初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧.pdf

《初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 初中数学 最短路径问题 典型题型及解题技巧 最短路径问题中 重点在于，我们擅长作定点对于动点所在直线的对称点，或利用平移和睁开图来办理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依照：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点对于线对称”，“线段的平移”“立体图形睁开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体睁开图”。考的许多的仍是“饮马问题”。知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点对于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的许多的仍是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点对于线

2、的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变 式问题考察。一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，在直线的双侧，在上求一点，使得最小。解：连结线段与直线的交点，就是所求。（依据：两点之间线段最短）二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修筑一个奶站，向居民区、供给牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从、到它的距离之和最短 解：只有、在向来线上时，才能使最小作点对于直线“街道”的对称点，而后连结，交“街道”于点，则点就是所求的点 三、一点在两订交直线内部 例：已知：如图是锐角内部随意一点，在的两边，上各取一点，构成三角形，使三角形周长最小 解：分别作点对于，的对称点，；连结，分

3、别交，于点、点，则点、点即为所求 剖析：当、和三条边的长度恰巧能够表此刻一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥，桥造在哪处才能使从到的路 径最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：将点沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到，连结交河对岸与点 则点为建桥的地点，为所建的桥。证明：由平移的性质，得且 因此两地的距若桥的地点建在处，连结则两地的距离为：在中，即因此桥的地点建在处，两地的行程最短。例：如图，、是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便浇灌作物，要在河畔建一个抽水站，将河水送到、两地，问该站建在河畔什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确立该点。

4、作法：作点对于直线的对称点点连结交直线于点，则点为建抽水站的地点。证明：在直线上此外任取一点，连结点对于直线对称 点在直线上，在中，即 因此抽水站应建在河畔的点处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条 如图中的，桌面上摆满了桔子，桌面上 摆满了糖果，坐在处的学生小明先拿桔子再拿糖果，而后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总行程最短 作法：作点对于直线的对称点点 作点对于直线的对称点点 连结分别交直线于点，则最短 例：如图：为马厩，为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河畔饮马，而后回到帐篷，请你帮他确立这天的最短路线。作法：作点对于直线的对称点点 作点对于直

5、线的对称点点 连结分别交直线于点，则最短 四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可依据圆上最远点与近来点和点的关系可得最优设计方案。例 一点到圆上的点的最大距离为，最短距离为，则圆的半径为多少（或）四、点在圆柱中可将其侧面睁开求出最短行程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体睁开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短行程 例：如下图，是一个圆柱体，是它的一个横截面，一只蚂蚁，要从 点爬行到点，那么，近来的行程长为（）剖析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面睁开，从而依据“两点之间线段最短”得出结果 解：将圆柱体睁开，连结、，依据两点之间线段最短，应选 五、在长

6、方体（正方体）中，求最短行程 ）将右边面睁开与下底面在同一平面内，求得其行程 ）将前表面睁开与上表面在同一平面内，求得其行程 ）将上表面睁开与左边面在同一平面内，求得其行程了而后进行比较大小，即可获得最短行程 例：有一长、宽、高分别是，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个极点 处沿长方体的表面爬到长方体上和 相对的极点处，则需要爬行的最短路径长为（）和点 剖析：把此长方体的一面睁开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点 间的线段长，即可获得蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的 高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得 解：由于平面睁开图不独一，故

7、分状况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确立最短的路线 （）睁开前面、右边，由勾股定理得 （）；（）睁开前面、上边，由勾股定理得 （）；（）睁开左面、上边，由勾股定理得 （）；因此最短路径长为 例：如图是一个长，宽，高的有盖库房，在其内壁的处（长的四平分）有一只壁 虎，处（宽的三平分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）剖析：先将图形睁开，再依据两点之间线段最短可知 解：有两种睁开方法：将长方体睁开成如下图，连结、，依据两点之间线段最短，；将长方体睁开成如下图，连结、，则；因此最短距离 例：有一棵米高的大树，树下有一个米高的儿童，假如大树在距地面米处折断（未完 全折断），则儿童起码

8、走开大树米以外才是安全的 剖析：依据题意建立直角三角形，利用勾股定理解答 解：如图，即为大树折断处减去儿童的高，则，在中，例：如图，在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的 棱长和场所宽 平行且 ，木块的正视图是边长为 米的正方形，一只蚂蚁从点 处，抵达 处需要走的最短行程是 米（精准到 米）剖析：解答本题要将木块睁开，而后依据两点之间线段最短解答 解：由题意可知，将木块睁开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为米 于是最短路径为：米 例：如图，为直径，为半径，为三平分点，点为上的动点，求的最小值。分折：作对于的对称点，于是有（当且仅当运动到处，等号建立，易求。六、在圆

9、锥中，可将其侧面睁开求出最短行程 将圆锥侧面睁开，依据同一平面内的问题可求出最优设计方案 例：如图，向来圆锥的母线长为，底面圆的半径，若一只小蚂蚁从点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保存根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的睁开图的扇形的弧所对的弦长，则，依据题意可得出：r 则 8 ，解得：，由勾股定理求得它的弦长 一、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时 可作定点对于动点所在直线的对称点 利用两点之间线段最短 或三角形两边之和小于第三边求出最值 例：如图，在正方形中，点为上必定点，且为上一动点，求最小值。剖析：作对于对称点，在上，有 易求。二、题中出现

10、两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时 应作两次定点对于动点所在直线的对称点 利用两点 之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点，当四边形周 长最短时 求。分折 因长为定值 四边形周长 最短时有最短 作对于轴对称点对于轴对称点 当运动到和轴轴的交点时等号建立 易求直 线 解折式此时 三、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：作定点对于动点所在直线的对称点 同时要考虑点点 点线 线线之间的最短问题 例：如图，在菱形中分别为上动点 求最小值 分折 作对于所直线的对称点 于是有 又由于在上运动 故当和垂直时，最短 易求。例：如图，角内有一动点，在，上有两动点，求周长的最小值。分折：

11、作对于，对称点，。于是有，由对称性易知为等腰 总之，在这一类动点最值问题中重点在于，我们擅长作定点对于动点所在直线的对称点，或动点对于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。、运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转变成一条线段的长，是解决 距离之和最小问题的基本思路，无论题目怎样变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小这个核心，全部作法都同样 注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求依据轴对称的性质、利用三角形的三 边关系，经过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这种最值问题时，要仔细审题，不要只注企

12、图形而忽视题意要求，审题不清致使答非所问 、利用平移确立最短路径选址 选址问题的重点是把各条线段转变到一条线段上假如两点在一条直线的同侧时，过两 点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，假如两点在一条直线的异侧时，过两点的直 线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都能够用三角形三边关系来推理说明，往常依据 最大值或最小值的状况取此中一个点的对称点来解决 解决连结河两岸的两个点的最短路径问题时，能够经过平移河岸的方法使河的宽度变成 零，转变成求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 在解决最短路径问题时，我们往常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线 段转变到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题