华南理工大学高等数学统考试卷下08期中.pdf

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1、 华南理工大学高等数学统考试卷下08 期中 共7页第2页 2008-2009 高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90 分钟)姓名：班级：成绩单号：一、填空题（5 4）1、5 分 求函数22zxy在点0,0处沿方向 1,0的方向导数 解：由定义2200lim1xyzl 2、5 分求函数uxxyxyz在点1,0,3M的梯度 解 1,0,31,1,4,0Mgraduyyz xxz xy 3、5 分求曲面1xyyzzx在点3,1,2处的切平面方程和法线方程 解 令,1F x y zxyyzzx，则3,1,2,1,5,2nyz xz yx 从而切平面方程为3 51220 xyz，即5220 xyz 法

2、线方程为12352yzx 4、5 分 交换积分次序24212,xxxdxf x y dydxf x y dy 解 积分区域为两个小区域之并121224:,:2xxDDxyxxy 作图得知合并后的区域也可表示为12212:yDDyxy 从而22422121,yxyxxdxf x y dydxf x y dydyf x y dx 二、（8 分）设,zf xy xy xy，其中具有二阶连续偏导数，求dz与2zx y 共7页第3页 共7页第4页 共7页第5页 从而25440cossinuvDDxy dxdyuv dudvdrrrdr 2255324444008cossinsincos33rdr dr

3、三、8 分 计算二重积分21Dyxdxdy，其中:02,02Dxy 解：用21yx将区域划分为两个2121:01,12,DxxyDDD 21Dyxdxdy122211DDyxdxdyxy dxdy 21122220121121DDxyxdxdyxy dxdydxyxdy 222001dxxy dy 222122222001021122xyyxydxxydx 1222222004121 1212xxxdxxdx 12125334220000228821253315xxxxxdxx dxx 四、8 分 计算22Ixydv，其中为平面曲线220yzx绕 z 轴旋转一周的曲面与平面8z 所围的区域。解

4、：由交线2228xyzz知在 xoy 面上的投影域为22:16D xy 用柱坐标计算2248200210243rIdr rdrdz 共7页第6页 五、8 分 设由曲面22zxy与222zxy所围成的立体中每点的密度与该点到xOy平面距离成正比，试求该立体的质量 M 解：由交线22222zxyzxy 知立体在xOy面上的投影域为22:1D xy 用柱坐标计算22120034rrIzdvdrdrzdz 六、求曲面22zxy被柱面220 xyaxa所截下的有限曲面片的面积。解：222222,12xyxyxyzzdSzz dxdydxdyxyxy 从而该面积=222222224xyaxadxdya 七、8分计算积分2xyzdv，其中是22zxy和2222xyz所围成的空间闭区域。解：由222222,1 20,12zxyzzxyz ，从而在xOy上投影域为221xy，且关于坐标平面,xOz yOz都对称，因此2221222222200rrxyzdvxyzdvdrdrrzdz 112224623002212212222222333333rrrrrrdrtttttdt 1135323342220021441122 22233153312ttttdttttt 共7页第7页 892426015