文 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为132(32xttyt为参数,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为2 3sin.写出C的直角坐标方程；P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的坐标.考点二：标准直线参数方程中参数t的几何意义 知识梳理若00:xxatlyybtt：参数已是标准参数方程,即221ab,且l和曲线C交于BA、两点,则:把l中的yx、代入曲线C的直角坐标方程,整理 02cbtat,其中,),(00yxP；21tt

15、、为方程的两根即BA、两点对应的参数分别为21tt、12btta,1 2ct ta；由t的几何意义,得:公式 1:长度之积:1 2PAPBt t|；公式 2:长度之和:|21ttPBPA；或212121 2|()4PAPBttttt t；公式 3:弦长212121 2|()4ABttttt t；但若是l和圆可不用此公式,而用22|2ABrd更简单；说明：上 述公 式 中的两 条 线 段为l所过的 点(,)M P A Q分别 和 曲 线C两 交 点.9/11,(,)A B M N的连线段；公式 4:线段 AB 的中点 M 对应的参数122ttt.典例在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为23,

16、2252xtytt 为参数.在极坐标系与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x轴正半轴为极轴中,圆 C 的方程为2 5sin.求圆 C 的直角坐标方程；设圆 C 与直线l交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3,5),求11|PAPB的值.练习：1.已知过点(3,1)P 的直线3:1xtlyt 与曲线4cos:4sinxCy交于AB、两点,求PAPB|,AB|；2.经过点(2,1)M作直线l,交椭圆221164xy于BA、两点.如果点M恰好为线段AB的中点,求直线l的方程.3.20#高考#卷文 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为错误!,直线 l 与抛物

17、线 y24x相交于 A,B两点,求线段 AB的长 考点三：求动点的轨迹方程问题 求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化 建立适当的极坐标系,设(,)M 是一曲线上任意一点；由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程；证明所得方程就是曲线的极坐标方程 典例20#高考课标卷文 已知动点,P Q都在曲线2cos:()2sinxtCtyt为参数上,对应参数分别为t与2(02)t,M为PQ的中点.求M的轨迹的参数方程;将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.10/11 练习：1.已知曲线

18、C的参数方程为3cos()2sinxy为参数,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换1312xxyy得到曲线C.求曲线C的普通方程；若点 A 在曲线C上,点 B3,0,当点 A 在曲线C上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程.2.在极坐标系中,已知圆C的圆心(3,)3C,半径3r.求圆C的极坐标方程；若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且2OQQP,求动点P的轨迹方程.3.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,自 极 点O作 直 线 与 曲 线cos4相 交 于 点Q,在 线 段OQ上 有 一 动 点P满 足|12OPOQ若点P的轨迹为曲线1C,方程1

19、2xtyt t为参数表示的轨迹为曲线2C 求曲线1C的极坐标方程；若曲线1C与2C交于点A、B,求A、B两点间的距离|AB 考点四：应用的几何意义表示两点间的距离 极坐标系下的两点间的距离公式：设1122(,),(,)AB ,由余弦定理可得 22121212|2cos()AB,特别地,当12时,12|AB 典例2015 年高考新课标卷 2文 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1：cossinxtytt 为参数,t0,其中 0,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2：2sin,C3：2 3cos.I求 C2与 C3交点的直角坐标；.11/11 II若 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求|AB的最大值.练习：2015 年高考新课标卷 1文 在直角坐标系xOy中,直线1:2Cx ,圆222:121Cxy,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.I求12,C C的极坐标方程.II若直线3C的极坐标方程为R4,设23,C C的交点为,M N,求2C MN的面积.