高中数学函数最值问题的常见求解方法.pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-一、配方法 例：当01x时，求函数xxy4322的最大值和最小值 解析：34)322(32xy，当01x时，1221x 显然由二次函数的性质可得1miny，34maxy 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值 例：已知0124422xxxyy，求y的最值 解析：由已知，变形得0)1()12(2422yxyx，Rx，则0，即有 0)1(16)12(422yy 故 45y 因此 45maxy，无最小值 例 3：若x、Ry且满足：0222yxxyyx，

2、则maxx=miny=解析：由已知，变形得：0)()12(22xxyxy，Ry，则0，即有 0)(4)12(22xxx，于是018 x，即 81x即 81maxx 同理，0)()12(22yyxyx，Rx，则0，即有 0)(4)12(22yyy，于是018y，即 81y即 81miny 注意：关于x、y的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例 4：已知函数1134522xxxy，求y的最值 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2yyxy，Rx，由已知得05 y，0)1)(5(4)34(2yy，即：0762 yy，即：71y 因此 7maxy，1miny 例 5：已知函数)(12Rxxbaxy

3、的值域为4,1，求常数ba,解析：01222byaxyxbaxyyxxbaxy Rx 0)(4)(2byya，即04422abyy 由题意：0430)4)(1(4,12yyyyy0161242yy-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-所以124 b，162a，即3b，4a 注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x的二次函数0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如22221121cxbxacxbxay(1a、2a不同时为 0)，常用此法求得 例 6：在20 x条件下，求2)sin1()sin1(sinxxxy的最大值 解析：

4、设xtsin，因0(x，)2，故 10 t，则2)1()1(ttty 即 0)12()1(2ytyty 因为 10 t，故01y，于是0)1(4)12(2yyy 即 81y 将81y代入方程得 031t，1，所以81maxy 注意：因0仅为方程0)12()1(2ytyty有实根0t，1的必要条件，因此，必须将81y代入方程中检验，看等号是否可取 三、代换法(一)局部换元法 例 7：求函数422xpxy的最值 解析：令42xt，则2t，函数tptxpxy4422 当8p时，424ptpty，当4pt时取等号 当8p时，令212tt，则)4()4(221121tpttptyy)(21tt)(412

5、21ttttp)41)(2121ttptt，因为 212tt，8p，即有 0)41)(212121ttpttyy，所以tpty4在2，)内递增 故 2242ppy-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-所以 当8p时，42minpy，无最大值；当8p时，2minpy，无最大值 例 8：求函数xxy21的最值 解析：设xt21(0t)，则由原式得11)1(212ty当且仅当1t 即0 x时取等号故1maxy，无最小值 例 9：已知20 a,求函数)(cos(sinaxaxy的最值 解析：2)cos(sincossinaxxaxxy 令txx cossin 则 22t且21coss

6、in2txx，于是 1)(2122aaty 当2t时，2122maxaay；当at时，)1(212minay 注意：若函数含有xxcossin和xxcossin，可考虑用换元法解(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例 10：已知x、yR，4122yx求22yxyxu的最值 解析：设costx，sinty，(t为参数)因 4122yx，故 412 t)2sin211()sinsincos(cos2222ttu 故当42t且12sin时，6maxu；当12t且12sin时，21maxu 例 11：实数x、y适合：545422yxyx，设22yxS，则max1S+min1S=_ 解析：令cosSx

7、，sinSy，则 5sincos54SS 2sin2545cossin545S 当12sin时，3102545maxy；当12sin时，13102545miny 所以 58101310311minmaxSS-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-例 12：求函数xxay)(22(ax|)的最值 解析：令cosax，则cossincossin2322aaay 又令cossin2t，则222242cos2sinsin21cossint 274)3cos2sinsin(213222 932932t 即有 33932932aya 所以3max932ay，3min932ay 注意：利用重

8、要不等式时，要满足“一正二定三相等”例 13：已知x、yR且xyx62322，求yx 的最值 解析：化xyx62322为123)1(22yx，得参数方程为sin26cos1yx)sin(2101sin26cos1yx 故 2101)(max yx，2101)(min yx(三)均值换元法 例 14：已知1 ba，求证：44ba 的最小值为81 解析：由于本题中a、b的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为，我们可以令ta21，tb21，(Rt)，则 222222222244)21()21(2)21()21(2)(ttttbababa 2222)41(2)221(tt )281()4

9、241(4242tttt 81238142tt 44ba 的最小值为81在0t即21 ba时取等号 四、三角函数有界法 对于Rx，总有1|sin|x，1|cos|x-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-例 15：求函数xxy2cos22sin的最值 解析：1)42sin(212cos2sincos22sin2xxxxxy 因为 1|)42sin(|x，故 当1)42sin(x时，12maxy；当1)42sin(x时，12miny 五、均值不等式法 例 16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大 解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，面积为S，三角形内一点P到三边的距离

10、分别为x、y、z Sczbyax2(定值)3)3(czbyaxczbyax 即 abcSxyz2783 (czbyax时取等号)因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB、PBC、PAC面积相等)，它到三边之积为最大 例 17：有矩形的铁皮，其长为 30cm，宽为 14cm，要从四角上剪掉边长为x cm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(x cm，底边宽为)214(x cm，高为x cm 盒子容积xxxxxxxV)7)(15(4)214)(230(显然：015 x、07 x、0 x)设xbxba

11、xaabV)7)(15(4 0(a，)0b 要用均值不等式则 xbxbaxaba71501 解得：41a，43b，3x从而 576)43421)(4415(364xxxV 故矩形盒子的最大容积为 576 3cm 也可：令bxxaxaabV)7)(15(4或bxaxaxabV)7)(15(4 注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求 例 18：已知1sinsinsin222(、均为锐角)，那么coscoscos的最大值等于_ 解析：因、均为锐角，所以coscoscos222cosco

12、scos 962)3sin1sin1sin1()3coscoscos(32223222-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-当且仅当31sinsinsin222时取等号，故coscoscos的最大值为962 例 19：求函数xbxay22cossin的最小值(a、b R)解析：xbxay22sinsinxxabbaxbbxaa2222cottan2tancot abba2 当且仅当xbtgxactg22 即 baxtg2时，函数y取得最小值abba2 六、单调性法(一)利用若干次“”(或“”)求函数的最值 例 20：求函数xxycos1sin1在0(，)2内的最小值 解析：2

13、22sin22cossin2cossincossincos1sin1xxxxxxxxxy 当4x时，xxcossin，12sinx上式中的两个“”中的等号同时成立，所以22y是“精确的”不等式因而 22miny 另：此题还可用换元xxtcossin以及函数单调性来判断(二)形如xbaxy的函数的最值(1)0a，0b时，函数在(，ab内递增，在ab，)0内递减，在0(，ab内递减，在ab，)内递增(2)0a，0b时，函数在(，ab内递减，在ab，)0内递增，在0(，ab内递增，在ab，)内递减(3)0a，0b时，函数在(，)0内递减，在0(，)内递减(4)0a，0b时，函数在(，)0内递增，在0

14、(，)内递增 例 21：求函数xxxxy2222cossin161cossin4的最值 解析：函数xxxxy2222cossin161cossin4xx2sin412sin22 令xt2sin2，则0t，1，于是 tty41在0(，21内递减，在21，1内递增 所以当21t，即81cossin22xx时，1miny；无最大值-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-例 22：求函数xxxysin1cossin22的最大值 解析：y)1sin2()1(sin1sin2)1(sin1sin1sin2sin22xxxxxxx 令tx1sin，则20 t，函数tty2在0(，)内递增所以

15、在0(，2内也是递增的当2t，即1sinx时，1maxy 七、平方开方法 例 23：已知a、b是不相等的正数，求函数xbxay22sincosxbxa22cossin的最值 解析：因a、b是不相等的正数，xcos与xsin不能同时为，故0y abxbabay2sin4)(2222 当12sin2x时，)(2max2bay，)(2maxbay 当02sin2x时，abbay2min2，baymin 八、数形结合法 有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效 例 24：求函数6cos31sin4xxy的最值 解析：将函数式变形为)2(cos3)41(

16、sin4xxy，只需求函数2cos41sinxxu的最值 把u看成两点2(A，)41，xB(cos，)sin x连线的斜率，(B即为单位圆上的点)，则当直线AB为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小 设过A点的单位圆的切线方程为)2(41xky，即 0241kykx 则圆心到切线的距离为11|241|2kk，解得：431k，1252k从而函数 最大值为14334maxy；最小值为95)125(34miny 九、利用二次函数的性质 例 25：设0 x，0y且212yx，求当x、y为何值时，)148(log231yxyu取得最-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-大值和最小值，并求

17、出最大值和最小值 解析：由212yx，得yx221)1412(log 14)221(8log231231yyyyyu 由0 x，0y且212yx可得410 y，从而34141212yy(当0y时左边取“=”号，61y时右边取“”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61x、61y时，)34(log31minu；当21x、0y时，0maxu 例 26：求函数xxy2cos2cos3的最值 解析：81)43(cos21cos32cos2xxxy 要使y有意义，必须有1cos32cosxx0，即 1cos21x 故 当43cosx时，4281maxy；当21cosx(或1)时，0miny.例 27：

18、求函数xxmy2cossin42的最值 解析：22221)(sin2)sin21(sin42mmxxxmy 因为1|sin|x，结合二次函数图象及其性质：当(m，1时，my43max，my43min 当1m，0时，my43max，2min21my 当0m，1时，my43max，2min21my 当1 m，)时，my43max，my43min 十、放缩法 例 28：若a、b、Rc，且3cba，则111cba的最大值是（）解析：2322)1(21aaa 同理，2321bb，2321cc 三式相加，6232323212121cbacba 即 23111cba-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版

19、学习资料分享-当且仅当2111cba 即1cba时取等号 十一、导数法 例 29：求函数3)(23xxxxf在 3,3上的最值 解析：0)1)(13(123)(2/xxxxxf，得131xx或 27222)31(f，4)1(f，12)3(f，36)3(f 所以函数最大值为 36，最小值为12 注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视 例 30：求函数xxxf612)(的最值 解析：函数的定义域为6,1,xxxf62111)(/510)(/xxf；650)(/xxf，又)(xf是6,1 上的连续函数 故有)(xf在5,1 上递增，在6,5上递减5)1(f，5)5(f，52)6(f 故函数最大值为5，最小值为5